منطقة

نهج لتحديد ما هو المقصود بكلمة "المنطقة" من خلال البديهيات . يمكن تعريف "المنطقة" على أنها دالة من مجموعة M لأنواع خاصة من الأشكال المستوية (تسمى المجموعات القابلة للقياس) إلى مجموعة الأرقام الحقيقية ، والتي تفي بالخصائص التالية: ^[11]

• لجميع S في M ، a ( S ) ≥ 0.
• إذا S و T هي في M حتى ذلك الحين هي S ∪ T و S ∩ T ، وأيضا ل ( S ∪ T ) = ل ( S ) + على ( T ) - على ( S ∩ T ).
• إذا كانت S و T في M مع S ⊆ T ، فإن T - S في M و a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ).
• إذا كانت المجموعة S في M و S متطابقة مع T ، فإن T تكون أيضًا في M و a ( S ) = a ( T ).
• كل مستطيل R في M . إذا كان طول المستطيل h وعرض k ، فإن a ( R ) = hk .
• دعونا Q تكون مجموعة المغلقة بين منطقتين خطوة S و T . يتم تشكيل المنطقة خطوة من اتحاد محدود من المستطيلات المجاورة يستريح على قاعدة مشتركة، أي S ⊆ Q ⊆ T . إذا كان هناك رقم فريد ج بحيث ل ( S ) ≤ ≤ ج و ( T ) لجميع المناطق خطوة من هذا القبيل S و T ، ثم إلى ( Q ) = ج .

يمكن إثبات أن وظيفة المنطقة هذه موجودة بالفعل. ^[12]

ألف متر مربع QUADRAT مصنوعة من أنابيب PVC.

كل وحدة طول لها وحدة مساحة مقابلة ، وهي مساحة مربع بطول ضلع معين. وبالتالي يمكن قياس المساحات بالمتر المربع (م ² ) ، والسنتيمتر المربع (سم ² ) ، والملليمتر المربع (مم ² ) ، والكيلومتر المربع (كم ² ) ، والقدم المربع (قدم ² ) ، والساحة المربعة (ياردة ² ) ، والميل المربع (ميل ² ) وهكذا دواليك. ^[13] جبريًا ، يمكن اعتبار هذه الوحدات على أنها مربعات لوحدات الطول المقابلة.

وحدة المساحة في النظام الدولي للوحدات هي المتر المربع ، والتي تعتبر وحدة مشتقة من النظام الدولي للوحدات . ^[3]

التحويلات

على الرغم من وجود 10 ملم في 1 سم ، إلا أن هناك 100 ملم ² في 1 سم ² .

حساب مساحة المربع الذي يبلغ طوله وعرضه متر واحد:

1 متر × 1 متر = 1 متر ²

وهكذا ، فإن المستطيل ذي الجوانب المختلفة (على سبيل المثال طوله 3 أمتار وعرضه 2 متر) سيكون له مساحة بوحدات مربعة يمكن حسابها على النحو التالي:

3 متر × 2 متر = 6 م ² . هذا يعادل 6 مليون مليمتر مربع. التحويلات المفيدة الأخرى هي:

• 1 كيلو متر مربع = 1،000،000 متر مربع
• 1 متر مربع = 10000 سم مربع = 1000000 مليمتر مربع
• 1 سنتيمتر مربع = 100 ملليمتر مربع.

الوحدات غير المترية

في الوحدات غير المترية ، يكون التحويل بين وحدتين مربعتين هو مربع التحويل بين وحدات الطول المقابلة.

1 قدم = 12 بوصة ،

العلاقة بين قدم مربع وبوصة مربعة هي

1 قدم مربع = 144 بوصة مربعة ،

حيث 144 = 12 ² = 12 × 12.

• 1 ياردة مربعة = 9 قدم مربع
• 1 ميل مربع = 3097600 ياردة مربعة = 27878400 قدم مربع

بالإضافة إلى ذلك ، تشمل عوامل التحويل ما يلي:

• 1 بوصة مربعة = 6.4516 سنتيمترا مربعا
• 1 قدم مربع = 0.092 903 04 متر مربع
• 1 فناء مربع = 0.836 127 36 متر مربع
• 1 ميل مربع = 2.589 988 110 336 كيلومترا مربعا

وحدات أخرى بما في ذلك التاريخية

هناك العديد من الوحدات المشتركة الأخرى للمنطقة. كانت هذه هي الوحدة الأصلية للمساحة في النظام المتري ، مع:

• 1 = 100 متر مربع

على الرغم من عدم استخدام الهكتار ، لا يزال الهكتار مستخدمًا بشكل شائع لقياس الأرض: ^[13]

• 1 هكتار = 100 آريس = 10000 متر مربع = 0.01 كيلومتر مربع

تشمل الوحدات المترية الأخرى غير الشائعة للمنطقة الرباعي ، والهكتاد ، وعدد لا يحصى .

