قطع مخروطي

تمت دراسة المقاطع المخروطية منذ آلاف السنين وقدمت مصدرًا غنيًا لنتائج مثيرة للاهتمام وجميلة في الهندسة الإقليدية .

تعريف

الحدود السوداء للمناطق الملونة عبارة عن مقاطع مخروطية. لا يظهر النصف الآخر من القطع الزائد ، الموجود في النصف الآخر غير المعروض من المخروط المزدوج.

A مخروطي هو منحنى تم الحصول عليها من تقاطع الطائرة ، وتسمى طائرة القطع ، مع سطح مزدوج مخروط (مخروط مع اثنين من nappes ). يُفترض عادةً أن المخروط عبارة عن مخروط دائري قائم الزاوية لغرض سهولة الوصف ، ولكن هذا ليس مطلوبًا ؛ يكفي أي مخروط مزدوج به مقطع عرضي دائري. سوف تتقاطع المستويات التي تمر عبر رأس المخروط مع المخروط في نقطة أو خط أو زوج من الخطوط المتقاطعة. وتسمى هذه الأشكال المخروطية المتدهورة وبعض المؤلفين لا يعتبرونها مخروطية على الإطلاق. ما لم يُنص على خلاف ذلك ، تشير كلمة "مخروطي" في هذه المقالة إلى شكل مخروطي غير متحلل.

هناك ثلاثة أنواع من هندسة المخروطيات: على القطع الناقص ، القطع المكافئ ، و القطع الزائد . في دائرة هي نوع خاص من القطع الناقص، على الرغم من تاريخيا تعتبر أبولونيوس كنوع الرابع. تظهر القطع الناقصة عندما يكون تقاطع المخروط والمستوى منحنى مغلق . يتم الحصول على الدائرة عندما يكون مستوى القطع موازيًا لمستوى دائرة توليد المخروط ؛ بالنسبة للمخروط الأيمن ، فهذا يعني أن مستوى القطع عمودي على المحور. إذا كان مستوى القطع موازيًا لخط توليد واحد بالضبط للمخروط ، فإن المخروط يكون غير محدود ويسمى القطع المكافئ . في حالة المتبقية، وهذا الرقم هو القطع الزائد : الطائرة يتقاطع كل من نصفي المخروط، وإنتاج اثنين من منحنيات غير محدود منفصلة.

اللامركزية والتركيز والمخرج

القطع الناقص ( e = 1/2) ، القطع المكافئ ( e = 1) والقطع الزائد ( e = 2) مع التركيز الثابت F والدليل ( e = ∞). تم تضمين الدائرة الحمراء ( e = 0) كمرجع ؛ ليس لديها دليل في المستوى.

بدلاً من ذلك ، يمكن تعريف مقطع مخروطي بحتة من حيث هندسة المستوى: إنه موضع جميع النقاط P التي تكون المسافة إلى نقطة ثابتة F (تسمى التركيز ) مضاعفًا ثابتًا (يسمى الانحراف e ) للمسافة من P إلى خط ثابت L (يسمى الدليل ). بالنسبة لـ 0 < e <1 ، نحصل على قطع ناقص ، بالنسبة لـ e = 1 قطع مكافئ ، وبالنسبة لـ e > 1 ، نحصل على قطع زائد.

الدائرة هي حالة محدودة ولا يتم تحديدها من خلال التركيز والدليل في المستوى الإقليدي. يتم تعريف الانحراف اللامركزي في الدائرة على أنه صفر وتركيزها هو مركز الدائرة ، ولكن دليلها لا يمكن اعتباره إلا كخط عند اللانهاية في المستوى الإسقاطي. ^[2]

يمكن اعتبار الانحراف اللامركزي للقطع الناقص مقياسًا لمدى انحراف القطع الناقص عن كونه دائريًا. ^{[3] : 844}

إذا كانت الزاوية بين سطح المخروط ومحوره هي ${\ displaystyle \ beta}$ والزاوية بين مستوى القطع والمحور ${\ displaystyle \ alpha،}$الانحراف هو ^[4] ${\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta}}.}$

يتم تسهيل إثبات أن المنحنيات أعلاه المحددة بواسطة خاصية دليل التركيز البؤري هي نفسها التي تم الحصول عليها بواسطة الطائرات التي تتقاطع مع مخروط باستخدام مجالات Dandelin . ^[5]

بدلاً من ذلك ، يمكن تعريف القطع الناقص من حيث نقطتي تركيز ، حيث يكون موضع النقاط التي يكون مجموع المسافات إلى البؤرتين 2 أ ؛ بينما القطع الزائد هو الموضع الذي يكون اختلاف المسافات فيه 2 أ . (وهنا ل هو المحور شبه الرئيسي هو موضح أدناه.) يمكن أيضا تعريف القطع المكافئ من حيث تركيزها والخط المستقيم عريض (بالتوازي مع الدليل والتي تمر عبر التركيز): هو موضع من النقاط التي لمسافة التركيز زائد أو ناقص المسافة إلى الخط تساوي 2 أ ؛ زائد إذا كانت النقطة بين الدليل والمستقيم العريض ، ناقص خلاف ذلك.

المعلمات المخروطية

المعلمات المخروطية في حالة القطع الناقص

بالإضافة إلى الانحراف ( e ) ، والبؤر ، والدليل ، ترتبط السمات والأطوال الهندسية المختلفة بقسم مخروطي.

و المحور الرئيسي هو الخط الواصل بين بؤر القطع الناقص أو القطع الزائد، ومنتصفه هو منحنى من مركز . القطع المكافئ ليس له مركز.

و الانحراف الخطي ( ج ) هي المسافة بين المركز والتركيز.

و المستقيم عريض هو وتر بالتوازي مع الدليل ويمر من خلال التركيز؛ نصف طوله هو المستقيم شبه العريض ( ℓ ).

و المعلمة تنسيق ( ص ) هي المسافة من التركيز إلى الدليل المطابق.

و المحور الرئيسي هو الحبل بين القمم اثنين: أطول وتر من القطع الناقص، أقصر وتر بين فروع القطع الزائد. نصف طوله هو المحور شبه الرئيسي ( أ ). عندما القطع الناقص أو القطع الزائد هم في موقف القياسية كما في المعادلات أدناه، مع بؤر في العاشر -axis والمركز في الأصل، والقمم من مخروطي لها إحداثيات (- و ، 0) و ( ل ، 0) ، مع ل غير سلبي.

في محور قاصر هو أقصر القطر من القطع الناقص، ولها نصف طول محور شبه قاصر ( ب )، ونفس القيمة ب كما في المعادلة القياسية أدناه. عن طريق القياس ، بالنسبة للقطع الزائد ، فإن المعلمة b في المعادلة القياسية تسمى أيضًا المحور شبه الصغير.

العلاقات التالية قائمة: ^[6]

• ${\ displaystyle \ ell = pe}$
• ${\ displaystyle \ c = ae}$
• ${\ displaystyle \ p + c = {\ frac {a} {e}}}$

بالنسبة للمخروطيات في الوضع القياسي ، تحتوي هذه المعلمات على القيم التالية ، مع الأخذ في الاعتبار ${\ displaystyle a، b> 0}$.

