المقطع العرضي (الهندسة)

إذا تقاطع مستوى مع جسم صلب (كائن ثلاثي الأبعاد) ، فإن المنطقة المشتركة للمستوى والمادة الصلبة تسمى مقطعًا عرضيًا للمادة الصلبة. ^[1] يمكن الإشارة إلى المستوى الذي يحتوي على مقطع عرضي للمادة الصلبة على أنه مستوى القطع .

قد يعتمد شكل المقطع العرضي للمادة الصلبة على اتجاه مستوى القطع إلى المادة الصلبة. على سبيل المثال ، في حين أن جميع المقاطع العرضية للكرة عبارة عن أقراص ، ^[2] تعتمد المقاطع العرضية للمكعب على كيفية ارتباط مستوى القطع بالمكعب. إذا كان مستوى القطع عموديًا على خط يربط بين مركزي وجهين متقابلين للمكعب ، فسيكون المقطع العرضي مربعًا ، ومع ذلك ، إذا كان مستوى القطع متعامدًا مع قطري للمكعب يربط بين الرؤوس المتقابلة ، فإن المقطع العرضي- يمكن أن يكون القسم إما نقطة أو مثلثًا أو مسدسًا.

أقسام الطائرة

المفهوم ذو الصلة هو مفهوم المقطع المستوي ، وهو منحنى تقاطع مستوى مع سطح . ^[3] وبالتالي ، فإن المقطع المستوي هو حدود المقطع العرضي لمادة صلبة في مستوى القطع.

إذا تم تحديد سطح في مساحة ثلاثية الأبعاد من خلال وظيفة من متغيرين ، على سبيل المثال ، z = f ( x ، y ) ، فإن أقسام المستوى عن طريق قطع المستويات الموازية لمستوى إحداثيات (مستوى محدد بواسطة محوري إحداثيات ) تسمى منحنيات المستوى أو الانعزالات . ^[4] وبشكل أكثر تحديدًا ، فإن مستويات القطع التي لها معادلات على شكل z = k (المستويات الموازية للطائرة xy ) تنتج أقسامًا مستوية تسمى غالبًا خطوط الكنتور في مناطق التطبيق.

المناطق الملونة عبارة عن مقاطع عرضية للمخروط المصمت. حدودها (باللون الأسود) هي أقسام الطائرة المسماة.

المقطع العرضي لمتعدد الوجوه هو مضلع .

و القطوع المخروطية - الدوائر ، الحذف ، القطوع المكافئة ، و القطوع الزائدة - هي أقسام طائرة من مخروط مع الطائرات قطع على مختلف زوايا مختلفة، كما يظهر في الرسم البياني في اليسار.

أي مقطع عرضي يمر عبر مركز شكل بيضاوي يشكل منطقة بيضاوية ، في حين أن أقسام المستوى المقابلة عبارة عن أشكال بيضاوية على سطحه. تتدهور هذه إلى أقراص ودوائر ، على التوالي ، عندما تكون مستويات القطع متعامدة على محور التناظر. بشكل أكثر عمومية ، المقاطع المستوية في التربيع هي أقسام مخروطية. ^[5]

المقطع العرضي لأسطوانة صلبة

المقطع العرضي لأسطوانة دائرية صلبة قائمة تمتد بين قاعدتين هو قرص إذا كان المقطع العرضي موازيًا لقاعدة الأسطوانة ، أو منطقة بيضاوية (انظر الشكل على اليمين) إذا لم يكن متوازيًا أو متعامدًا مع القاعدة. إذا كان مستوى القطع عموديًا على القاعدة ، فإنه يتكون من مستطيل (غير موضح) ما لم يكن مجرد مماس للأسطوانة ، وفي هذه الحالة يكون مقطعًا من خط واحد .

يمكن أن يعني مصطلح الأسطوانة أيضًا السطح الجانبي لأسطوانة صلبة (انظر الأسطوانة (الهندسة) ). إذا تم استخدام أسطوانة بهذا المعنى ، فسيتم نص الفقرة أعلاه على النحو التالي: مقطع مستوٍ من أسطوانة دائرية قائمة بطول محدود ^[6] عبارة عن دائرة إذا كان مستوى القطع متعامدًا على محور التماثل في الأسطوانة ، أو شكل بيضاوي إذا لم يكن موازيًا أو متعامدًا مع هذا المحور. إذا كان مستوى القطع موازيًا للمحور ، فإن قسم المستوى يتكون من زوج من مقاطع الخط المتوازية ما لم يكن مستوى القطع مماسًا للأسطوانة ، وفي هذه الحالة ، يكون قسم المستوى عبارة عن قطعة خطية واحدة.