يستخدم الفدان أيضًا بشكل شائع لقياس مساحات الأرض وأين

• 1 فدان = 4840 ياردة مربعة = 43560 قدم مربع.

تبلغ مساحة الفدان حوالي 40٪ من مساحة الهكتار.

على المقياس الذري ، تُقاس المساحة بوحدات الحظائر ، مثل: ^[13]

• 1 حظيرة = 10 ⁻²⁸ متر مربع.

تُستخدم الحظيرة بشكل شائع في وصف منطقة المقطع العرضي للتفاعل في الفيزياء النووية . ^[13]

في الهند ،

• 20 درهم = 1 درهم
• 20 درهم = 1 خثا
• 20 خاتة = 1 بيغا
• 32 خاتة = 1 فدان

منطقة الدائرة

في BCE 5th قرن، أبقراط خيوس كان أول من أظهر أن مساحة القرص (المنطقة محاطة دائرة) تتناسب مع مربع قطر، كجزء من له التربيع لل هلال أبقراط ، ^{[14 ]} لكنها لم تحدد ثابت التناسب . وجد Eudoxus of Cnidus ، أيضًا في القرن الخامس قبل الميلاد ، أن مساحة القرص تتناسب مع نصف قطره المربع. ^[15]

بعد ذلك ، تناول الكتاب الأول من عناصر إقليدس المساواة في المناطق بين الأشكال ثنائية الأبعاد. استخدم عالم الرياضيات أرخميدس أدوات الهندسة الإقليدية لإظهار أن المساحة داخل الدائرة تساوي مساحة المثلث الأيمن الذي قاعدته لها طول محيط الدائرة وارتفاعها يساوي نصف قطر الدائرة ، في كتابه قياس الدائرة . (محيط هو 2 π ص ، ومنطقة المثلث هو نصف العصر قاعدة الارتفاع، مما أسفر عن المنطقة π ص ² للقرص.) يقترب أرخميدس قيمة π (وبالتالي مساحة الدائرة وحدة دائرة نصف قطرها ) مع طريقة المضاعفة الخاصة به ، حيث قام بتسجيل مثلث منتظم في دائرة ولاحظ مساحتها ، ثم ضاعف عدد الأضلاع لإعطاء شكل سداسي منتظم ، ثم ضاعف عدد الأضلاع مرارًا وتكرارًا مع اقتراب مساحة المضلع من ذلك. من الدائرة (وفعل الشيء نفسه مع المضلعات المقيدة ).

أثبت العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن π ، نسبة مساحة الدائرة إلى نصف قطرها المربع ، غير منطقية ، مما يعني أنها لا تساوي حاصل قسمة أي عددين صحيحين. ^[16] في عام 1794 ، أثبت عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجيندر أن π ² غير عقلاني. هذا يثبت أيضًا أن π غير منطقي. ^[17] في عام 1882 ، أثبت عالم الرياضيات الألماني فرديناند فون ليندمان أن π متسامي (وليس حل أي معادلة متعددة الحدود ذات معاملات عقلانية) ، مما يؤكد تخمينًا قدمه كل من ليجيندر وأويلر. ^{[16] : ص. 196}

منطقة المثلث

وجد مالك الحزين (أو البطل) من الإسكندرية ما يعرف بصيغة هيرون لمساحة المثلث من حيث جوانبه ، ويمكن العثور على دليل في كتابه ، Metrica ، الذي كتب حوالي 60 م. تم اقتراح أن أرخميدس عرف الصيغة قبل قرنين من الزمان ، ^[18] وبما أن Metrica عبارة عن مجموعة من المعرفة الرياضية المتوفرة في العالم القديم ، فمن الممكن أن تكون الصيغة تسبق المرجع المعطى في هذا العمل. ^[19]

في 499 أريابهاتا ، عظيم رياضيات - فلكي من العصر الكلاسيكي من الرياضيات الهندية و علم الفلك الهندي ، أعرب عن منطقة مثلث كما نصف العصر قاعدة ارتفاع في Aryabhatiya (القسم 2.6).

تم اكتشاف صيغة مكافئة لصيغة هيرون من قبل الصينيين بشكل مستقل عن اليونانيين. تم نشره عام 1247 في Shushu Jiuzhang (" رسالة رياضية في تسعة أقسام ") كتبها تشين جيوشو .

