مخروط

يُطلق على محيط قاعدة المخروط اسم "الدليل" ، وكل جزء من الخط الفاصل بين الدليل والقمة عبارة عن "شبكة توليد" أو "خط توليد" للسطح الجانبي. (للاتصال بين هذا المعنى مصطلح "الدليل" و الدليل على قطع مخروطي، انظر كرات داندلين ).

"نصف قطر القاعدة" للمخروط الدائري هو نصف قطر قاعدته ؛ غالبًا ما يسمى هذا ببساطة نصف قطر المخروط. و الفتحة من مخروط دائري الصحيح هي زاوية أقصى بين خطين راسم السطح الأسطواني. إذا كان المولد يشكل زاوية θ على المحور ، فإن الفتحة هي 2 θ .

رسم توضيحي من Problemata mathematica ... نُشر في Acta Eruditorum ، 1734

يُطلق على المخروط الذي يحتوي على منطقة بما في ذلك قمته المقطوعة بواسطة مستوى " المخروط المقطوع " ؛ إذا كان مستوى الاقتطاع موازيًا لقاعدة المخروط ، فيُطلق عليه اسم frustum . ^[1] "المخروط الإهليلجي" هو مخروط ذو قاعدة بيضاوية الشكل . ^[1] "المخروط المعمم" هو السطح الذي تم إنشاؤه بواسطة مجموعة من الخطوط التي تمر عبر قمة وكل نقطة على الحدود (انظر أيضًا الهيكل البصري ).

مقدار

و حجم ${\ displaystyle V}$ من أي صلب مخروطي هو ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة ${\ displaystyle A_ {B}}$ والارتفاع ${\ displaystyle h}$^[4]

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} A_ {B} h.}$

في الرياضيات الحديثة ، يمكن بسهولة حساب هذه الصيغة باستخدام حساب التفاضل والتكامل - فهي ، حتى القياس ، التكامل ${\ displaystyle \ int x ^ {2} dx = {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3}.}$بدون استخدام حساب التفاضل والتكامل ، يمكن إثبات الصيغة عن طريق مقارنة المخروط بالهرم وتطبيق مبدأ كافالييري - على وجه التحديد ، مقارنة المخروط بهرم مربع قائم (مقياس رأسيًا) ، والذي يشكل ثلث مكعب. لا يمكن إثبات هذه الصيغة دون استخدام مثل هذه الحجج المتناهية الصغر - على عكس الصيغ ثنائية الأبعاد للمنطقة متعددة السطوح ، على الرغم من تشابهها مع مساحة الدائرة - ومن ثم تم قبول البراهين الأقل صرامة قبل ظهور حساب التفاضل والتكامل ، حيث استخدم الإغريق القدماء طريقة استنفاد . هذا هو أساسًا محتوى مشكلة هيلبرت الثالثة - وبشكل أكثر دقة ، ليست كل الأهرامات متعددة السطوح مقصات متطابقة (يمكن تقطيعها إلى قطع محدودة وإعادة ترتيبها في الأخرى) ، وبالتالي لا يمكن حساب الحجم تمامًا باستخدام حجة التحلل. ^[5]

مركز الكتلة

يقع مركز كتلة مادة صلبة مخروطية ذات كثافة منتظمة على ربع الطريق من مركز القاعدة إلى الرأس ، على الخط المستقيم الذي يربط بين الاثنين.

مخروط دائري قائم

مقدار

بالنسبة لمخروط دائري نصف قطره r وارتفاعه h ، فإن القاعدة عبارة عن دائرة مساحتها${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$وهكذا تصبح صيغة الحجم ^[6]

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h.}$

ارتفاع مائل

الارتفاع المائل للمخروط الدائري الأيمن هو المسافة من أي نقطة على دائرة قاعدته إلى القمة عبر قطعة مستقيمة على طول سطح المخروط. أعطيت من قبل${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$، أين ${\ displaystyle r}$هو نصف قطر القاعدة و${\ displaystyle h}$هو الارتفاع. يمكن إثبات ذلك من خلال نظرية فيثاغورس .

