اسطوانة

كانت الأسطوانة (من اليونانية κύλινδρος - kulindros ، "الأسطوانة" ، "البهلوان" ^[1] ) تقليديًا مادة صلبة ثلاثية الأبعاد ، وهي واحدة من أبسط الأشكال الهندسية المنحنية . إنها النسخة المثالية من علبة قصدير مادية صلبة لها أغطية من الأعلى والأسفل.

مثال: يمكن أن يكون للقصدير شكل أسطواني.

لا تزال هذه النظرة التقليدية مستخدمة في المعالجات الأولية للهندسة ، لكن وجهة النظر الرياضية المتقدمة قد تحولت إلى السطح اللانهائي المنحني وهذه هي الطريقة التي يتم بها تعريف الأسطوانة في مختلف الفروع الحديثة للهندسة والطوبولوجيا.

أدى التحول في المعنى الأساسي (صلب مقابل السطح) إلى بعض الغموض في المصطلحات. من المأمول عمومًا أن يوضح السياق المعنى. وعادة ما يتم تقديم كل من وجهات النظر وتمييزها من خلال الإشارة إلى اسطوانات صلبة و السطوح الاسطوانية ، ولكن في الأدب الاسطوانة المدى مزين يمكن الرجوع إلى أي من هذه أو إلى كائن أكثر المتخصصة، و اسطوانة دائرية الصحيحة .

أنواع

التعريفات والنتائج الواردة في هذا القسم مأخوذة من نص عام 1913 الهندسة الطائرة والصلبة لجورج وينتورث وديفيد يوجين سميث ( وينتورث وسميث 1913 ).

A سطح أسطواني هو سطح تتألف من جميع النقاط على كل الخطوط التي هي موازية لخط معين والتي تمر من خلال الثابتة منحنى الطائرة في طائرة لا موازية للخط معين. أي خط في هذه المجموعة من الخطوط المتوازية يسمى عنصر السطح الأسطواني. من وجهة نظر الحركية ، بالنظر إلى منحنى مستوي ، يسمى الدليل ، السطح الأسطواني هو ذلك السطح الذي يتم تتبعه بواسطة خط ، يسمى المولد ، وليس في مستوى الدليل ، يتحرك بالتوازي مع نفسه ويمر دائمًا عبر الدليل . أي موضع معين للمولد هو عنصر من عناصر السطح الأسطواني.

اسطوانة دائرية يمينية ومائلة

A الصلبة يحدها من سطح أسطواني واثنين من طائرات موازية يسمى (الصلبة) اسطوانة . تسمى مقاطع الخط التي يحددها عنصر السطح الأسطواني بين المستويين المتوازيين عنصر الأسطوانة . جميع عناصر الأسطوانة لها أطوال متساوية. المنطقة التي يحدها السطح الأسطواني في أي من المستويين المتوازيين تسمى قاعدة الأسطوانة. قاعدتا الأسطوانة هما شكلان متطابقان . إذا كانت عناصر الأسطوانة متعامدة مع المستويات التي تحتوي على القواعد ، فإن الأسطوانة هي أسطوانة قائمة ، وإلا فإنها تسمى الأسطوانة المائلة . إذا كانت القواعد عبارة عن أقراص (مناطق حدودها دائرة ) ، فإن الأسطوانة تسمى أسطوانة دائرية . في بعض المعالجات الأولية ، تعني الأسطوانة دائمًا أسطوانة دائرية. ^[2]

على ارتفاع (أو الارتفاع) من اسطوانة هو عمودي المسافة بين قواعدها.

الاسطوانة التي تم الحصول عليها عن طريق تناوب على القطعة المستقيمة حول خط ثابت أنه مواز لهي اسطوانة من الثورة . أسطوانة الدوران هي أسطوانة دائرية قائمة. ارتفاع الاسطوانة الدورانية هو طول مقطع خط التوليد. يسمى الخط الذي يدور حوله الجزء بمحور الأسطوانة ويمر عبر مركزي القاعدتين.

أسطوانة دائرية قائمة نصف قطرها

r

وارتفاعها

h

الاسطوانات الدائرية اليمنى

يشير مصطلح الأسطوانة العاري غالبًا إلى أسطوانة صلبة ذات نهايات دائرية متعامدة مع المحور ، أي أسطوانة دائرية قائمة ، كما هو موضح في الشكل. يُطلق على السطح الأسطواني بدون نهايات أسطوانة مفتوحة . الصيغ ل مساحة و حجم اسطوانة دائرية الصحيحة كانت معروفة منذ القدم في وقت مبكر.