منطقة رباعية

في القرن السابع الميلادي ، طور براهماجوبتا معادلة ، تُعرف الآن باسم صيغة براهماغوبتا ، لمساحة الشكل الرباعي الدوري ( رباعي الأضلاع محفور في دائرة) من حيث جوانبه. في عام 1842 ، وجد عالم الرياضيات الألماني كارل أنطون بريتشنيدر وكارل جورج كريستيان فون ستودت بشكل مستقل صيغة ، تُعرف باسم صيغة بريتشنايدر ، لمنطقة أي رباعي.

منطقة المضلع العامة

سمح تطوير الإحداثيات الديكارتية من قبل رينيه ديكارت في القرن السابع عشر بتطوير صيغة المساح لمنطقة أي مضلع ذات مواقع قمة معروفة بواسطة غاوس في القرن التاسع عشر.

تم تحديد المناطق باستخدام حساب التفاضل والتكامل

تطوير حساب التكامل في القرن 17 في وقت متأخر قدمت الأدوات التي يمكن أن تستخدم لاحقا لحساب مناطق أكثر تعقيدا، مثل منطقة من القطع الناقص و المناطق السطحية من مختلف الكائنات ثلاثية الأبعاد منحنية.

صيغ المضلع

لمضلع غير متقاطع ذاتيًا ( بسيط ) ، الإحداثيات الديكارتية ${\ displaystyle (x_ {i}، y_ {i})}$( i = 0، 1، ...، n -1) التي تُعرف رؤوسها n ، تُعطى المساحة بواسطة صيغة المساح : ^[20]

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} {\ Biggl \ vert} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i +1} ص_ {i}) {\ Biggr \ vert}}$

حيث عندما i = n -1 ، يتم التعبير عن i +1 كمعامل n وبالتالي يشير إلى 0.

المستطيلات

مساحة هذا المستطيل هي  lw .

أبسط معادلة للمساحة هي معادلة مساحة المستطيل . بالنظر إلى مستطيل بطول l وعرض w ، فإن صيغة المنطقة هي: ^{[2] [21]}

A = lw  (مستطيل).

أي أن مساحة المستطيل هي الطول مضروبًا في العرض. كحالة خاصة ، مثل l = w في حالة المربع ، يتم إعطاء مساحة المربع مع طول ضلع s بواسطة الصيغة: ^{[1] [2] [22]}

أ = ق ²  (مربع).

تتبع صيغة مساحة المستطيل مباشرةً من الخصائص الأساسية للمنطقة ، وتُؤخذ أحيانًا على أنها تعريف أو بديهية . من ناحية أخرى، إذا الهندسة تم تطويرها من قبل الحساب ، هذه الصيغة يمكن استخدامها لتحديد الضرب من الأعداد الحقيقية .

تشريح ومتوازيات الأضلاع والمثلثات

تتبع معظم الصيغ البسيطة الأخرى للمنطقة طريقة التشريح . وهذا ينطوي على خفض شكل إربا، الذي يجب أن المناطق خلاصة القول أن مجال الشكل الأصلي.

رسم بياني يوضح كيف يمكن إعادة ترتيب متوازي الأضلاع في شكل مستطيل.

للحصول على مثال، أي متوازي الاضلاع ويمكن تقسيم إلى شبه منحرف و مثلث قائم الزاوية ، كما هو مبين في الشكل إلى اليسار. إذا تم نقل المثلث إلى الجانب الآخر من شبه المنحرف ، فإن الشكل الناتج يكون مستطيلًا. ويترتب على ذلك أن مساحة متوازي الأضلاع هي نفسها مساحة المستطيل: ^[2]

أ = bh  (متوازي الأضلاع).

متوازي الأضلاع ينقسم إلى مثلثين متساويين.

ومع ذلك ، يمكن أيضًا قطع متوازي الأضلاع نفسه على طول القطر إلى مثلثين متطابقين ، كما هو موضح في الشكل على اليمين. ويترتب على ذلك أن مساحة كل مثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع: ^[2]

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} bh}$  (مثلث).

يمكن استخدام الحجج المماثلة لإيجاد صيغ المساحة لشبه المنحرف ^[23] بالإضافة إلى المضلعات الأكثر تعقيدًا . ^[24]

مساحة الأشكال المنحنية

الدوائر

يمكن تقسيم الدائرة إلى قطاعات يعاد ترتيبها لتشكل متوازي أضلاع تقريبيًا .