مساحة السطح

على السطح الجانبي منطقة مخروط دائري الصحيح هو${\ displaystyle LSA = \ pi rl}$ أين ${\ displaystyle r}$ هو نصف قطر الدائرة أسفل المخروط و ${\ displaystyle l}$هو الارتفاع المائل للمخروط. ^[4] مساحة سطح الدائرة السفلية للمخروط هي نفسها لأي دائرة ،${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$. وبالتالي ، يمكن التعبير عن المساحة الإجمالية لمخروط دائري قائم على النحو التالي:

• نصف القطر والارتفاع

${\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

(مساحة القاعدة زائد مساحة السطح الجانبي ؛ المصطلح ${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$ هو الارتفاع المائل)

${\ displaystyle \ pi r \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}$

أين ${\ displaystyle r}$ هو نصف القطر و ${\ displaystyle h}$ هو الارتفاع.

• نصف القطر والارتفاع المائل

${\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi rl}$

${\ displaystyle \ pi r (r + l)}$

أين ${\ displaystyle r}$ هو نصف القطر و ${\ displaystyle l}$ هو الارتفاع المائل.

• المحيط والارتفاع المائل

${\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {4 \ pi}} + {\ frac {cl} {2}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {c} {2}} \ right) \ left ({\ frac {c} {2 \ pi}} + l \ right)}$

أين ${\ displaystyle c}$ هو محيط و ${\ displaystyle l}$ هو الارتفاع المائل.

• زاوية القمة والارتفاع

${\ displaystyle \ pi h ^ {2} \ tan {\ frac {\ Theta} {2}} \ left (\ tan {\ frac {\ Theta} {2}} + \ sec {\ frac {\ Theta} { 2}} حق)}$

أين ${\ displaystyle \ Theta}$ هي زاوية القمة و ${\ displaystyle h}$ هو الارتفاع.

قطاع دائري

في قطاع دائري التي حصلت عليها تتكشف سطح المقيلل واحدة من مخروط بما يلي:

• نصف قطر R

${\ displaystyle R = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

• طول القوس L

${\ displaystyle L = c = 2 \ pi r}$

• الزاوية المركزية φ بالتقدير الدائري

${\ displaystyle \ phi = {\ frac {L} {R}} = {\ frac {2 \ pi r} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}}$

شكل المعادلة

يمكن تحديد معلمات سطح المخروط كـ

${\ displaystyle f (\ theta، h) = (h \ cos \ theta، h \ sin \ theta، h)،}$

أين ${\ displaystyle \ theta \ in [0،2 \ pi)}$ هي الزاوية "حول" المخروط ، و ${\ displaystyle h \ in \ mathbb {R}}$ هو "الارتفاع" على طول المخروط.

مخروط دائري صلب مع ارتفاع ${\ displaystyle h}$ وفتحة العدسة ${\ displaystyle 2 \ theta}$، محورها هو ${\ displaystyle z}$ يتم وصف محور التنسيق والذي يكون رأسه هو الأصل ، حدوديًا كـ

${displaystyle F (s، t، u) = left (u \ tan s \ cos t، u \ tan s \ sin t، u \ right)}$

أين ${\ displaystyle s، t، u}$ مدى أكثر ${\ displaystyle [0، \ theta)}$و ${\ displaystyle [0،2 \ pi)}$، و ${\ displaystyle [0، h]}$، على التوالى.

في الشكل الضمني ، يتم تعريف المادة الصلبة نفسها من خلال عدم المساواة

${\ displaystyle \ {F (x، y، z) \ leq 0، z \ geq 0، z \ leq h \}،}$

أين

${\ displaystyle F (x، y، z) = (x ^ {2} + y ^ {2}) (\ cos \ theta) ^ {2} -z ^ {2} (sin \ theta) ^ {2 }. \،}$

بشكل أكثر عمومية ، مخروط دائري قائم بذاته عند نقطة الأصل ، ومحور موازٍ للناقل ${\ displaystyle d}$وفتحة العدسة ${\ displaystyle 2 \ theta}$، بواسطة معادلة المتجه الضمنية${\ displaystyle F (u) = 0}$ أين

${\ displaystyle F (u) = (u \ cdot d) ^ {2} - (d \ cdot d) (u \ cdot u) (\ cos \ theta) ^ {2}}$   أو   ${\ displaystyle F (u) = u \ cdot d- | d || u | cos \ theta}$

أين ${displaystyle u = (x، y، z)}$، و ${\ displaystyle u \ cdot d}$يشير إلى المنتج النقطي .