قطع مخروطي	معادلة	شذوذ ( ه )	الانحراف الخطي ( ج )	المستقيم شبه العريض ( ℓ )	المعلمة البؤرية ( ع )
دائرة	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \،}$	${\ displaystyle 0 \،}$	${\ displaystyle 0 \،}$	${\ displaystyle a \،}$	${\ displaystyle \ infty}$
الشكل البيضاوي	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}}$
القطع المكافئ	${\ displaystyle y ^ {2} = 4ax \،}$	${\ displaystyle 1 \،}$	غير متاح	${\ displaystyle 2a \،}$	${\ displaystyle 2a \،}$
القطع الزائد	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$

النماذج القياسية في الإحداثيات الديكارتية

الأشكال القياسية للقطع الناقص

الأشكال القياسية للقطع المكافئ

الأشكال القياسية للقطع الزائد

بعد إدخال الإحداثيات الديكارتية ، يمكن استخدام خاصية دليل البؤرة لإنتاج المعادلات التي تفي بنقاط المقطع المخروطي. ^[7] وعن طريق تغيير الإحداثيات ( دوران و ترجمة محاور ) هذه المعادلات يمكن وضع النماذج القياسية . ^[8] على الحذف والقطوع الزائدة استمارة موحدة لديه س -axis كما المحور الرئيسي وأصل (0،0)، والمركز. الرؤوس هي (± أ ، 0) والبؤر (± ج ، 0) . حدد b بالمعادلات c ² = a ² - b ² للقطع الناقص و c ² = a ² + b ² للقطع الزائد. بالنسبة للدائرة ، ج = 0 لذا أ ² = ب ² . بالنسبة للقطع المكافئ ، تركز الصيغة القياسية على المحور x عند النقطة ( أ ، 0) والموجه على الخط الذي يحتوي على المعادلة س = - أ . في الشكل القياسي ، سيمر القطع المكافئ دائمًا من خلال الأصل.

بالنسبة للقطع الزائد المستطيل أو المتساوي الأضلاع ، الذي تكون خطوطه المقاربة متعامدة ، يوجد شكل قياسي بديل تكون فيه الخطوط المقاربة هي محاور الإحداثيات والخط x = y هو المحور الرئيسي. ثم يكون للبؤر إحداثيات ( ج ، ج ) و (- ج ، - ج ) . ^[9]

• الدائرة: x ² + y ² = a ²
• الشكل البيضاوي: × ²/أ ² + ص ²/ب ² = 1
• القطع المكافئ: y ² = 4 ax مع a > 0
• القطع الزائد: × ²/أ ² - ص ²/ب ² = 1
• القطع الزائد المستطيل: ^[10] xy = ج ²/2

الأربعة الأولى من هذه الأشكال هي متماثل حول كل من س -axis و ذ -axis (للدائرة، والقطع الناقص والقطع الزائد)، أو عن س -axis فقط (على القطع المكافئ). ومع ذلك ، فإن القطع الزائد المستطيل متماثل حول المستقيمين y = x و y = - x .

يمكن كتابة هذه النماذج القياسية بشكل حدودي ،

• الدائرة : ( a cos θ ، a sin θ ) ،
• القطع الناقص : ( أ كوس θ ، ب خطيئة θ ) ،
• القطع المكافئ : ( عند ² ، 2 عند ) ،
• القطع الزائد : ( a sec θ ، b tan θ ) أو (± a cosh u ، b sinh u ) ،
• القطع الزائد المستطيل :${\ displaystyle (d \، t، {\ frac {d} {t}})}$ أين ${\ displaystyle d = {\ frac {c} {\ sqrt {2}}}.}$

شكل ديكارتي عام

في النظام الديكارتي تنسيق ، و الرسم البياني لل معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين هو دائما قطع مخروطي (على الرغم من أنه قد يكون منحط ^[11] )، وتنشأ عن القطوع المخروطية في هذا السبيل. المعادلة الأكثر عمومية هي من الشكل ^[12]

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0،}$

مع جميع المعاملات الأعداد الحقيقية و A و B و C ليس كلها صفراً.

تدوين المصفوفة

يمكن كتابة المعادلة أعلاه بترميز المصفوفة على النحو التالي ^[13]

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} D&E \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + F = 0.}$

يمكن أيضًا كتابة المعادلة العامة كـ

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \ B / 2 & C & E / 2 \ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 1 \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

هذا النموذج هو تخصص للشكل المتجانس المستخدم في الإعداد الأكثر عمومية للهندسة الإسقاطية (انظر أدناه ).

مميز

يمكن تصنيف المقاطع المخروطية الموصوفة في هذه المعادلة من حيث القيمة ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC}$، يسمى مميز المعادلة. ^[14] وبالتالي ، فإن المميز هو - 4Δ حيث Δ هي محدد المصفوفة ${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} A & B / 2 \ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right |.}$

إذا كان المخروط غير متحلل ، فحينئذٍ: ^[15]

• إذا كانت B ² - 4 AC <0 ، فإن المعادلة تمثل قطع ناقص ؛
  • إذا كان A = C و B = 0 ، فإن المعادلة تمثل دائرة ، وهي حالة خاصة للقطع الناقص ؛
• إذا كانت B ² - 4 AC = 0 ، فإن المعادلة تمثل القطع المكافئ ؛
• إذا كانت B ² - 4 AC > 0 ، فإن المعادلة تمثل القطع الزائد ؛
  • إذا كانت A + C = 0 ، فإن المعادلة تمثل قطعًا زائدًا مستطيلًا .

في تدوين المستخدمة هنا، و و B هي معاملات متعدد الحدود، على النقيض من بعض المصادر التي تدل على محاور semimajor وsemiminor كما و و B .

الثوابت

والتمايز B ² - 4 AC من معادلة من الدرجة الثانية في قطع مخروطي (أو مكافئ لل حاسم AC - B ² /4 مصفوفة 2 × 2) وكمية A + C (على أثر مصفوفة 2 × 2) تحت ثابتة تناوب وترجمات عشوائية لمحاور الإحداثيات ، ^{[15] [16] [17]} كما هو محدد لمصفوفة 3 × 3 أعلاه . ^{[18] : ص 60-62} المصطلحان الثابت F ومجموع D ² + E ² ثابتان في حالة الدوران فقط. ^{[18] : ص 60-62}

اللامركزية من حيث المعاملات

عندما يتم كتابة المقطع المخروطي جبريًا كـ

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0، \،}$

يمكن كتابة الانحراف كدالة لمعاملات المعادلة التربيعية. ^[19] إذا كان 4 AC = B ² فإن المخروط عبارة عن قطع مكافئ وانحرافه يساوي 1 (بشرط أن يكون غير متحلل). خلاف ذلك ، بافتراض أن المعادلة تمثل إما قطع زائد أو قطع ناقص غير متحلل ، يتم إعطاء الانحراف عن طريق

${\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}} ،}$

حيث η = 1 إذا كان محدد المصفوفة 3 × 3 أعلاه سالبًا و η = −1 إذا كان المحدد موجبًا.

يمكن أن تظهر أيضًا ^{[18] : ص. 89} أن الانحراف هو حل إيجابي للمعادلة

${\ displaystyle \ Delta e ^ {4} + [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] e ^ {2} - [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] = 0، }$

أين مرة أخرى ${\ displaystyle \ Delta = AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}}.}$ هذا له بالضبط حل إيجابي واحد - الانحراف - في حالة القطع المكافئ أو القطع الناقص ، بينما في حالة القطع الزائد ، يكون له حلين موجبين ، أحدهما هو الانحراف.

