الشكل التفاضلي

في رياضية مجالات الهندسة التفاضلية و حساب التفاضل والتكامل الموترة ، أشكال التفاضلية هي مقاربة ل حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات التي هي مستقلة عن الإحداثيات . توفر أشكال التفاضلية نهج موحد لتحديد integrands على المنحنيات والأسطح والمواد الصلبة، وأعلى الأبعاد الفتحات . كانت الفكرة الحديثة للأشكال التفاضلية رائدة من إيلي كارتان . لها العديد من التطبيقات ، خاصة في الهندسة والطوبولوجيا والفيزياء.

على سبيل المثال ، التعبير $f (x) dx$ من حساب التفاضل والتكامل ذي المتغير الواحد هو مثال على نموذج $1$ ، ويمكن دمجه على فاصل زمني موجه $[أ ، ب]$ في مجال $f$ :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، dx.}

وبالمثل ، فإن التعبير $f (x ، y ، z) dx \land dy + g (x ، y ، z) dz \land dx + h (x ، y ، z) dy \land dz$ هو شكل $2$ له سطح متكامل فوق و الموجهة سطح $S$ :

{\ displaystyle \ int _ {S} (f (x، y، z) \، dx \ wedge dy + g (x، y، z) \، dz \ wedge dx + h (x، y، z) \، dy \ wedge dz).}

رمز $\land$ يدل على المنتج الخارجي ، التي تسمى أحيانا المنتج إسفين ، شكلين التفاضلية. وبالمثل، فإن $3$ -form $و (س ، ص ، ض) DX \land دى \land DZ$ تمثل عنصرا حجم التي يمكن دمجها على منطقة الموجهة للفضاء. بشكل عام ، شكل $k$ هو كائن يمكن دمجه على مشعب موجه الأبعاد $k$ ، وهو متجانس من الدرجة $k$ في $تفاضلات$ الإحداثيات.

يتم تنظيم جبر الأشكال التفاضلية بطريقة تعكس بشكل طبيعي اتجاه مجال التكامل. هناك عملية $d$ على الأشكال التفاضلية المعروفة باسم المشتق الخارجي والتي ، عند إعطاء شكل $k$ كمدخل ، ينتج نموذج a $(k + 1)$ كإخراج. هذه العملية تمتد التفاضلية وظيفة ، ويرتبط مباشرة إلى الاختلاف و حليقة من حقل متجه بطريقة يجعل من النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل ، و نظرية الاختلاف ، نظرية جرين ، و ستوكس نظرية حالات خاصة من نفسه النتيجة العامة ، والمعروفة في هذا السياق أيضًا باسم نظرية ستوكس المعممة . بطريقة أعمق ، تربط هذه النظرية طوبولوجيا مجال التكامل ببنية الأشكال التفاضلية نفسها ؛ يُعرف الاتصال الدقيق باسم نظرية دي رام .

الإعداد العام لدراسة الأشكال التفاضلية على مشعب قابل للتفاضل . تكون الأشكال $1$ التفاضلية مزدوجة بشكل طبيعي إلى الحقول المتجهة على مشعب ، ويتم تمديد الاقتران بين الحقول المتجهة والأشكال $1$ إلى الأشكال التفاضلية التعسفية بواسطة المنتج الداخلي . يتم الحفاظ على جبر الأشكال التفاضلية جنبًا إلى جنب مع المشتق الخارجي المحدد عليها من خلال التراجع في ظل الوظائف السلسة بين متشعبين. تسمح هذه الميزة بنقل المعلومات غير المتغيرة هندسيًا من مساحة إلى أخرى عبر التراجع ، بشرط أن يتم التعبير عن المعلومات من حيث الأشكال التفاضلية. على سبيل المثال ، يصبح تغيير صيغة المتغيرات للتكامل عبارة بسيطة مفادها أن التكامل يتم الاحتفاظ به في ظل الانسحاب.

تاريخ

الأشكال التفاضلية هي جزء من مجال الهندسة التفاضلية ، متأثرة بالجبر الخطي. على الرغم من أن فكرة التفاضل قديمة جدًا ، إلا أن المحاولة الأولية للتنظيم الجبري للأشكال التفاضلية تُنسب عادةً إلى إيلي كارتان بالإشارة إلى ورقته البحثية عام 1899. ^{[1] تظهر} بعض جوانب الجبر الخارجي للأشكال التفاضلية في عمل هيرمان جراسمان عام 1844 ، Die Lineale Ausdehnungslehre ، ein neuer Zweig der Mathematik (نظرية الامتداد الخطي ، فرع جديد للرياضيات) .

مفهوم

توفر الأشكال التفاضلية طريقة لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات مستقلة عن الإحداثيات .

التكامل والتوجيه

يمكن دمج شكل $k$ التفاضلي عبر مشعب موجه ذي أبعاد $k$ . يمكن اعتبار الشكل $1$ التفاضلي على أنه قياس طول موجه متناهي الصغر ، أو كثافة موجهة أحادية البعد. يمكن اعتبار الشكل التفاضلي $2$ على أنه قياس منطقة موجهة متناهية الصغر ، أو كثافة موجهة ثنائية الأبعاد. وما إلى ذلك وهلم جرا.