يمكن أيضًا اعتبار الأسطوانة الدائرية اليمنى بمثابة مادة صلبة للثورة الناتجة عن تدوير مستطيل حول أحد جوانبه. تُستخدم هذه الأسطوانات في تقنية تكامل ("طريقة القرص") للحصول على أحجام المواد الصلبة الدورانية. ^[3]

الخصائص

أقسام أسطوانية

قسم أسطواني

المقطع الأسطواني هو تقاطع سطح الأسطوانة مع المستوى . وهي بشكل عام منحنيات وأنواع خاصة من أقسام المستوى . المقطع الأسطواني للمستوى الذي يحتوي على عنصرين من الأسطوانة هو متوازي الأضلاع . ^[4] مثل هذا المقطع الأسطواني من الأسطوانة اليمنى عبارة عن مستطيل . ^[4]

القسم الأسطواني الذي يتقاطع فيه المستوى المتقاطع ويكون عموديًا على جميع عناصر الأسطوانة يسمى القسم الأيمن . ^[5] إذا كان القسم الأيمن من الأسطوانة عبارة عن دائرة ، فإن الأسطوانة عبارة عن أسطوانة دائرية. بشكل أكثر عمومية ، إذا كان القسم الأيمن من الأسطوانة عبارة عن مقطع مخروطي (القطع المكافئ ، القطع الناقص ، القطع الزائد) ، فيُقال إن الأسطوانة الصلبة هي قطع مكافئ ، وإهليلجي ، وزائدي ، على التوالي.

المقاطع الأسطوانية لأسطوانة دائرية قائمة

بالنسبة للأسطوانة الدائرية اليمنى ، توجد عدة طرق يمكن للطائرات من خلالها مقابلة الأسطوانة. أولاً ، الطائرات التي تتقاطع مع قاعدة في نقطة واحدة على الأكثر. يكون المستوى مماسًا للأسطوانة إذا التقى بالأسطوانة في عنصر واحد. المقاطع اليمنى عبارة عن دوائر وتتقاطع جميع المستويات الأخرى مع السطح الأسطواني في شكل بيضاوي . ^[6] إذا تقاطع مستوى مع قاعدة الأسطوانة في نقطتين بالضبط ، فإن الجزء المستقيم الذي يربط بين هذه النقاط هو جزء من المقطع الأسطواني. إذا كان هذا المستوى يحتوي على عنصرين ، فإنه يحتوي على مستطيل كقسم أسطواني ، وإلا فإن جوانب القسم الأسطواني هي أجزاء من القطع الناقص. أخيرًا ، إذا كان المستوى يحتوي على أكثر من نقطتين من القاعدة ، فإنه يحتوي على القاعدة بأكملها والقسم الأسطواني عبارة عن دائرة.

في حالة الأسطوانة الدائرية اليمنى ذات المقطع الأسطواني الذي يمثل القطع الناقص ، فإن الانحراف المركزي $e$ للقسم الأسطواني والمحور شبه الرئيسي $a$ للقسم الأسطواني يعتمد على نصف قطر الأسطوانة $r$ والزاوية $α$ بين المستوى القاطع ومحور الاسطوانة بالطريقة التالية:

{\ displaystyle e = \ cos \ alpha،}

{\ displaystyle a = {\ frac {r} {\ sin \ alpha}}.}

مقدار

إذا كان نصف قطر قاعدة الأسطوانة الدائرية $r$ وكان ارتفاع الأسطوانة $h$ ، فسيتم الحصول على حجمها من خلال

V = π ص 2 ح

.

تثبت هذه الصيغة ما إذا كانت الأسطوانة عبارة عن أسطوانة قائمة أم لا. ^[7]

يمكن إنشاء هذه الصيغة باستخدام مبدأ كافالييري .