التحويل إلى الشكل المتعارف عليه

في حالة القطع الزائد أو القطع الزائد ، المعادلة

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 \،}$

يمكن تحويلها إلى شكل أساسي في المتغيرات المحولة ${\ displaystyle {\ tilde {x}} ، {\ tilde {y}}}$كـ ^[20]

${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {x}} ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2})}} + {\ frac {{\ تيلدا {y}} ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} ^ {2})}} = 1،}$

أو مكافئ

${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {x}} ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} \ Delta)}} + {\ frac {{\ tilde {y}} ^ {2 }} {- S / (\ lambda _ {2} \ Delta)}} = 1 ،}$

أين ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ و ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$هي القيم الذاتية للمصفوفة${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right)}$ - أي حلول المعادلة

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} - (A + C) \ lambda + (AC- (B / 2) ^ {2}) = 0}$

- و ${\ displaystyle S}$هو محدد المصفوفة 3 × 3 أعلاه ، و${\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$مرة أخرى هو محدد مصفوفة 2 × 2. في حالة القطع الناقص ، يتم إعطاء مربعات شبه المحورين بواسطة المقامات في الشكل الأساسي.

الإحداثيات القطبية

تطوير القسم المخروطي مع زيادة الانحراف e

في الإحداثيات القطبية ، يتم إعطاء مقطع مخروطي مع تركيز واحد على الأصل ، وإذا وجد ، الآخر بقيمة سالبة (للقطع الناقص) أو قيمة موجبة (للقطع الزائد) على المحور x ، من خلال المعادلة

${\ displaystyle r = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}}،}$

حيث الإلكترونية هو الانحراف و ل هو المستقيم شبه عريض.

كما هو مذكور أعلاه ، بالنسبة إلى e = 0 ، يكون الرسم البياني عبارة عن دائرة ، وبالنسبة إلى 0 < e <1 ، فإن الرسم البياني عبارة عن قطع ناقص ، وبالنسبة إلى e = 1 قطع مكافئ ، وبالنسبة إلى e > 1 ، يمثل الرسم البياني قطعًا زائدًا.

غالبًا ما يستخدم الشكل القطبي لمعادلة المخروط في الديناميات ؛ على سبيل المثال ، تحديد مدارات الأجسام التي تدور حول الشمس. ^[21]

الخصائص

مثلما تحدد نقطتان (منفصلتان) الخط ، فإن خمس نقاط تحدد شكل مخروطي . رسميًا ، بالنظر إلى أي خمس نقاط في المستوى في الموضع الخطي العام ، مما يعني عدم وجود ثلاث خطوط خطية متداخلة ، هناك مخروطي فريد يمر عبرها ، والذي سيكون غير متدهور ؛ هذا صحيح في كل من المستوى الإقليدي وامتداده ، المستوى الإسقاطي الحقيقي. في الواقع ، بالنظر إلى أي خمس نقاط ، هناك مخروطي يمر عبرها ، ولكن إذا كانت ثلاث من النقاط متداخلة ، فسيكون المخروط متدهورًا (قابل للاختزال ، لأنه يحتوي على خط) ، وقد لا يكون فريدًا ؛ انظر المزيد من المناقشة .

تحدد أربع نقاط في المستوى في الوضع الخطي العام مخروطًا فريدًا يمر عبر النقاط الثلاث الأولى ويكون النقطة الرابعة مركزًا لها. وبالتالي ، فإن معرفة المركز يعادل معرفة نقطتين على الشكل المخروطي بغرض تحديد المنحنى. ^[22]

علاوة على ذلك ، يتم تحديد المخروط من خلال أي مجموعة من نقاط k في الموضع العام الذي يمر فيه وخطوط 5 - k المماس لها ، لـ 0≤ k ≤5 . ^[23]

أي نقطة في المستوى تكون إما على صفر أو خط أو خطين مماسين للمخروط. توجد نقطة على خط مماس واحد فقط على الشكل المخروطي. يُقال أن النقطة الموجودة على خط المماس هي نقطة داخلية (أو نقطة داخلية ) للمخروط ، في حين أن النقطة الموجودة على خطين مماسين هي نقطة خارجية (أو نقطة خارجية ).

تشترك جميع المقاطع المخروطية في خاصية الانعكاس التي يمكن ذكرها على النحو التالي: تعكس جميع المرايا التي تتخذ شكل مقطع مخروطي غير متدهور الضوء القادم من تركيز واحد أو يتجه نحو التركيز الآخر أو بعيدًا عنه. في حالة القطع المكافئ ، يجب التفكير في البؤرة الثانية على أنها بعيدة بلا حدود ، بحيث تكون أشعة الضوء التي تتجه نحو البؤرة الثانية أو القادمة منها متوازية. ^{[24] [25]}

تتعلق نظرية باسكال بعلاقة خطية متداخلة لثلاث نقاط يتم إنشاؤها من مجموعة من ست نقاط على أي مخروط غير منحط. تنطبق النظرية أيضًا على المخروطيات المتدهورة التي تتكون من سطرين ، ولكن في هذه الحالة تُعرف باسم نظرية بابوس .

المقاطع المخروطية غير المتحللة تكون دائمًا " ناعمة ". هذا مهم للعديد من التطبيقات ، مثل الديناميكا الهوائية ، حيث يلزم وجود سطح أملس لضمان التدفق الصفحي ولمنع الاضطرابات .

مناشموس واعماله المبكرة

يُعتقد أن التعريف الأول للقسم المخروطي قد قدمه مينايشموس (توفي في 320 قبل الميلاد) كجزء من حله لمشكلة ديليان ( نسخ المكعب ). ^{[26] [27]} لم ينج عمله ، ولا حتى الأسماء التي استخدمها لهذه المنحنيات ، وهو معروف فقط من خلال حسابات ثانوية. ^[28] التعريف المستخدم في ذلك الوقت يختلف عن التعريف المستخدم بشكل شائع اليوم. تم إنشاء المخاريط عن طريق تدوير مثلث قائم الزاوية حول إحدى رجليه بحيث يولد الوتر سطح المخروط (يسمى هذا الخط بالمركبة المولدة ). تم تحديد ثلاثة أنواع من المخاريط من خلال زواياها الرأسية (تم قياسها بضعف الزاوية التي شكلها الوتر والساق التي يتم تدويرها في المثلث الأيمن). ثم تم تحديد المقطع المخروطي عن طريق تقاطع أحد هذه المخاريط مع مستوى مرسوم بشكل عمودي على شبكة توليد. نوع المخروط يتحدد بنوع المخروط ، أي بالزاوية المتكونة في قمة المخروط: إذا كانت الزاوية حادة فإن المخروط هو قطع ناقص ؛ إذا كانت الزاوية صحيحة فإن المخروط هو قطع مكافئ ؛ وإذا كانت الزاوية منفرجة ، فإن الشكل المخروطي عبارة عن قطع زائد (لكن فرعًا واحدًا فقط من المنحنى). ^[29]

يقال إن إقليدس (من 300 قبل الميلاد) قد ألف أربعة كتب عن المخروطيات ولكن هذه الكتب ضاعت أيضًا. ^{[30] من} المعروف أن أرخميدس (توفي حوالي 212 قبل الميلاد) درس المخروطيات ، بعد أن حدد المنطقة التي يحدها قطع مكافئ وتوتر في تربيع القطع المكافئ . كان اهتمامه الرئيسي من حيث قياس مساحات وأحجام الأشكال المتعلقة بالمخروطات وجزء من هذا العمل بقي في كتابه عن المواد الصلبة لثورة المخروطيات ، على المخروطات والأشكال الشبه الكروية . ^[31]