تعتمد صيغة مساحة الدائرة (التي تسمى بشكل أكثر ملاءمة المنطقة المحاطة بدائرة أو مساحة القرص ) على طريقة مماثلة. بالنظر إلى دائرة نصف قطرها r ، يمكن تقسيم الدائرة إلى قطاعات ، كما هو موضح في الشكل على اليمين. كل قطاع مثلث الشكل تقريبًا ، ويمكن إعادة ترتيب القطاعات لتشكيل متوازي أضلاع تقريبي. ارتفاع متوازي الأضلاع هذا هو r ، والعرض نصف محيط الدائرة ، أو π r . وبالتالي ، فإن المساحة الإجمالية للدائرة هي π r ² : ^[2]

A = π r ²  (دائرة).

على الرغم من أن التشريح المستخدم في هذه الصيغة تقريبي فقط ، فإن الخطأ يصبح أصغر وأصغر حيث يتم تقسيم الدائرة إلى المزيد والمزيد من القطاعات. و الحد من مناطق متوازيات الأضلاع التقريبية هو بالضبط π ص ² ، وهي مساحة الدائرة. ^[25]

هذه الحجة هي في الواقع تطبيق بسيط لأفكار التفاضل والتكامل . في العصور القديمة ، تم استخدام طريقة الاستنفاد بطريقة مماثلة لإيجاد مساحة الدائرة ، ويتم التعرف على هذه الطريقة الآن على أنها مقدمة لحساب التفاضل والتكامل . باستخدام الطرق الحديثة ، يمكن حساب مساحة الدائرة باستخدام تكامل محدد :

${\ displaystyle A \؛ = \؛ 2 \ int _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} \، dx \؛ = \؛ \ pi r ^ {2}.}$

الحذف

ترتبط صيغة المنطقة المحاطة بقطع ناقص بصيغة الدائرة ؛ لالقطع الناقص مع شبه كبير و شبه قاصر محاور س و ص الصيغة: ^[2]

${\ displaystyle A = \ pi xy.}$

مساحة السطح

أظهر أرخميدس أن مساحة سطح الكرة هي بالضبط أربعة أضعاف مساحة قرص مسطح من نفس نصف القطر ، وأن الحجم الذي تحيط به الكرة يساوي بالضبط ثلثي حجم أسطوانة لها نفس الارتفاع ونصف القطر.

يمكن الحصول على معظم الصيغ الأساسية لمساحة السطح عن طريق قطع الأسطح وتسويتها. على سبيل المثال ، إذا تم قطع السطح الجانبي للأسطوانة (أو أي منشور ) بالطول ، فيمكن تسوية السطح إلى مستطيل. وبالمثل ، إذا تم إجراء قطع على طول جانب مخروط ، فيمكن تسوية السطح الجانبي إلى قطاع من دائرة ، ويتم حساب المنطقة الناتجة.

من الصعب اشتقاق صيغة مساحة سطح الكرة : نظرًا لأن الكرة لها انحناء غاوسي غير صفري ، فلا يمكن تسويتها. حصل أرخميدس على صيغة مساحة سطح الكرة لأول مرة في عمله على الكرة والأسطوانة . الصيغة هي: ^[6]

A = 4 πr ²  (كرة) ،

أين ص هو نصف قطر الكرة. كما هو الحال مع صيغة مساحة الدائرة ، فإن أي اشتقاق لهذه الصيغة يستخدم بطبيعته طرقًا مشابهة لحساب التفاضل والتكامل .

الصيغ العامة

مناطق الأشكال ثنائية الأبعاد

منطقة المثلث ${\ displaystyle A = {\ tfrac {b \ cdot h} {2}}}$

• A مثلث :${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} Bh}$(حيث B هو أي جانب ، و h هي المسافة من الخط الذي يقع عليه B في الرأس الآخر للمثلث). يمكن استخدام هذه الصيغة إذا كان الارتفاع h معروفًا. إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة معروفة فيمكن استخدام صيغة هيرون :${\ displaystyle {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}$حيث أ ، ب ، ج هي جوانب المثلث ، و${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (أ + ب + ج)}$نصف محيطها. ^[2] إذا تم إعطاء زاوية وضلعيها المضمنين ، فإن المساحة تكون${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ab \ sin (C)}$حيث C هي الزاوية المعطاة و a و b هي جوانبها المضمنة. ^[2] إذا تم رسم المثلث على مستوى إحداثيات ، فيمكن استخدام مصفوفة وتبسيطها إلى القيمة المطلقة لـ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} - x_ {3} y_ {2} -x_ {1} y_ {3})}$. تُعرف هذه الصيغة أيضًا باسم صيغة رباط الحذاء وهي طريقة سهلة لحل مساحة مثلث إحداثيات عن طريق استبدال النقاط الثلاث (x ₁ ، y ₁ ) ، (x ₂ ، y ₂ ) ، و (x ₃ ، y ₃ ) . يمكن أيضًا استخدام صيغة رباط الحذاء للعثور على مناطق المضلعات الأخرى عندما تكون رؤوسها معروفة. طريقة أخرى لمثلث الإحداثيات هي استخدام حساب التفاضل والتكامل لإيجاد المساحة.
• A مضلع بسيط شيدت على شبكة من نقاط متساوية نأى (أي نقاط مع عدد صحيح الإحداثيات) بحيث كل القمم المضلع هي نقاط الشبكة:${\ displaystyle i + {\ frac {b} {2}} - 1}$، حيث i هو عدد نقاط الشبكة داخل المضلع و b هو عدد النقاط الحدودية. تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية بيك . ^[26]