رسم بياني لـ z = x ² + xy + y ² . بالنسبة للمشتق الجزئي عند (1 ، 1 ، 3) الذي يترك y ثابتًا ، يكون خط الظل المقابل موازيًا للمستوى xz .

مقطع مستوي من الرسم البياني أعلاه يوضح منحنى المستوى في المستوى xz عند y = 1

يمكن استخدام قسم المستوى لتصور المشتق الجزئي لوظيفة ما فيما يتعلق بإحدى وسيطاتها ، كما هو موضح. افترض أن z = f ( x ، y ) . بأخذ المشتق الجزئي لـ f ( x ، y ) فيما يتعلق بـ x ، يمكن للمرء أن يأخذ مقطعًا مستويًا للدالة f عند قيمة ثابتة لـ y لرسم منحنى مستوى z مقابل x فقط ؛ ثم المشتق الجزئي بالنسبة إلى x هو ميل الرسم البياني الناتج ثنائي الأبعاد.

في مواضيع ذات صلة

قسم المستوى لدالة كثافة الاحتمال لمتغيرين عشوائيين يكون فيهما مستوى القطع عند قيمة ثابتة لأحد المتغيرات هو دالة كثافة شرطية لمتغير آخر (مشروطة بالقيمة الثابتة التي تحدد قسم المستوى). إذا تم أخذ قسم المستوى بدلاً من ذلك لقيمة ثابتة للكثافة ، فإن النتيجة تكون كفاف كثافة متساوية . بالنسبة للتوزيع الطبيعي ، تكون هذه الخطوط علامات بيضاوية.

في علم الاقتصاد ، تحدد دالة الإنتاج f ( x ، y ) المخرجات التي يمكن إنتاجها بكميات مختلفة x و y من المدخلات ، وعادةً ما تكون العمالة ورأس المال المادي. يمكن رسم وظيفة الإنتاج لشركة أو مجتمع في مساحة ثلاثية الأبعاد. إذا لم يتم اتخاذ قسما طائرة بالتوازي مع س ص -plane، والنتيجة هي isoquant تبين توليفات مختلفة من العمل واستخدام رأس المال الذي من شأنه أن يؤدي في مستوى الانتاج التي قدمها ارتفاع مقطع الطائرة. بدلاً من ذلك ، إذا تم أخذ قسم مستوي لوظيفة الإنتاج عند مستوى ثابت من y - أي موازيًا للطائرة xz - فإن النتيجة تكون رسمًا بيانيًا ثنائي الأبعاد يوضح مقدار الإخراج الذي يمكن إنتاجه في كل من القيم المختلفة من الاستخدام x لمدخل واحد مع القيمة الثابتة للمدخل الآخر y .

في الاقتصاد أيضًا ، تعطي دالة المنفعة الأساسية أو الترتيبية u ( w ، v ) درجة رضا المستهلك التي يتم الحصول عليها عن طريق استهلاك الكميات w و v من سلعتين. إذا تم أخذ قسم مستوي لوظيفة المنفعة عند ارتفاع معين (مستوى المنفعة) ، فإن النتيجة ثنائية الأبعاد هي منحنى اللامبالاة الذي يعرض مجموعات بديلة مختلفة من الكميات المستهلكة w و v من البضائين التي تعطي جميعها المستوى المحدد فائدة.

ينص مبدأ كافاليري على أن المواد الصلبة ذات المقاطع العرضية المقابلة لها ذات أحجام متساوية.