أبولونيوس من بيرجا

رسم تخطيطي من مخروطات أبولونيوس ، في ترجمة عربية من القرن التاسع

التقدم الأكبر في دراسة هندسة المخروطيات من قبل الإغريق ويرجع ذلك إلى أبولونيوس من برجة (توفي ج. 190 قبل الميلاد)، الذي ثمانية مجلدات القطوع المخروطية أو هندسة المخروطيات تلخيص ومددت كثيرا المعارف القائمة. ^[32] أتاحت دراسة أبولونيوس لخصائص هذه المنحنيات إظهار أن أي مستوى يقطع مخروطًا مزدوجًا ثابتًا (قيلولة) ، بغض النظر عن الزاوية ، سينتج مخروطًا وفقًا للتعريف السابق ، مما يؤدي إلى التعريف الشائع الاستخدام اليوم. الدوائر ، غير القابلة للإنشاء بالطريقة السابقة ، يمكن الحصول عليها أيضًا بهذه الطريقة. قد يفسر هذا سبب اعتبار أبولونيوس للدوائر نوعًا رابعًا من القسم المخروطي ، وهو تمييز لم يعد موجودًا. تستخدم أبولونيوس أسماء القطع الناقص ، القطع المكافئ و القطع الزائد لهذه المنحنيات، والاقتراض المصطلحات من العمل فيثاغورس في وقت سابق على المناطق. ^[33]

يُنسب إلى بابوس من الإسكندرية (توفي عام 350 م) شرح أهمية مفهوم التركيز المخروطي ، وتفصيل المفهوم ذي الصلة للمجلد ، بما في ذلك حالة القطع المكافئ (التي تفتقر إليها أعمال أبولونيوس المعروفة). ^[34]

الكوحي

تم وصف أداة رسم المقاطع المخروطية لأول مرة في عام 1000 م من قبل عالم الرياضيات الإسلامي الكوحي . ^{[35] : 30 [36]}

عمر الخيام

تُرجم عمل أبولونيوس إلى اللغة العربية ، ولم يتبق الكثير من أعماله إلا من خلال النسخة العربية. وجد الفرس تطبيقات لهذه النظرية ، أبرزها عالم الرياضيات والشاعر الفارسي ^[37] عمر الخيام ، الذي وجد طريقة هندسية لحل المعادلات التكعيبية باستخدام المقاطع المخروطية. ^{[38] [39]}

أوروبا

وسع يوهانس كيبلر نظرية المخروطيات من خلال " مبدأ الاستمرارية " ، تمهيداً لمفهوم الحدود. استخدم كبلر مصطلح البؤر لأول مرة في عام 1604. ^[40]

جيرارد ديزارغيه و بليز باسكال طور نظرية هندسة المخروطيات باستخدام شكل مبكر من اسقاطي وهذا ساعد على توفير الزخم لدراسة هذا الحقل الجديد. على وجه الخصوص ، اكتشف باسكال نظرية تعرف باسم hexagrammum mysticum يمكن من خلالها استنتاج العديد من الخصائص الأخرى للمخروطات .

رينيه ديكارت و بيير فيرما على حد سواء طبقت المكتشفة حديثا من الهندسة التحليلية لدراسة هندسة المخروطيات. كان لهذا تأثير في تقليل المشاكل الهندسية للمخروطيات إلى مشاكل في الجبر. ومع ذلك ، كان جون واليس في أطروحته عام 1655 Tractatus de sectionibus conicis هو أول من حدد المقاطع المخروطية على أنها حالات من معادلات الدرجة الثانية. ^[41] مكتوبة في وقت سابق، ولكنها نشرت في وقت لاحق، جان دي ويت الصورة Elementa Curvarum Linearum يبدأ كبلر الحركية بناء هندسة المخروطيات ثم تطور المعادلات الجبرية. تم وصف هذا العمل ، الذي يستخدم منهجية فيرما وتدوين ديكارت ، بأنه أول كتاب مدرسي حول هذا الموضوع. ^[42] اخترع دي ويت مصطلح المخرجة . ^[42]

و قطعية شكل Archeocyathids تنتج القطوع المخروطية على وجوه الروك

تعتبر المقاطع المخروطية مهمة في علم الفلك : فمدارات جسمين هائلين يتفاعلان وفقًا لقانون نيوتن للجاذبية الكونية هي مقاطع مخروطية إذا اعتبر مركز كتلتهما المشترك في حالة سكون. إذا كانا مرتبطين معًا ، فسيقوم كلاهما بتتبع علامات الحذف ؛ إذا كانوا يتحركون بعيدًا ، فسيتبع كلاهما القطع المكافئ أو القطوع الزائدة. انظر مشكلة الجسمين .

تستخدم الخصائص الانعكاسية للمقاطع المخروطية في تصميم الكشافات والتلسكوبات الراديوية وبعض التلسكوبات البصرية. ^[43] كشاف يستخدم مرآة مكافئة كعاكس ، مع لمبة في البؤرة ؛ ويستخدم هيكل مشابه للميكروفون ذي القطع المكافئ . يستخدم تلسكوب هيرشل البصري الذي يبلغ طوله 4.2 متر والموجود في لا بالما ، بجزر الكناري ، مرآة مكافئة أولية لعكس الضوء باتجاه مرآة زائدية ثانوية ، مما يعكسه مرة أخرى إلى بؤرة خلف المرآة الأولى.

تتمتع المقاطع المخروطية ببعض الخصائص المتشابهة جدًا في المستوى الإقليدي ، وتصبح أسباب ذلك أكثر وضوحًا عندما يُنظر إلى الأشكال المخروطية من منظور هندسة أكبر. قد يتم تضمين المستوى الإقليدي في المستوى الإسقاطي الحقيقي ويمكن اعتبار المخروطيات ككائنات في هذه الهندسة الإسقاطية. تتمثل إحدى طرق القيام بذلك في إدخال إحداثيات متجانسة وتعريف المخروط ليكون مجموعة النقاط التي تلبي إحداثياتها معادلة تربيعية غير قابلة للاختزال في ثلاثة متغيرات (أو بشكل مكافئ ، أصفار شكل تربيعي غير قابل للاختزال ). بشكل أكثر تقنيًا ، تسمى مجموعة النقاط التي تكون أصفارًا لشكل تربيعي (في أي عدد من المتغيرات) تربيعًا ، وتسمى المربعات غير القابلة للاختزال في فضاء إسقاطي ثنائي الأبعاد (أي وجود ثلاثة متغيرات) تقليديا المخروطيات.

يتم تضمين المستوى الإقليدي R ² في المستوى الإسقاطي الحقيقي عن طريق ربط خط عند اللانهاية ( والنقاط المقابلة له عند اللانهاية ) بحيث تلتقي جميع خطوط الفئة المتوازية على هذا الخط. من ناحية أخرى ، بدءًا من المستوى الإسقاطي الحقيقي ، يتم الحصول على مستوى إقليدي عن طريق تمييز بعض الخطوط على أنها خط عند اللانهاية وإزالتها وجميع نقاطها.