أسطوانة بيضاوية صلبة ذات المحاور شبه

a

و

b

للقاعدة البيضاوية والارتفاع

h

بشكل عام ، وفقًا لنفس المبدأ ، يكون حجم أي أسطوانة هو ناتج مساحة القاعدة والارتفاع. على سبيل المثال ، أسطوانة بيضاوية ذات قاعدة لها محور شبه رئيسي $أ$ ، ومحور شبه ثانوي $ب$ وارتفاع $h$ لها حجم $V = آه$ ، حيث $أ$ هي مساحة القطع الناقص الأساسي (= $π أب$ ). يمكن أيضًا الحصول على هذه النتيجة للأسطوانات الناقصية اليمنى عن طريق التكامل ، حيث يتم أخذ محور الأسطوانة كمحور $x$ موجب و $A (x) = A$ مساحة كل مقطع عرضي بيضاوي ، وبالتالي:

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} A (x) dx = \ int _ {0} ^ {h} \ pi abdx = \ pi ab \ int _ {0} ^ {h} dx = \ بي أبه.}

باستخدام الإحداثيات الأسطوانية ، يمكن حساب حجم الأسطوانة الدائرية اليمنى بالتكامل

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {h} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} s \، \، ds \، d \ phi \، dz }

{\ displaystyle = \ pi \، r ^ {2} \، h.}

مساحة السطح

بوجود نصف القطر $r$ والارتفاع (الارتفاع) $h$ ، تتكون مساحة سطح الأسطوانة الدائرية اليمنى ، الموجهة بحيث يكون محورها رأسيًا ، من ثلاثة أجزاء:

مساحة القاعدة العلوية: $π ص 2$
مساحة القاعدة السفلية: $π ص 2$
مساحة الجانب: $2π rh$

مساحة القاعدة العلوية والسفلية هي نفسها ، وتسمى منطقة القاعدة ، $ب$ . ومن المعروف أن منطقة الجانب باعتبارها منطقة الجانبية ، $L$ .

على اسطوانة مفتوحة لا تشمل إما أعلى أو أسفل العناصر، وبالتالي لديها مساحة (منطقة الجانبية)

L = 2π rh

.

تتكون مساحة سطح الأسطوانة الدائرية اليمنى الصلبة من مجموع المكونات الثلاثة: العلوي والسفلي والجانب. لذلك فإن مساحة سطحه ،

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r 2 = 2π r (h + r) = π d (r + h)

،

حيث $d = 2 r$ هو قطر القمة أو القاع الدائري.

بالنسبة لحجم معين ، فإن الأسطوانة الدائرية اليمنى ذات أصغر مساحة سطحية لها $h = 2 r$ . بالتساوي ، بالنسبة إلى مساحة سطح معينة ، فإن الأسطوانة الدائرية اليمنى ذات الحجم الأكبر لها $h = 2 r$ ، أي أن الأسطوانة تتلاءم بشكل مريح مع مكعب بطول الجانب = الارتفاع (= قطر دائرة القاعدة). ^[8]

يتم تحديد المساحة الجانبية ، $L$ ، للأسطوانة الدائرية ، والتي لا يلزم أن تكون أسطوانة قائمة ، بشكل عام من خلال:

L = البريد \times ع

،

حيث $e$ طول عنصر و $p$ محيط القسم الأيمن من الاسطوانة. ^[9] ينتج عن ذلك الصيغة السابقة للمنطقة الجانبية عندما تكون الأسطوانة أسطوانة مستديرة قائمة.

اسطوانة جوفاء

أسطوانة مجوفة دائرية على اليمين (غلاف أسطواني)

و الحق اسطوانة جوفاء دائرية (أو قذيفة أسطواني ) هي منطقة ثلاثية الأبعاد يحدها من قبل اثنين من اسطوانات دائرية الصحيحة لها نفس المحور واثنين من موازية الحلقي قواعد عمودي على محور مشترك اسطوانات، كما في الرسم البياني.

السماح للارتفاع تكون $ساعة$ ونصف القطر الداخلي $ص$ ، وخارجي دائرة نصف قطرها $R$ . الحجم معطى بواسطة

{\ displaystyle V = \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}) h = 2 \ pi \ left ({\ frac {R + r} {2}} \ right) h (Rr).}

.

وبالتالي ، فإن حجم القشرة الأسطوانية يساوي 2 $π$ (متوسط نصف القطر) (الارتفاع) (سمك). ^[10]

مساحة السطح ، بما في ذلك الجزء العلوي والسفلي ، معطاة بواسطة

{\ displaystyle A = 2 \ pi (R + r) h + 2 \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}).}

.