مخروط بيضاوي الشكل

سطح مخروطي رباعي الشكل بيضاوي الشكل

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، المخروط الناقص هو موضع معادلة الشكل ^[7]

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = z ^ {2}.}$

إنها صورة أفقية لمخروط الوحدة الدائرية اليمنى مع المعادلة${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \.}$من حقيقة أن الصورة الأفينية للمقطع المخروطي هي مقطع مخروطي من نفس النوع (القطع الناقص ، القطع المكافئ ، ...) يحصل المرء على:

• أي جزء مستوي من مخروط بيضاوي هو مقطع مخروطي.

من الواضح أن أي مخروط دائري قائم يحتوي على دوائر. هذا صحيح أيضًا ، لكنه أقل وضوحًا ، في الحالة العامة (انظر القسم الدائري ).

في الهندسة الإسقاطية ، تكون الأسطوانة ببساطة مخروطًا تكون قمته عند اللانهاية ، والتي تتوافق بصريًا مع أسطوانة في منظور يبدو وكأنها مخروط باتجاه السماء.

في الهندسة الإسقاطية ، تكون الأسطوانة ببساطة مخروطًا تكون قمته عند اللانهاية. ^[8] حدسيًا ، إذا أبقى المرء القاعدة ثابتة وأخذ الحد مع انتقال القمة إلى ما لا نهاية ، يحصل المرء على أسطوانة ، وتزداد زاوية الجانب كالأركتان ، في النهاية تشكل زاوية قائمة . هذا مفيد في تعريف المخروطيات المتدهورة ، والتي تتطلب النظر في المخروطيات الأسطوانية .

وفقًا لـ GB Halsted ، يتم إنشاء مخروط بشكل مشابه لمخروط شتاينر فقط باستخدام أقلام إسقاط ومحورية (ليست في المنظور) بدلاً من نطاقات الإسقاط المستخدمة في مخروط شتاينر:

"إذا كان هناك قلمان محوريان غير محوريين غير محوريين من النوع الإسقاطي ولكن ليس منظورًا ، فإن التقاء المستويات المترابطة يشكل" سطحًا مخروطيًا من الدرجة الثانية "أو" مخروطًا "." ^[9]

يمكن أن يمتد تعريف المخروط إلى أبعاد أعلى (انظر المخاريط المحدبة ). في هذه الحالة، يقول أحد أن مجموعة محدب C في حقيقي ناقلات الفضاء R ^ن هو مخروط (مع قمة في الأصل) اذا كان لكل لناقلات العاشر في C وكل غير سلبي العدد الحقيقي ل ، وناقلات الفأس في C . ^[2] في هذا السياق ، لا تكون نظائر المخاريط الدائرية خاصة في العادة ؛ في الواقع ، غالبًا ما يهتم المرء بالمخاريط متعددة السطوح .

• بيكون
• مخروط (الجبر الخطي)
• مخروط (طوبولوجيا)
• اسطوانة (هندسة)
• ديموقريطس
• مخروطي معمم
• زائدي
• قائمة الأشكال
• مخروط بيرومتري
• رباعي
• دوران المحاور
• سطح محكم
• ترجمة المحاور

• بروتر ، موراي هـ. موري ، الابن ، تشارلز ب. (1970) ، حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية (الطبعة الثانية) ، القراءة: أديسون ويسلي ، LCCN  76087042

• وايسشتاين ، إريك دبليو "كون" . ماثوورلد .
• وايسشتاين ، إريك دبليو "دبل كون" . ماثوورلد .
• وايسشتاين ، إريك دبليو "المخروط المعمم" . ماثوورلد .
• مخروط غزل تفاعلي من Math Is Fun
• نموذج الورق المخروطي
• مساحة السطح الجانبي لمخروط مائل
• قطع مخروط عرض تفاعلي لتقاطع المخروط مع المستوى