تقاطع عند اللانهاية

في الفضاء الإسقاطي فوق أي حلقة تقسيم ، ولكن بشكل خاص على الأعداد الحقيقية أو المعقدة ، تكون جميع المخروطات غير المتحللة متكافئة ، وبالتالي في الهندسة الإسقاطية ، يتحدث المرء ببساطة عن "مخروطي" دون تحديد نوع. أي أن هناك تحولًا إسقاطيًا من شأنه أن يرسم أي مخروطي غير متحلل إلى أي مخروطي آخر غير متحلل. ^[44]

ستظهر الأنواع الثلاثة من المقاطع المخروطية مرة أخرى في المستوى الأفيني الذي تم الحصول عليه عن طريق اختيار خط من مساحة الإسقاط ليكون الخط اللانهائي. ثم يتم تحديد الأنواع الثلاثة من خلال كيفية تقاطع هذا الخط عند اللانهاية مع المخروط في الفضاء الإسقاطي. في الفضاء الأفيني المقابل ، يحصل المرء على قطع ناقص إذا كان المخروط لا يتقاطع مع الخط عند اللانهاية ، وقطع مكافئ إذا تقاطع المخروطي مع الخط عند اللانهاية في نقطة مزدوجة واحدة تقابل المحور ، وقطعة القطع الزائد إذا تقاطع المخروط مع الخط عند اللانهاية في نقطتين تقابل الخطوط المقاربة. ^[45]

إحداثيات متجانسة

في الإحداثيات المتجانسة ، يمكن تمثيل المقطع المخروطي على النحو التالي:

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.}$

أو في تدوين المصفوفة

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \ B / 2 & C & E / 2 \ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

تسمى المصفوفة 3 × 3 أعلاه مصفوفة المقطع المخروطي .

يفضل بعض المؤلفين كتابة المعادلة العامة المتجانسة كـ

${\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + 2Dxz + 2Eyz + Fz ^ {2} = 0،}$

(أو بعض الاختلاف في ذلك) بحيث يكون لمصفوفة المقطع المخروطي الشكل الأبسط ،

${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {matrix} A & B & D \ B & C & E \\ D & E & F \ end {matrix}} \ right)،}$

ولكن لم يتم استخدام هذا الترميز في هذه المقالة. ^[46]

إذا كان محدد مصفوفة المقطع المخروطي هو صفر ، فإن المقطع المخروطي يتدهور .

نظرًا لأن ضرب جميع المعاملات الستة بنفس العددية غير الصفرية ينتج عنه معادلة بنفس مجموعة الأصفار ، يمكن للمرء أن يعتبر المخروطيات ، ممثلة بـ ( A ، B ، C ، D ، E ، F ) كنقاط في الإسقاط الخماسي الأبعاد الفضاء ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}$

التعريف الإسقاطي للدائرة

متري مفاهيم الهندسة الإقليدية (المفاهيم المعنية مع قياس الأطوال والزوايا) لا يمكن تمديد مباشرة إلى الطائرة اسقاطي الحقيقية. ^[47] يجب إعادة تعريفها (وتعميمها) في هذه الهندسة الجديدة. يمكن القيام بذلك للطائرات الإسقاطية التعسفية ، ولكن للحصول على المستوى الإسقاطي الحقيقي مثل المستوى الإقليدي الممتد ، يجب اتخاذ بعض الخيارات المحددة. ^[48]

إصلاح خط تعسفي في مستوى إسقاط يجب أن يشار إليه على أنه الخط المطلق . حدد نقطتين مميزتين على الخط المطلق وأشر إليهما كنقاط مطلقة . يمكن تعريف العديد من المفاهيم المترية بالرجوع إلى هذه الاختيارات. على سبيل المثال، إعطاء السطر الذي يحتوي على نقطة A و B ، و نقطة الوسط من القطعة المستقيمة AB يتم تعريف كنقطة C وهو المترافقة التوافقي اسقاطي من نقطة تقاطع AB والخط المطلق، فيما يتعلق A و B .

يسمى الشكل المخروطي في المستوى الإسقاطي الذي يحتوي على النقطتين المطلقتين بالدائرة . نظرًا لأن خمس نقاط تحدد شكل مخروطي ، فإن الدائرة (التي قد تكون متدهورة) يتم تحديدها بثلاث نقاط. للحصول على المستوى الإقليدي الممتد ، يتم اختيار الخط المطلق ليكون الخط اللانهائي للمستوى الإقليدي والنقاط المطلقة هي نقطتان خاصتان على هذا الخط تسمى النقاط الدائرية عند اللانهاية . الخطوط التي تحتوي على نقطتين ذات إحداثيات حقيقية لا تمر عبر النقاط الدائرية عند اللانهاية ، لذلك في المستوى الإقليدي ، يتم تحديد الدائرة ، بموجب هذا التعريف ، بثلاث نقاط غير متداخلة . ^{[49] : 72}

لقد تم ذكر أن الدوائر في المستوى الإقليدي لا يمكن تحديدها بواسطة خاصية التركيز-دليل. ومع ذلك ، إذا اعتبر المرء أن الخط اللانهائي هو الدليل ، فعند أخذ الانحراف ليكون e = 0 ، ستحصل الدائرة على خاصية دليل التركيز ، لكنها لا تزال غير محددة بهذه الخاصية. ^[50] يجب توخي الحذر في هذه الحالة لاستخدام تعريف الانحراف بشكل صحيح كنسبة مسافة نقطة على الدائرة إلى التركيز (طول نصف القطر) إلى مسافة تلك النقطة إلى الدليل (هذه المسافة غير محدود) مما يعطي القيمة المحددة للصفر.

تعريف شتاينر المخروطي الإسقاطي

تعريف جيل شتاينر للمقطع المخروطي

تم تقديم نهج اصطناعي (خالٍ من التنسيق) لتحديد المقاطع المخروطية في مستوى إسقاطي من قبل جاكوب شتاينر في عام 1867.

• أعطيت اثنين من أقلام الرصاص ${\ displaystyle B (U)، B (V)}$ من الخطوط عند نقطتين ${\ displaystyle U، V}$ (تحتوي جميع الأسطر ${\ displaystyle U}$ و ${\ displaystyle V}$التركيب.) و اسقاطي ولكن ليس منظور رسم الخرائط${\ displaystyle \ pi}$ من ${\ displaystyle B (U)}$ على ${\ displaystyle B (V)}$. ثم تشكل نقاط التقاطع للخطوط المقابلة قسمًا مخروطيًا إسقاطيًا غير متدهور. ^{[51] [52] [53] [54]}

A منظور رسم الخرائط${\ displaystyle \ pi}$ من قلم رصاص ${\ displaystyle B (U)}$ على قلم رصاص ${\ displaystyle B (V)}$هو انحياز (1-1 مراسلة) بحيث تتقاطع الخطوط المقابلة على خط ثابت${\ displaystyle a}$، وهو ما يسمى محور المنظور${\ displaystyle \ pi}$.

A اسقاطي رسم الخرائط هو سلسلة محدودة من تعيينات المنظور.

نظرًا لأن رسم الخرائط الإسقاطي في مستوى إسقاطي فوق حقل ( مستوى بابيان ) يتم تحديده بشكل فريد من خلال وصف الصور المكونة من ثلاثة خطوط ، ^[55] لجيل شتاينر من المقطع المخروطي ، بالإضافة إلى نقطتين${\ displaystyle U، V}$فقط صور 3 خطوط يجب أن تعطى. هذه العناصر الخمسة (نقطتان ، 3 خطوط) تحدد بشكل فريد المقطع المخروطي.