تستخدم الأصداف الأسطوانية في تقنية تكامل شائعة لإيجاد أحجام المواد الصلبة للثورة. ^[11]

على الكرة والأسطوانة

كرة لها ثلثي حجم ومساحة أسطوانة المحيط بما في ذلك قواعدها

في الأطروحة بهذا الاسم ، كتبت ج. 225 قبل الميلاد ، حصل أرخميدس على النتيجة التي كان أكثر فخرًا بها ، وهي الحصول على الصيغ الخاصة بحجم ومساحة سطح الكرة من خلال استغلال العلاقة بين الكرة والأسطوانة الدائرية المقيدة التي لها نفس الارتفاع والقطر . يبلغ حجم الكرة ثلثي حجم الأسطوانة المقيدة ومساحة سطحها تبلغ ثلثي مساحة الأسطوانة (بما في ذلك القواعد). نظرًا لأن قيم الأسطوانة كانت معروفة بالفعل ، فقد حصل ، لأول مرة ، على القيم المقابلة للكرة. حجم كرة نصف قطرها $r$ يساوي $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}4/3π ص 3 = 2/3(2 π ص 3 )$ . وتبلغ مساحة هذا المجال هي $4 π ص 2 = 2 / 3 (6 π ص 2)$ . تم وضع كرة وأسطوانة منحوتة على قبر أرخميدس بناءً على طلبه.

أسطح أسطوانية

في بعض مجالات الهندسة والطوبولوجيا ، يشير مصطلح الأسطوانة إلى ما يسمى بالسطح الأسطواني . يتم تعريف الأسطوانة على أنها سطح يتكون من جميع النقاط الموجودة على جميع الخطوط الموازية لخط معين والتي تمر عبر منحنى مستو ثابت في مستوى غير موازي للخط المحدد. ^[12] يشار إلى هذه الأسطوانات ، في بعض الأحيان ، بالأسطوانات المعممة . من خلال كل نقطة من أسطوانة معممة ، يمر خط فريد موجود في الاسطوانة. ^[13] وبالتالي ، يمكن إعادة صياغة هذا التعريف ليقول أن الأسطوانة هي أي سطح محكوم يمتد من خلال عائلة ذات معلمة واحدة من الخطوط المتوازية.

ألف اسطوانة وجود قسم الصحيح الذي هو القطع الناقص ، القطع المكافئ ، أو القطع الزائد ويطلق على اسطوانة بيضاوي الشكل ، اسطوانة مكافئ و اسطوانة القطعي ، على التوالي. هذه هي الأسطح الرباعية المتدهورة . ^[14]

اسطوانة مكافئ

عندما تتم محاذاة المحاور الرئيسية للربيع مع الإطار المرجعي (ممكن دائمًا بالنسبة إلى التربيعي) ، يتم إعطاء معادلة عامة للمربع التربيعي في ثلاثة أبعاد بواسطة

{\ displaystyle f (x، y، z) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Dx + Ey + Gz + H = 0}

مع كون المعاملات أرقامًا حقيقية وليست كلها $A$ و $B$ و $C$ تساوي 0. إذا لم يظهر متغير واحد على الأقل في المعادلة ، فإن التربيع يتدهور. إذا كان أحد المتغيرات مفقودًا ، فقد نفترض بالتناوب المناسب للمحاور أن المتغير $z$ لا يظهر وأن المعادلة العامة لهذا النوع من التربيع المتدهور يمكن كتابتها على النحو التالي ^[15]

{\ displaystyle A \ left (x + {\ frac {D} {2A}} \ right) ^ {2} + B \ left (y + {\ frac {E} {2B}} \ right) ^ {2} = \ رو}

أين

{\ displaystyle \ rho = -H + {\ frac {D ^ {2}} {4A}} + {\ frac {E ^ {2}} {4B}}.}

اسطوانة بيضاوية

إذا كانت $AB > 0$ فهذه معادلة الأسطوانة الناقصية . ^[15] يمكن الحصول على مزيد من التبسيط عن طريق ترجمة المحاور والضرب القياسي. إذا ${\ displaystyle \ rho}$ لها نفس علامة المعاملين $A$ و $B$ ، ثم يمكن إعادة كتابة معادلة الأسطوانة البيضاوية في الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}

معادلة الأسطوانة البيضاوية هي تعميم لمعادلة الأسطوانة الدائرية العادية ( $أ = ب$ ). ومن المعروف اسطوانات بيضاوي الشكل أيضا cylindroids ، ولكن هذا الاسم هو غامض، كما أنه يمكن أيضا الرجوع إلى جسم مخروطاني على plücker .

إذا ${\ displaystyle \ rho}$ لها علامة مختلفة عن المعاملات ، نحصل على الأسطوانات الإهليلجية التخيلية :

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = - 1،}

التي ليس لها نقاط حقيقية عليها. ( ${\ displaystyle \ rho = 0}$ يعطي نقطة حقيقية واحدة.)