منطقة في حساب التفاضل والتكامل

يمكن اعتبار التكامل على أنه قياس المنطقة الواقعة أسفل منحنى ، المحدد بواسطة f ( x ) ، بين نقطتين (هنا أ و ب ).

يمكن حساب المساحة الواقعة بين رسمين بيانيين عن طريق حساب الفرق بين تكاملات الدالتين

• المساحة الواقعة بين منحنى موجب القيمة والمحور الأفقي ، المقاسة بين قيمتين أ و ب (تُعرَّف على أنها أكبر القيمتين) على المحور الأفقي ، تُعطى بالتكامل من أ إلى ب للدالة التي يمثل المنحنى: ^[1]

${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، dx.}$

• المنطقة الواقعة بين الرسوم البيانية من وظيفتين هي متساوية إلى جزء لا يتجزأ من واحد وظيفة ، و ( س )، ناقص لا يتجزأ من وظيفة أخرى، ز ( س ):

${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} (f (x) -g (x)) \، dx،}$ أين ${\ displaystyle f (x)}$ هو المنحنى ذو قيمة y الأكبر.

• منطقة محددة بدالة ${displaystyle r = r (theta)}$معبر عنه في الإحداثيات القطبية : ^[1]

${\ displaystyle A = {1 \ over 2} \ int r ^ {2} \، d \ theta.}$

• المنطقة المحاطة بمنحنى حدودي ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t) = (x (t)، y (t))}$ مع نقاط النهاية ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t_ {0}) = {\ vec {u}} (t_ {1})}$يتم الحصول عليها من خلال تكاملات الخط :

${\ displaystyle \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} x {\ dot {y}} \، dt = - \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} y { \ dot {x}} \، dt = {1 \ over 2} \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} (x {\ dot {y}} - y {\ dot {x}} ) \، dt}$

أو مكون z

${\ displaystyle {1 \ over 2} \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ vec {u}} \ times {\ dot {\ vec {u}}} \، dt.}$

(لمزيد من التفاصيل ، انظر نظرية جرين § حساب المنطقة .) هذا هو مبدأ جهاز القياس الميكانيكي.

منطقة محدودة بين دالتين تربيعيتين

لإيجاد المساحة المحددة بين دالتين تربيعيتين ، نطرح إحداهما من الأخرى لكتابة الفرق على النحو التالي

${\ displaystyle f (x) -g (x) = ax ^ {2} + bx + c = a (x- alpha) (x- \ beta)}$

حيث f ( x ) هي الحد الأعلى التربيعي و g ( x ) هي الحد الأدنى التربيعي. تحديد التمايز من و ( خ ) - ز ( س ) كما

${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac.}$

من خلال تبسيط صيغة التكامل بين الرسوم البيانية لوظيفتين (كما هو موضح في القسم أعلاه) واستخدام صيغة فييتا ، يمكننا الحصول على ^{[27] [28]}

${\ displaystyle A = {\ frac {\ Delta {\ sqrt {\ Delta}}} {6a ^ {2}}} = {\ frac {a} {6}} (\ beta - \ alpha) ^ {3} ، \ qquad a \ neq 0.}$

يظل ما سبق صالحًا إذا كانت إحدى وظائف المحيط خطية بدلاً من تربيعية.