مخروطي الخط

وفقًا لمبدأ الازدواجية في المستوى الإسقاطي ، فإن ثنائية كل نقطة هي خط ، والمزدوج من موضع النقاط (مجموعة من النقاط التي تفي ببعض الشروط) يسمى مغلف من الخطوط. باستخدام تعريف شتاينر للمخروط (سيشار الآن إلى موضع النقاط هذا على أنه نقطة مخروطية ) على أنه التقاء الأشعة المقابلة لقلمي رصاص مرتبطين ، فمن السهل التثبيط والحصول على المغلف المقابل الذي يتكون من وصلات النقاط المقابلة لـ نطاقان مرتبطان (نقاط على خط) على أسس مختلفة (الخطوط التي توجد عليها النقاط). يسمى هذا الظرف الخط المخروطي (أو المخروطي المزدوج ).

في المستوى الإسقاطي الحقيقي ، تمتلك النقطة المخروطية الخاصية التي يقابلها كل خط في نقطتين (والتي قد تتطابق ، أو قد تكون معقدة) وأي مجموعة من النقاط مع هذه الخاصية هي نقطة مخروطية. يتبع ذلك بشكل مزدوج أن الخط المخروطي يحتوي على خطين من خطوطه عبر كل نقطة وأي مغلف من الخطوط بهذه الخاصية هو خط مخروطي. في كل نقطة من نقطة مخروطية يوجد خط مماس فريد ، وثنائيًا ، على كل خط من الخط المخروطي توجد نقطة فريدة تسمى نقطة الاتصال . تنص نظرية مهمة على أن الخطوط المماس للنقطة المخروطية تشكل خطًا مخروطيًا ، ونقاط التلامس المزدوجة للخط المخروطي تشكل نقطة مخروطية الشكل. ^{[56] : 48-49}

تعريف فون ستودت

عرّف كارل جورج كريستيان فون ستود المخروطي بأنه النقطة المحددة من قبل جميع النقاط المطلقة للقطبية التي لها نقاط مطلقة. قدم Von Staudt هذا التعريف في Geometrie der Lage (1847) كجزء من محاولته لإزالة جميع المفاهيم المترية من الهندسة الإسقاطية.

A قطبية ، π ، طائرة اسقاطي، P ، هو involutory (أي من أجل اثنين) دالة تقابلية بين نقاط وخطوط P أن يحافظ على علاقة الإصابة . وهكذا، فإن قطبية يتعلق نقطة Q مع خط ف ، وبعد Gergonne ، ف يسمى القطبية من Q و Q على قطب من ف . ^[57] هناك نقطة المطلقة ( خط ) من الاستقطاب هو واحد وهو الحادث مع ه القطبي (قطب). ^[58]

المخروطي von Staudt في المستوى الإسقاطي الحقيقي يعادل مخروط شتاينر . ^[59]

اعمال البناء

لا يمكن بناء قوس مستمر من المخروط باستخدام تقويم وبوصلة. ومع ذلك ، هناك العديد من إنشاءات التسوية والبوصلة لأي عدد من النقاط الفردية على القوس.

يعتمد أحدهما على عكس نظرية باسكال ، أي إذا كانت نقاط تقاطع الأضلاع المتقابلة في الشكل السداسي متداخلة ، فإن القمم الستة تقع على شكل مخروطي. على وجه التحديد، نظرا خمس نقاط، A ، B ، C ، D ، E وخط مرورا E ، ويقول EG ، نقطة F التي تقع على هذا الخط، وتقع على مخروطي يحددها خمس نقاط يمكن بناؤها. دعونا AB قاء DE في L ، BC يلتقي EG في M والسماح CD قاء LM في N . ثم AN يلتقي EG عند نقطة المطلوبة F . ^{[60] : 52-53} بتغيير الخط عبر E ، يمكن بناء العديد من النقاط الإضافية على المخروط حسب الرغبة.

طريقة متوازي الأضلاع لبناء القطع الناقص

هناك طريقة أخرى ، تعتمد على بناء شتاينر وهي مفيدة في التطبيقات الهندسية ، وهي طريقة متوازي الأضلاع ، حيث يتم إنشاء المخروط نقطة بنقطة عن طريق توصيل بعض النقاط المتباعدة بشكل متساوٍ على خط أفقي وخط عمودي. ^{[61] على} وجه التحديد ، لبناء القطع الناقص بالمعادلة× ²/أ ² + ص ²/ب ²= 1 ، أولا بناء المستطيل ABCD مع القمم A ( ل ، 0)، B ( و ، 2 ب )، C (- و ، 2 ب ) و D (- و ، 0) . قسّم الضلع BC إلى عدد n من الأجزاء المتساوية واستخدم الإسقاط الموازي ، بالنسبة إلى القطر AC ، لتكوين أجزاء متساوية على الجانب AB (ستكون أطوال هذه المقاطع متساويةب/أضرب طول المقاطع على BC ). على الجانب BC تسمية النهاية اليسار يد شرائح مع A ₁ إلى A _ن تبدأ من B وتسير نحو C . على الجانب AB تسمية النهاية العليا D ₁ إلى D _ن ابتداء من الساعة A والذهاب نحو B . نقاط التقاطع، AA _ط ∩ DD _ط ل 1 ≤ ط ≤ ن ستكون نقطة من القطع الناقص بين A و P (0، ب ) . تربط التسمية خطوط القلم الرصاص عبر A بخطوط القلم الرصاص عبر D بشكل إسقاطي ولكن ليس منظوريًا. يتم الحصول على الشكل المخروطي المطلوب من خلال هذا البناء لأن ثلاث نقاط A و D و P واثنان من الظل (الخطوط الرأسية عند A و D ) تحدد بشكل فريد المخروط. إذا تم استخدام قطر آخر (وقطره المقترن) بدلاً من المحاور الرئيسية والثانوية للقطع الناقص ، فسيتم استخدام متوازي أضلاع غير مستطيل في البناء ، مع إعطاء اسم الطريقة. يمكن تمديد ارتباط خطوط أقلام الرصاص للحصول على نقاط أخرى على القطع الناقص. تكوينات القطوع الزائدة ^[62] والقطوع المكافئة ^[63] متشابهة.

تستخدم طريقة عامة أخرى خاصية القطبية لبناء الغلاف المماس لمخروط (خط مخروطي). ^[64]

في المستوى المعقد C ² ، لا يتم تمييز القطع الناقص والقطع الزائد: يمكن اعتبار القطع الزائد بمثابة قطع ناقص بطول محور وهمي. على سبيل المثال ، القطع الناقص${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ يصبح القطع الزائد تحت التعويض ${\ displaystyle y = iw،}$ هندسيًا دوران معقد ، ينتج عنه ${\ displaystyle x ^ {2} -w ^ {2} = 1}$. وبالتالي يوجد تصنيف ثنائي الاتجاه: القطع الناقص / القطع الزائد والقطع المكافئ. تمديد المنحنيات إلى المستوى الإسقاطي المعقد ، وهذا يتوافق مع تقاطع الخط عند اللانهاية في نقطتين متميزتين (تقابل خطين مقاربين) أو في نقطة مزدوجة واحدة (تقابل محور القطع المكافئ) ؛ وبالتالي فإن القطع الزائد الحقيقي هو صورة حقيقية أكثر إيحاءًا للقطع الناقص / القطع الزائد المعقد ، حيث يحتوي أيضًا على تقاطعات 2 (حقيقية) مع الخط عند اللانهاية.

يحدث المزيد من التوحيد في المستوى الإسقاطي المعقد CP ² : لا يمكن تمييز المخروطيات غير المتحللة عن بعضها البعض ، حيث يمكن نقل أي منها إلى أي شخص آخر عن طريق التحويل الخطي الإسقاطي .