اسطوانة الزائدية

إذا كان $A$ و $B$ لهما علامات مختلفة و ${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$ ، نحصل على الأسطوانات القطعية ، والتي يمكن إعادة كتابة معادلاتها على النحو التالي:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}

اسطوانة مكافئ

أخيرًا ، إذا افترض $AB = 0$ ، دون فقدان العمومية ، أن $B = 0$ و $A = 1$ للحصول على الأسطوانات المكافئة مع المعادلات التي يمكن كتابتها على النحو التالي: ^[16]

{\ displaystyle {x} ^ {2} + 2a {y} = 0.}

في الهندسة الإسقاطية ، تكون الأسطوانة ببساطة مخروطًا تكون قمته عند اللانهاية ، والتي تتوافق بصريًا مع أسطوانة في منظور يبدو وكأنها مخروط باتجاه السماء.

الهندسة الإسقاطية

في الهندسة الإسقاطية ، تكون الأسطوانة ببساطة مخروطًا يقع قمته (رأسه) على المستوى اللانهائي . إذا كان المخروط مخروطًا تربيعيًا ، فإن المستوى اللانهائي (الذي يمر عبر الرأس) يمكن أن يتقاطع مع المخروط عند خطين حقيقيين ، خط حقيقي واحد (في الواقع زوج من الخطوط المتوافقة) ، أو فقط عند القمة. تؤدي هذه الحالات إلى ظهور الأسطوانات الزائدية أو المكافئة أو الإهليلجية على التوالي. ^[17]

هذا المفهوم مفيد عند النظر في المخروطيات المتدهورة ، والتي قد تشمل المخروطيات الأسطوانية.

الموشورات

مبنى Tycho Brahe Planetarium ، كوبنهاغن ، هو مثال على أسطوانة مقطوعة

A اسطوانة دائرية صلبة يمكن اعتبارها قضية الحد من ن -gonal منظور حيث $ن$ نهج اللانهاية . الاتصال قوي جدًا والعديد من النصوص القديمة تتعامل مع المنشورات والأسطوانات في وقت واحد. تُشتق الصيغ الخاصة بمساحة السطح والحجم من الصيغ المناظرة للمنشورات باستخدام مناشير محفورة ومحدودة ثم السماح لعدد جوانب المنشور بالزيادة دون قيود. ^[18] أحد أسباب التركيز المبكر (وأحيانًا العلاج الحصري) على الأسطوانات الدائرية هو أن القاعدة الدائرية هي النوع الوحيد من الشكل الهندسي الذي تعمل من أجله هذه التقنية باستخدام الاعتبارات الأولية فقط (لا تستدعي حساب التفاضل والتكامل أو أكثر تقدمًا الرياضيات). المصطلحات المتعلقة بالمنشورات والأسطوانات متطابقة. وهكذا ، على سبيل المثال ، نظرًا لأن المنشور المقطوع هو منشور لا تقع قواعده في مستويات متوازية ، فإن الأسطوانة الصلبة التي لا تقع قواعدها في مستويات متوازية تسمى أسطوانة مقطوعة .

من وجهة نظر متعددة السطوح ، يمكن أيضًا رؤية الأسطوانة على أنها ثنائية من bicone باعتبارها ثنائية الهرم غير محدودة الجوانب .

عائلة من موشورات موحدة n -gonal
الخامس
ر
ه
اسم المنشور	منشور Digonal	(ثلاثي الأضلاع) موشور ثلاثي	(رباعي الزوايا) منشور مربع	منشور خماسي	منشور سداسي	منشور سداسي الأضلاع	منشور مثمن	موشور Enneagonal	منشور عشري	منشور هندسي	المنشور الثنائي الشكل	...	منشور أبيروجوني
صورة متعدد الوجوه												...
صورة تبليط كروية												صورة تبليط الطائرة
تكوين Vertex.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
مخطط كوكستر												...