منطقة المقطع العرضي (${\ displaystyle A '}$) من كائن عند النظر إليه من زاوية معينة هي المساحة الكلية للإسقاط الهجائي للكائن من تلك الزاوية. على سبيل المثال ، أسطوانة ارتفاعها h ونصف قطرها r لها${\ displaystyle A '= \ pi r ^ {2}}$ عند عرضها على طول محورها المركزي ، و ${\ displaystyle A '= 2rh}$عندما ينظر إليها من اتجاه متعامد. كرة نصف قطرها r لها${\ displaystyle A '= \ pi r ^ {2}}$عندما ينظر إليها من أي زاوية. بشكل عام ،${\ displaystyle A '}$ يمكن حسابها من خلال تقييم تكامل السطح التالي:

${\ displaystyle A '= \ iint \ limits _ {\ mathrm {top}} d \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ hat {r}}،}$

أين ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}$ هل يشير متجه الوحدة على طول اتجاه الرؤية نحو العارض ، ${\ displaystyle d \ mathbf {A}}$هو عنصر سطحي ذو اتجاه طبيعي يشير إلى الخارج ، ويتم أخذ التكامل على السطح العلوي العلوي فقط ، وهو الجزء "المرئي" من السطح من منظور العارض. بالنسبة لجسم محدب ، فإن كل شعاع يمر عبر الكائن من منظور المشاهد يعبر سطحين فقط. لمثل هذه الكائنات ، يمكن أخذ التكامل على السطح بأكمله (${\ displaystyle A}$) عن طريق أخذ القيمة المطلقة للمتكامل (بحيث لا يتم طرح "الجزء العلوي" و "السفلي" للكائن بعيدًا ، كما هو مطلوب بواسطة نظرية الاختلاف المطبقة على حقل المتجه الثابت${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}$) والقسمة على اثنين:

${\ displaystyle A '= {\ frac {1} {2}} \ iint \ limits _ {A} | d \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ hat {r}} |}$

في المقارنة مع المقطع العرضي ل، المقطع العرضي الصلبة ل ن الأبعاد الجسم في ن الفضاء الأبعاد هو تقاطع غير فارغة من الجسم مع الفائق (ل ( ن - 1) فضاء جزئي الأبعاد) . تم استخدام هذا المفهوم أحيانًا للمساعدة في تصور جوانب المساحات ذات الأبعاد الأعلى. ^[7] على سبيل المثال ، إذا مر جسم رباعي الأبعاد عبر فضاءنا ثلاثي الأبعاد ، فسنرى مقطعًا عرضيًا ثلاثي الأبعاد للجسم رباعي الأبعاد. على وجه الخصوص ، ستظهر كرة 4 (الكرة الفائقة) التي تمر عبر 3 فضاء على شكل كرة 3 زادت إلى الحد الأقصى ثم انخفض حجمها أثناء الانتقال. هذا الكائن الديناميكي (من وجهة نظر 3 فضاء) عبارة عن سلسلة من المقاطع العرضية للكرة الأربعة.

عرض مقطعي تخطيطي للجزء الداخلي من الأرض

المقطع العرضي للدماغ المتوسط ​​على مستوى الأكيمة العلوية.

مقطع عرضي Pinus taeda يظهر الحلقات السنوية ، Cheraw ، ساوث كارولينا .

في الجيولوجيا ، غالبًا ما يتم توضيح بنية الجزء الداخلي من الكوكب باستخدام رسم تخطيطي لمقطع عرضي للكوكب يمر عبر مركز الكوكب ، كما هو الحال في المقطع العرضي للأرض على اليمين.

غالبًا ما تستخدم المقاطع العرضية في علم التشريح لتوضيح البنية الداخلية للعضو ، كما هو موضح على اليسار.

يكشف المقطع العرضي لجذع الشجرة ، كما هو موضح في اليسار ، عن حلقات النمو التي يمكن استخدامها لمعرفة عمر الشجرة والخصائص الزمنية لبيئتها.

• الهندسة الوصفية
• انفجرت عرض الرسم
• إسقاط رسومي
• خطط (رسومات)
• مقياس الملف الشخصي

• ألبرت ، أبراهام أدريان (2016) [1949] ، الهندسة التحليلية الصلبة ، دوفر ، ISBN 978-0-486-81026-3
• ستيوارت ، إيان (2001) ، Flatterland / مثل الأرض المسطحة ، فقط أكثر من ذلك ، Persus Publishing ، ISBN 0-7382-0675-X
• Swokowski ، Earl W. (1983) ، حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية (طبعة بديلة) ، Prindle ، Weber & Schmidt ، ISBN 0-87150-341-7