يمكن إثبات أنه في CP ² ، يوجد قسمان مخروطيان لهما أربع نقاط مشتركة (إذا كان أحدهما يفسر التعددية ) ، لذلك هناك ما بين 1 و 4 نقاط تقاطع . احتمالات التقاطع هي: أربع نقاط مميزة ، نقطتان مفردتان ونقطة مزدوجة واحدة ، نقطتان مزدوجتان ، نقطة مفردة واحدة وواحدة بتعدد 3 ، نقطة واحدة مع تعدد 4. إذا كانت أي نقطة تقاطع بها تعدد> 1 ، يتم ذكر المنحنيين لتكون الظل . إذا كانت هناك نقطة تقاطع للتعددية 3 على الأقل ، يُقال إن المنحنيين يتقلبان . إذا كانت هناك نقطة تقاطع واحدة فقط ، والتي لها تعدد 4 ، فيُقال إن المنحنيين متفاوتان . ^[65]

علاوة على ذلك ، يتقاطع كل خط مستقيم مع كل قسم مخروطي مرتين. إذا كانت نقطة التقاطع مزدوجة ، فإن الخط هو خط مماس . يتقاطع مع الخط اللانهائي ، كل قسم مخروطي له نقطتان عند اللانهاية. إذا كانت هذه النقاط حقيقية ، فإن المنحنى عبارة عن قطع زائد ؛ إذا كانوا مترافقين وهميين ، فهو قطع ناقص ؛ إذا كانت هناك نقطة مزدوجة واحدة فقط ، فهي قطع مكافئ . إذا كانت النقاط في اللانهاية هي النقاط الحلقية (1 ، i ، 0) و (1 ، - i ، 0) ، فإن القسم المخروطي عبارة عن دائرة . إذا كانت معاملات المقطع المخروطي حقيقية ، فإن النقاط في اللانهاية هي إما مترافقة حقيقية أو معقدة .

ما يجب اعتباره حالة متدهورة للمخروط يعتمد على التعريف المستخدم والإعداد الهندسي للقسم المخروطي. هناك بعض المؤلفين الذين يعرّفون المخروط بأنه رباعي ثنائي الأبعاد غير متولد. مع هذا المصطلح ، لا توجد مخروطيات منحطة (فقط تربيع متدهور) ، لكننا سنستخدم المصطلحات الأكثر تقليدية ونتجنب هذا التعريف.

في المستوى الإقليدي ، باستخدام التعريف الهندسي ، تنشأ حالة متدهورة عندما يمر مستوى القطع عبر قمة المخروط. المخروط المتحلل إما: نقطة ، عندما يتقاطع المستوى مع المخروط فقط عند القمة ؛ على خط مستقيم ، وعندما يتم الظل الطائرة إلى مخروط (أنه يحتوي بالضبط مولد واحد من مخروط)؛ أو زوج من الخطوط المتقاطعة (مولدين للمخروط). ^[66] هذه تتوافق على التوالي مع الأشكال المحددة للقطع الناقص ، القطع المكافئ ، والقطع الزائد.

إذا تم تحديد المخروط في المستوى الإقليدي بواسطة أصفار معادلة تربيعية (أي ، كمربع تربيعي) ، فإن المخروطيات المتدهورة هي: المجموعة الفارغة ، أو النقطة ، أو زوج من الخطوط التي قد تكون متوازية ، تتقاطع عند نقطة ما ، أو بالتزامن. قد تتوافق حالة المجموعة الفارغة إما مع زوج من الخطوط المتوازية المترافقة المعقدة مثل المعادلة${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0،}$أو إلى شكل بيضاوي وهمي ، مثل المعادلة${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 1 = 0.}$لا يلبي القطع الناقص الوهمي التعريف العام للانحلال ، وبالتالي لا يُعتبر عادةً منحطًا. ^[67] تحدث حالة الخطين عندما يحول التعبير التربيعي إلى عاملين خطيين ، تعطي أصفار كل منهما خطًا. في حالة تماثل العوامل ، تتطابق الأسطر المقابلة ونشير إلى الخط باعتباره خطًا مزدوجًا (خط ذو تعدد 2) وهذه هي الحالة السابقة لمستوى القطع المماسي.

في المستوى الإسقاطي الحقيقي ، نظرًا لأن الخطوط المتوازية تلتقي عند نقطة على الخط عند اللانهاية ، يمكن رؤية حالة الخط الموازي للمستوى الإقليدي كخطوط متقاطعة. ومع ذلك ، نظرًا لأن نقطة التقاطع هي قمة المخروط ، فإن المخروط نفسه يتحول إلى أسطوانة ، أي مع القمة عند اللانهاية. الأقسام الأخرى في هذه الحالة تسمى المقاطع الأسطوانية . ^[68] المقاطع الأسطوانية غير المتحللة عبارة عن قطع ناقصة (أو دوائر).

عند النظر إليها من منظور المستوى الإسقاطي المعقد ، يمكن اعتبار الحالات المتدهورة للرباعية الحقيقية (أي أن المعادلة التربيعية لها معاملات حقيقية) كلها زوج من الخطوط ، وربما تتزامن. قد تكون المجموعة الفارغة هي الخط اللانهائي الذي يعتبر خطًا مزدوجًا ، والنقطة (الحقيقية) هي تقاطع خطين مترافقين معقدين والحالات الأخرى كما ذكرنا سابقًا.

لتمييز الحالات المتدهورة عن الحالات غير المتدهورة (بما في ذلك المجموعة الفارغة مع الأخير) باستخدام تدوين المصفوفة ، دع β يكون محددًا لمصفوفة 3 × 3 للقسم المخروطي - أي ، β = ( AC - ب ²/4) F + BED - CD ² - AE ²/4؛ والسماح α = B ² - 4 AC يكون التمايز. ثم يكون القسم المخروطي غير متحلل إذا وفقط إذا كان β ≠ 0 . إذا كانت β = 0 لدينا نقطة عندما تكون α <0 ، أو خطين متوازيين (ربما يتطابقان) عندما تكون α = 0 ، أو خطين متقاطعين عندما تكون α > 0 . ^[69]

A (غير المنحل) مخروطي يتحدد تماما من خمس نقاط في المركز العام (أي ثلاثة على خط واحد ) في طائرة ونظام هندسة المخروطيات التي تمر من خلال مجموعة ثابتة من أربع نقاط (مرة أخرى في الطائرة وليس على خط واحد ثلاثة) ويسمى على قلم رصاص لهندسة المخروطيات . ^{[70] : 64} تسمى النقاط الأربعة المشتركة بالنقاط الأساسية للقلم الرصاص. من خلال أي نقطة غير النقطة الأساسية ، هناك مخروط واحد للقلم الرصاص. هذا المفهوم يعمم قلم رصاص من الدوائر . ^{[71] : 127}

يمكن النظر إلى حلول نظام من معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين على أنها إحداثيات لنقاط تقاطع قسمين مخروطيين عامين. على وجه الخصوص ، قد لا يمتلك مخروطان واحد ، نقطتان أو أربع نقاط تقاطع متزامنة. طريقة فعالة لتحديد هذه الحلول تستغل تمثيل المصفوفة المتجانس للمقاطع المخروطية ، أي مصفوفة متماثلة 3 × 3 تعتمد على ستة معلمات.