مساحة سطح الأشكال ثلاثية الأبعاد

• مخروط : ^[29] ${\ displaystyle \ pi r \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}$، حيث r هو نصف قطر القاعدة الدائرية ، و h هو الارتفاع. يمكن أيضًا إعادة كتابتها كـ${\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi rl}$^[29] أو${\ displaystyle \ pi r (r + l) \، \!}$حيث r هو نصف القطر و l الارتفاع المائل للمخروط.${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$ هي منطقة القاعدة في حين ${\ displaystyle \ pi rl}$هي مساحة السطح الجانبية للمخروط. ^[29]
• مكعب :${\ displaystyle 6s ^ {2}}$، حيث s هو طول الحافة. ^[6]
• اسطوانة :${\ displaystyle 2 \ pi r (r + h)}$، حيث r هو نصف قطر القاعدة و h هو الارتفاع. و 2${\ displaystyle \ pi}$يمكن أيضًا إعادة كتابة r كـ${\ displaystyle \ pi}$د ، حيث د هو القطر.
• المنشور : 2B + Ph ، حيث B هي مساحة القاعدة ، و P هي محيط القاعدة ، و h هي ارتفاع المنشور.
• الهرم :${\ displaystyle B + {\ frac {PL} {2}}}$، حيث B هي مساحة القاعدة ، و P هي محيط القاعدة ، و L طول الميل.
• المنشور المستطيل :${\ displaystyle 2 (\ ell w + \ ell h + wh)}$، أين ${\ displaystyle \ ell}$هو الطول ، و هو العرض ، و ح هو الارتفاع.

الصيغة العامة لمساحة السطح

الصيغة العامة لمساحة سطح الرسم البياني لدالة قابلة للتفاضل باستمرار ${\ displaystyle z = f (x، y)،}$ أين ${\ displaystyle (x، y) \ in D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ و ${\ displaystyle D}$ هي منطقة في المستوى xy مع حد ناعم:

${\ displaystyle A = \ iint _ {D} {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ جزئي f} {\ جزئي x}} \ يمين) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ جزئي f } {\ جزئي y}} \ right) ^ {2} +1}} \، dx \، dy.}$

صيغة أكثر عمومية لمساحة الرسم البياني لسطح حدودي في شكل متجه${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u، v)،}$ أين ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ هي دالة متجهية قابلة للتفاضل باستمرار لـ ${\ displaystyle (u، v) \ in D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$هو: ^[8]

${\ displaystyle A = \ iint _ {D} \ left | {\ frac {\ جزئي \ mathbf {r}} {\ جزئي u}} \ مرات {\ frac {\ جزئي \ mathbf {r}} {\ جزئي v }} \ right | \، du \، dv.}$

قائمة الصيغ

الصيغ المشتركة الإضافية للمنطقة:

شكل	معادلة	المتغيرات
مثلث عادي ( مثلث متساوي الأضلاع )	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} s ^ {2} \، \!}$	${\ displaystyle s}$ هو طول ضلع واحد من المثلث.
مثلث [1]	${\ displaystyle {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}} \، \!}$	${\ displaystyle s}$ نصف المحيط ${\ displaystyle a}$و ${\ displaystyle b}$ و ${\ displaystyle c}$ هي طول كل جانب.
مثلث [2]	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ab \ sin (C) \، \!}$	${\ displaystyle a}$ و ${\ displaystyle b}$ هي أي وجهين ، و ${\ displaystyle C}$ هي الزاوية بينهما.
مثلث [1]	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} bh \، \!}$	${\ displaystyle b}$ و ${\ displaystyle h}$هي قاعدة و ارتفاع (مقاسا عموديا على القاعدة)، على التوالي.
مثلث متساوي الساقين	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} ب {\ sqrt {a ^ {2} - {\ frac {b ^ {2}} {4}}}} = {\ frac {b} {4} } {\ sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle a}$ هو طول أحد الضلعين المتساويين و ${\ displaystyle b}$ هو طول ضلع مختلف.
معين هندسي / طائرة ورقية	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ab}$	${\ displaystyle a}$ و ${\ displaystyle b}$هي أطوال قطري المعين أو الطائرة الورقية.
متوازي الاضلاع	${\ displaystyle bh \، \!}$	${\ displaystyle b}$ هو طول القاعدة و ${\ displaystyle h}$ هو الارتفاع العمودي.
شبه منحرف	${\ displaystyle {\ frac {(a + b) h} {2}} \، \!}$	${\ displaystyle a}$ و ${\ displaystyle b}$ هي الجوانب المتوازية و ${\ displaystyle h}$ المسافة (الارتفاع) بين المتوازيات.
مسدس منتظم	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {3}} s ^ {2} \، \!}$	${\ displaystyle s}$ هو طول أحد جوانب الشكل السداسي.
مثمن منتظم	${\ displaystyle 2 (1 + {\ sqrt {2}}) s ^ {2} \، \!}$	${\ displaystyle s}$ هو طول أحد أضلاع الشكل الثماني.
مضلع منتظم	${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} nl ^ {2} \ cdot \ cot (\ pi / n) \، \!}$	${\ displaystyle l}$ هو طول الضلع و ${\ displaystyle n}$ هو عدد الجوانب.
مضلع منتظم	${\ displaystyle {\ frac {1} {4n}} p ^ {2} \ cdot \ cot (\ pi / n) \، \!}$	${\ displaystyle p}$ هو المحيط و ${\ displaystyle n}$ هو عدد الجوانب.
مضلع منتظم	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} nR ^ {2} \ cdot \ sin (2 \ pi / n) = nr ^ {2} \ tan (\ pi / n) \، \!}$	${\ displaystyle R}$ هو نصف قطر دائرة مقيدة ، ${\ displaystyle r}$ هو نصف قطر دائرة منقوشة ، و ${\ displaystyle n}$ هو عدد الجوانب.
مضلع منتظم	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ap = {\ tfrac {1} {2}} nsa \، \!}$	${\ displaystyle n}$ هو عدد الجوانب ، ${\ displaystyle s}$ هو طول الضلع ${\ displaystyle a}$هو apothem ، أو نصف قطر دائرة منقوشة في المضلع ، و${\ displaystyle p}$ هو محيط المضلع.
دائرة	${\ displaystyle \ pi r ^ {2} \ {\ text {or}} \ {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}} \، \!}$	${\ displaystyle r}$ هو نصف القطر و ${\ displaystyle d}$و قطر .
قطاع دائري	${\ displaystyle {\ frac {\ theta} {2}} r ^ {2} \ {\ text {or}} \ {\ frac {L \ cdot r} {2}} \، \!}$	${\ displaystyle r}$ و ${\ displaystyle \ theta}$هي نصف القطر والزاوية ( بالتقدير الدائري ) ، على التوالي و${\ displaystyle L}$ هو طول المحيط.
قطع ناقص [2]	${\ displaystyle \ pi ab \، \!}$	${\ displaystyle a}$ و ${\ displaystyle b}$هي شبه الكبرى و شبه قاصر- محاور، على التوالي.
المساحة الإجمالية للأسطوانة	${\ displaystyle 2 \ pi r (r + h) \، \!}$	${\ displaystyle r}$ و ${\ displaystyle h}$ هي نصف القطر والارتفاع على التوالي.
مساحة السطح الجانبي للأسطوانة	${\ displaystyle 2 \ pi rh \، \!}$	${\ displaystyle r}$ و ${\ displaystyle h}$ هي نصف القطر والارتفاع على التوالي.
إجمالي مساحة سطح الكرة [6]	${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2} \ {\ text {or}} \ pi d ^ {2} \، \!}$	${\ displaystyle r}$ و ${\ displaystyle d}$ هي نصف القطر والقطر ، على التوالي.
المساحة الكلية للهرم [6]	${\ displaystyle B + {\ frac {PL} {2}} \، \!}$	${\ displaystyle B}$ هي منطقة القاعدة ، ${\ displaystyle P}$ هو محيط القاعدة و ${\ displaystyle L}$ هو الارتفاع المائل.
إجمالي مساحة سطح الهرم المخروط الناقص [6]	${\ displaystyle B + {\ frac {PL} {2}} \، \!}$	${\ displaystyle B}$ هي منطقة القاعدة ، ${\ displaystyle P}$ هو محيط القاعدة و ${\ displaystyle L}$ هو الارتفاع المائل.
مربع لتحويل منطقة دائرية	${\ displaystyle {\ frac {4} {\ pi}} A \، \!}$	${\ displaystyle A}$هي منطقة مربع في وحدات مربع.
دائري لتحويل منطقة مربعة	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} C \، \!}$	${\ displaystyle C}$هي مساحة الدائرة بوحدات دائرية.

توضح العمليات الحسابية أعلاه كيفية العثور على مناطق العديد من الأشكال الشائعة .

يمكن حساب مناطق المضلعات غير المنتظمة (وبالتالي العشوائية) باستخدام " صيغة المساح " (صيغة رباط الحذاء). ^[25]

علاقة المنطقة بالمحيط

تنص المتباينة المتساوية على أنه بالنسبة لمنحنى مغلق بطول L (وبالتالي فإن المنطقة التي تحيط بها لها محيط L ) وللمنطقة A من المنطقة التي تحيط بها ،

${\ displaystyle 4 \ pi A \ leq L ^ {2}،}$

وتبقى المساواة إذا وفقط إذا كان المنحنى عبارة عن دائرة . وهكذا فإن الدائرة لها أكبر مساحة من أي شكل مغلق بمحيط معين.