أنظر أيضا

قائمة الأشكال
Steinmetz صلب ، تقاطع اثنين أو ثلاثة أسطوانات عمودية

ملاحظات

^ κύλινδρος أرشفة 30 يوليو 2013 في آلة Wayback. ، هنري جورج ليدل ، روبرت سكوت ، معجم يوناني إنجليزي ، على فرساوس
^ جاكوبس ، هارولد ر. (1974) ، الهندسة ، WH Freeman and Co. ، p. 607 ، ردمك 0-7167-0456-0
^ سوكوفسكي 1983 ، ص. 283
^ أ ب وينتورث وسميث 1913 ، ص. 354
^ وينتورث وسميث 1913 ، ص. 357
^ "MathWorld: قسم أسطواني" . مؤرشفة من الأصلي في 23 أبريل 2008.
^ وينتورث وسميث 1913 ، ص. 359
^ لاكس ، بيتر د . تيريل ، ماريا شيا (2013) ، حساب التفاضل والتكامل مع التطبيقات ، النصوص الجامعية في الرياضيات ، سبرينغر ، ص. 178 ، ردمك 9781461479468، مؤرشفة من الأصلي في 2018-02-06.
^ وينتورث وسميث 1913 ، ص. 358
^ سوكوفسكي 1983 ، ص. 292
^ سوكوفسكي 1983 ، ص. 291
^ ألبرت 2016 ، ص. 43
^ ألبرت 2016 ، ص. 49
^ برانان ، ديفيد أ. إسبلن ، ماثيو ف. جراي ، جيريمي ج. (1999) ، الهندسة ، Cambridge University Press ، p. 34 ردمك 978-0-521-59787-6
^ أ ب ألبرت 2016 ، ص. 74
^ ألبرت 2016 ، ص. 75
^ بدوي ، دان (1988) [1970] ، دورة الهندسة الشاملة ، دوفر ، ص. 398 ، ردمك 0-486-65812-0
^ ذبح ، معالي ؛ Lennes ، NJ (1919) ، الهندسة الصلبة مع المشكلات والتطبيقات (PDF) (نسخة منقحة) ، Allyn and Bacon ، ص 79-81 ، مؤرشف (PDF) من الأصل في 2013-03-06

مراجع

ألبرت ، أبراهام أدريان (2016) [1949] ، الهندسة التحليلية الصلبة ، دوفر ، ISBN 978-0-486-81026-3
Swokowski ، Earl W. (1983) ، حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية (طبعة بديلة) ، Prindle ، Weber & Schmidt ، ISBN 0-87150-341-7
وينتورث ، جورج. سميث ، ديفيد يوجين (1913) ، الهندسة المستوية والصلبة ، Ginn and Co.

روابط خارجية

وايسشتاين ، إريك دبليو "اسطوانة" . ماثوورلد .
مساحة سطح الأسطوانة في MATHguide
حجم الاسطوانة في MATHguide

[1] κύλινδρος أرشفة 30 يوليو 2013 في آلة Wayback. ، هنري جورج ليدل ، روبرت سكوت ، معجم يوناني إنجليزي ، على فرساوس

[2] جاكوبس ، هارولد ر. (1974) ، الهندسة ، WH Freeman and Co. ، p. 607 ، ردمك 0-7167-0456-0

[3] سوكوفسكي 1983 ، ص. 283

[WS354-4] أ ب وينتورث وسميث 1913 ، ص. 354

[5] وينتورث وسميث 1913 ، ص. 357

[6] "MathWorld: قسم أسطواني" . مؤرشفة من الأصلي في 23 أبريل 2008.

[7] وينتورث وسميث 1913 ، ص. 359

[8] لاكس ، بيتر د . تيريل ، ماريا شيا (2013) ، حساب التفاضل والتكامل مع التطبيقات ، النصوص الجامعية في الرياضيات ، سبرينغر ، ص. 178 ، ردمك 9781461479468، مؤرشفة من الأصلي في 2018-02-06.

[9] وينتورث وسميث 1913 ، ص. 358

[10] سوكوفسكي 1983 ، ص. 292

[11] سوكوفسكي 1983 ، ص. 291

[12] ألبرت 2016 ، ص. 43

[13] ألبرت 2016 ، ص. 49

[14] برانان ، ديفيد أ. إسبلن ، ماثيو ف. جراي ، جيريمي ج. (1999) ، الهندسة ، Cambridge University Press ، p. 34 ردمك 978-0-521-59787-6

[Albert74-15] أ ب ألبرت 2016 ، ص. 74

[16] ألبرت 2016 ، ص. 75

[17] بدوي ، دان (1988) [1970] ، دورة الهندسة الشاملة ، دوفر ، ص. 398 ، ردمك 0-486-65812-0

[18] ذبح ، معالي ؛ Lennes ، NJ (1919) ، الهندسة الصلبة مع المشكلات والتطبيقات (PDF) (نسخة منقحة) ، Allyn and Bacon ، ص 79-81 ، مؤرشف (PDF) من الأصل في 2013-03-06

[1]