يتبع إجراء تحديد نقاط التقاطع هذه الخطوات ، حيث يتم تمثيل الأشكال المخروطية بواسطة المصفوفات: ^[72]

• بالنظر إلى المخروطين ${\ displaystyle C_ {1}}$ و ${\ displaystyle C_ {2}}$، ضع في اعتبارك قلم الرصاص المخروطي المعطى من خلال تركيبة خطية ${\ displaystyle \ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}.}$
• تحديد المعلمات المتجانسة ${\ displaystyle (\ lambda، \ mu)}$التي تتوافق مع المخروط المنحط للقلم الرصاص. يمكن القيام بذلك عن طريق فرض شرط${\ displaystyle \ det (\ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}) = 0}$ وحل ل ${\ displaystyle \ lambda}$ و ${displaystyle mu}$. هذه هي حلول معادلة من الدرجة الثالثة.
• بالنظر إلى المخروط المنحط ${\ displaystyle C_ {0}}$، حدد الخطين ، اللذين قد يكونان متطابقين ، المكونين له.
• تتقاطع مع كل خط محدد مع أي من المخروطين الأصليين ؛ يمكن القيام بهذه الخطوة بكفاءة باستخدام التمثيل المخروطي المزدوج لـ${\ displaystyle C_ {0}}$
• ستمثل نقاط التقاطع حلول نظام المعادلة الأولي.

يمكن تعريف المخاريط على الحقول الأخرى (أي في أشكال هندسية بابية أخرى ). ومع ذلك ، يجب توخي الحذر عندما يكون للحقل الخاصية 2 ، حيث لا يمكن استخدام بعض الصيغ. على سبيل المثال ، تتطلب تمثيلات المصفوفة المستخدمة أعلاه القسمة على 2.

إن تعميم الشكل المخروطي غير المتحلل في المستوى الإسقاطي هو شكل بيضاوي . الشكل البيضاوي عبارة عن مجموعة نقاط لها الخصائص التالية ، والتي يتم الاحتفاظ بها بواسطة المخروطيات: 1) يتقاطع أي خط مع شكل بيضاوي بلا نقطة أو نقطتين ، 2) في أي نقطة من الشكل البيضاوي يوجد خط مماس فريد.

يؤدي تعميم خصائص تركيز المخروطيات إلى الحالة التي يوجد بها أكثر من بؤرتين إلى إنتاج مجموعات تسمى المخروطيات المعممة .

التصنيف إلى إهليلجي ، ومكافئ ، وزائدي شائع في الرياضيات ، وغالبًا ما يقسم الحقل إلى حقول فرعية متميزة بشكل حاد. تصنيف ينشأ يرجع في معظمه إلى وجود شكل من الدرجة الثانية (في متغيرين هذا يتوافق مع وكالة أسوشيتد التمايز )، ولكن يمكن أن تتوافق أيضا إلى الانحراف.

تصنيفات الشكل التربيعي:

أشكال تربيعية

يتم تصنيف الأشكال التربيعية على القيم الحقيقية بواسطة قانون القصور الذاتي لسيلفستر ، أي من خلال مؤشرها الإيجابي ، ومؤشر الصفر ، والفهرس السلبي: يمكن تحويل الشكل التربيعي في متغيرات n إلى شكل قطري ، مثل ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} -x_ {k + 1} ^ {2} - \ cdots -x_ {k + \ ell} ^ {2}،}$حيث عدد معاملات +1 ، k ، هو المؤشر الإيجابي ، وعدد المعاملات ،1 ، ℓ ، هو المؤشر السلبي ، والمتغيرات المتبقية هي مؤشر الصفر m ، لذلك ${\ displaystyle k + \ ell + m = n.}$ في متغيرين ، يتم تصنيف الأشكال التربيعية غير الصفرية على النحو التالي:

• ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ - محدد إيجابي (يتم تضمين السلبي أيضًا) ، يتوافق مع علامات الحذف ،
• ${\ displaystyle x ^ {2}}$ - متدهور ، يتوافق مع القطع المكافئ ، و
• ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$ - إلى أجل غير مسمى ، المقابلة للقطوع الزائدة.

في متغيرين ، يتم تصنيف الأشكال التربيعية حسب التمييز ، بشكل مشابه للمخروطيات ، ولكن في الأبعاد الأعلى ، يكون التصنيف الأكثر فائدة محددًا ، (كل إيجابي أو كل سلبي) ، متدهور ، (بعض الأصفار) ، أو غير محدد (مزيج من الموجب والسالب ولكن لا أصفار). هذا التصنيف يكمن وراء العديد من ما يلي.

انحناء

و انحناء جاوس من سطح يصف الهندسة متناهية في الصغر، وربما في كل نقطة تكون إما إيجابية - هندسة بيضاوي الشكل ، صفر - الهندسة الإقليدية (شقة، القطع المكافئ)، أو سلبية - هندسة القطعي . في متناهية الصغر ، يبدو السطح مثل الرسم البياني للترتيب الثاني ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}،}$${\ displaystyle x ^ {2}}$ (أو 0) ، أو ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$. في الواقع ، من خلال نظرية التوحيد ، يمكن اعتبار كل سطح عالميًا (في كل نقطة) منحنيًا إيجابيًا أو مسطحًا أو منحنيًا بشكل سلبي. في الأبعاد الأعلى ، يكون موتر انحناء ريمان كائنًا أكثر تعقيدًا ، لكن المشعبات ذات الانحناء المقطعي الثابت هي أشياء مثيرة للاهتمام للدراسة ، ولها خصائص مختلفة بشكل لافت للنظر ، كما تمت مناقشته في الانحناء المقطعي .

أجهزة PDE من الدرجة الثانية

المعادلات التفاضلية الجزئية (المعادلات التفاضلية الجزئية) من الدرجة الثانية تصنف في كل نقطة كما بيضاوي الشكل، مكافئ، أو القطعي، وفقا لذلك كما تتوافق مع أحكام الدرجة الثانية لشكل من الدرجة الثانية بيضاوي الشكل، مكافئ، أو القطعي. يختلف سلوك ونظرية هذه الأنواع المختلفة من أجهزة PDE بشكل لافت للنظر - والأمثلة التمثيلية هي أن معادلة بواسون بيضاوية الشكل ، ومعادلة الحرارة هي قطع مكافئ ، ومعادلة الموجة قطعية.

تشمل تصنيفات اللامركزية :

تحولات موبيوس

التحولات ريال موبيوس (عناصر البولندي 2 ( R ) أو غلافه 2 أضعاف، SL 2 ( R ) ) و تصنيفها كما بيضاوي الشكل، مكافئ، أو القطعي وفقا لذلك على نصف التتبع ${\ displaystyle 0 \ leq | \ operatorname {tr} | / 2 <1،}$${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2 = 1،}$ أو ${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2> 1،}$ يعكس التصنيف حسب اللامركزية.

نسبة التباين إلى المتوسط

تصنف نسبة التباين إلى المتوسط ​​العديد من العائلات المهمة لتوزيعات الاحتمالية المنفصلة : التوزيع الثابت كتوزيع دائري (الانحراف 0) ، التوزيعات ذات الحدين كتوزيعات بيضاوية الشكل ، وتوزيعات بواسون كتوزيعات مكافئة ذات حدين ، والتوزيعات السالبة ذات الحدين على شكل قطعي. يتم تفصيل ذلك عند تراكم بعض التوزيعات الاحتمالية المنفصلة .

• محيطي وغير متناسق
• تمرد المقاطع المخروطية ، احتجاجات طلاب جامعة ييل
• دائرة المدير
• نظام الإحداثيات الإهليلجية
• مجموعة متساوية البعد
• تسع نقاط مخروطية
• إحداثيات القطع المكافئ
• وظيفة من الدرجة الثانية