في الطرف الآخر ، يمكن أن يكون للشكل ذي المحيط L مساحة صغيرة بشكل تعسفي ، كما يتضح من المعين الذي "يميل" بشكل تعسفي بحيث تكون اثنتان من زاويته قريبة بشكل تعسفي من 0 ° والاثنان الآخران قريبان بشكل تعسفي إلى 180 درجة.

بالنسبة للدائرة ، فإن نسبة المساحة إلى المحيط (مصطلح محيط الدائرة) تساوي نصف نصف القطر r . يمكن ملاحظة ذلك من صيغة المساحة πr ² وصيغة المحيط 2 πr .

مساحة المضلع المنتظم تساوي نصف محيطه مضروبًا في الفاصل (حيث يكون القطر هو المسافة من المركز إلى أقرب نقطة على أي جانب).

فركتلات

مضاعفة أطوال حافة المضلع يضاعف مساحته بأربعة ، وهو اثنان (نسبة طول الضلع الجديد إلى الضلع القديم) مرفوعًا إلى أس اثنين (بعد المسافة التي يقيم فيها المضلع). ولكن إذا تم مضاعفة أطوال البعد الواحد للفركتلي المرسوم في بعدين ، فإن المحتوى المكاني للمقاييس الكسورية بقوة اثنين ليس بالضرورة عددًا صحيحًا. هذه القوة تسمى البعد الفركتلي للفركتل. ^[30]

هناك عدد لا حصر له من الخطوط التي تقسم مساحة المثلث. ثلاثة منهم هم متوسطات المثلث (التي تربط نقاط منتصف الأضلاع بالرؤوس المقابلة) ، وهي متزامنة عند النقطه الوسطى للمثلث ؛ في الواقع ، هم منصف المنطقة الوحيد الذي يمر عبر النقطه الوسطى. أي خط من خلال مثلث الذي يقسم المنطقة على حد سواء المثلث ومحيطه في النصف يمر incenter المثلث (مركز في دورته incircle ). يوجد إما واحد أو اثنان أو ثلاثة من هؤلاء لأي مثلث.

أي خط يمر من منتصف متوازي الأضلاع يقسم المنطقة.

تمر جميع منصفات المنطقة لدائرة أو أي شكل بيضاوي آخر عبر المركز ، وأي أوتار تمر عبر المركز تقسم المنطقة. في حالة الدائرة هم أقطار الدائرة.

بالنظر إلى محيط السلك ، فإن السطح الأقل امتدادًا ("ملء") يكون سطحًا ضئيلًا . تشمل الأمثلة المألوفة فقاعات الصابون .

مسألة منطقة التعبئة من دائرة ريمان لا يزال مفتوحا. ^[31]

الدائرة أكبر مساحة لأي جسم ثنائي الأبعاد له نفس المحيط.

يحتوي المضلع الدوري ( مضلع مرسوم في دائرة) على أكبر مساحة من أي مضلع مع عدد معين من الأضلاع من نفس الأطوال.

تنص نسخة من المتباينة المتساوية للمثلثات على أن مثلث أكبر مساحة بين كل تلك التي لها محيط معطى متساوي الأضلاع . ^[32]

مثلث أكبر مساحة من بين كل أولئك المدرجين في دائرة معينة متساوي الأضلاع ؛ ومثلث أصغر مساحة من كل تلك المحصورة حول دائرة معينة متساوي الأضلاع. ^[33]

نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المثلث متساوي الأضلاع ، ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$، أكبر من أي مثلث غير متساوي الأضلاع. ^[34]

نسبة المساحة إلى مربع محيط مثلث متساوي الأضلاع ، ${\ displaystyle {\ frac {1} {12 {\ sqrt {3}}}}،}$أكبر من أي مثلث آخر. ^[32]

• Brahmagupta الرباعي ، وهو رباعي دوري مع جوانب عدد صحيح ، وأقطار صحيحة ، ومنطقة عدد صحيح.
• خريطة Equiareal
• مثلث هيرونيان ، مثلث ذو جوانب صحيحة وعدد صحيح.
• قائمة متباينات المثلث
• مثلث مساحته سابع ، مثلث داخلي سابع مساحة المثلث المرجعي.

• نظرية روث ، تعميم لمثلث المنطقة السابعة.

• أوامر الحجم - قائمة المناطق حسب الحجم.
• اشتقاق صيغة البنتاغون
• Planimeter ، أداة لقياس المساحات الصغيرة ، على سبيل المثال على الخرائط.
• مساحة الشكل الرباعي المحدب
• خماسي روبنز الخماسي ، وهو خماسي دائري ، أطوال أضلاعه ومساحته كلها أعداد منطقية.