يتم تعريف تكامل الأشكال التفاضلية جيدًا فقط في المشعبات الموجهة . مثال على متشعب أحادي البعد هو الفاصل الزمني $[$ $أ$ $،$ $ب$ $]$ ، ويمكن إعطاء الفواصل اتجاهًا: فهي موجَّهة بشكل إيجابي إذا كانت $أ$ $<$ $ب$ ، وموجهة بشكل سلبي بخلاف ذلك. إذا $ل$ $<$ $ب$ ثم لا يتجزأ من الفرق $1$ -form $و$ $($ $س$ $)$ $DX$ خلال فترة $[$ $ل$ $،$ $ب$ $]$ (مع التوجه الطبيعي الإيجابي) هو

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، dx}

وهو سالب تكامل نفس الشكل التفاضلي على نفس الفترة ، عندما يكون مزودًا بالاتجاه المعاكس. هذا هو:

{\ displaystyle \ int _ {b} ^ {a} f (x) \، dx = - \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، dx}

يعطي هذا سياقًا هندسيًا لاتفاقيات التكاملات أحادية البعد ، حيث تتغير الإشارة عندما يتم عكس اتجاه الفاصل الزمني. التفسير القياسي لهذا في نظرية التكامل أحادي المتغير هو أنه عندما تكون حدود التكامل بالترتيب المعاكس ( $b < a$ ) ، تكون الزيادة $dx$ سالبة في اتجاه التكامل.

بشكل أكثر عمومية ، شكل $m$ هو كثافة موجهة يمكن دمجها عبر مشعب موجه ذو أبعاد $m$ . (على سبيل المثال، $1$ -form يمكن أن تكون متكاملة على منحنى المنحى، و $2$ يمكن أن تكون متكاملة -form على سطح المنحى، وما إلى ذلك) إذا $M$ هو الموجه لل $متر$ متعددة الأبعاد، و $M "$ هو نفس متعددة مع العكس التوجيه و $ω$ هو $م$ -form، ثم واحدة بما يلي:

{\ displaystyle \ int _ {M} \ omega = - \ int _ {M '} \ omega \ ،.}

تتوافق هذه الاصطلاحات مع تفسير التكامل والشكل التفاضلي المتكامل عبر سلسلة . في نظرية القياس ، على النقيض من ذلك ، يفسر المرء التكامل كوظيفة $f$ فيما يتعلق بمقياس $μ$ ويتكامل على مجموعة فرعية $A$ ، دون أي فكرة عن التوجه ؛ يكتب واحد ${\ textstyle \ int _ {A} f \، d \ mu = \ int _ {[a، b]} f \، d \ mu}$ للإشارة إلى التكامل على مجموعة فرعية $أ$ . هذا تمييز بسيط في بُعد واحد ، لكنه يصبح أكثر دقة في المشعبات عالية الأبعاد ؛ انظر أدناه للحصول على التفاصيل.

إن جعل فكرة الكثافة الموجهة دقيقة ، وبالتالي الشكل التفاضلي ، ينطوي على الجبر الخارجي . يمكن استخدام تفاضلات مجموعة الإحداثيات ، $dx 1$ ، ... ، $dx n$ كأساس لجميع الأشكال $1$ . كل من هذه تمثل covector في كل نقطة على المشعب الذي يمكن اعتباره على أنه قياس إزاحة صغيرة في اتجاه الإحداثيات المقابل. الشكل $1$ العام عبارة عن مزيج خطي من هذه الفروق في كل نقطة على المشعب:

{\ displaystyle f_ {1} \، dx ^ {1} + \ cdots + f_ {n} \، dx ^ {n}،}

حيث $f k = f k (x 1 ، ...، x n)$ هي وظائف لجميع الإحداثيات. يتم دمج الشكل $1$ التفاضلي على طول منحنى موجه باعتباره خط متكامل.

التعبيرات $dx i \land dx j$ ، حيث يمكن استخدام $i < j$ كأساس في كل نقطة على المشعب لجميع الأشكال $2$ . قد يُنظر إلى هذا على أنه مربع متناهي الصغر موازٍ للطائرة $x i$ - $x j$ . الشكل العام $2$ هو مزيج خطي من هذه في كل نقطة في المشعب: ${\ textstyle \ sum _ {1 \ leq i$ ، ويتم دمجه تمامًا مثل جزء لا يتجزأ من السطح.

العملية الأساسية المحددة في الأشكال التفاضلية هي المنتج الخارجي (الرمز هو الإسفين $\land$ ). هذا هو مماثل ل المنتج عبر من حساب التفاضل والتكامل ناقلات، لأنه هو منتج بالتناوب. على سبيل المثال،

{\ displaystyle dx ^ {1} \ wedge dx ^ {2} = - dx ^ {2} \ wedge dx ^ {1}}

لأن المربع الذي يكون ضلعه الأول $dx 1$ $والضلع$ الثاني هو $dx 2$ يجب اعتباره ذا اتجاه معاكس مثل المربع الذي يكون ضلعه الأول $dx 2$ $وضلعه$ الثاني $dx 1$ . هذا هو السبب في أننا نحتاج فقط إلى جمع التعبيرات $dx i \land dx j$ مع $i < j$ ؛ على سبيل المثال: $a (dx i \land dx j) + b (dx j \land dx i) = (a - b) dx i \land dx j$ . يسمح المنتج الخارجي ببناء الأشكال التفاضلية ذات الدرجة الأعلى من الأشكال الأقل درجة ، بنفس الطريقة التي يسمح بها المنتج المتقاطع في حساب التفاضل والتكامل المتجه للفرد بحساب متجه مساحة متوازي الأضلاع من المتجهات التي تشير إلى الجانبين. يشير التناوب أيضًا إلى أن $dx i \land dx i = 0$ ، بالطريقة نفسها التي يكون بها $حاصل$ $الضرب$ الاتجاهي للمتجهات المتوازية ، والذي يمثل حجمه مساحة متوازي الأضلاع الممتدة بواسطة تلك المتجهات ، هو صفر. في الأبعاد الأعلى ، $dx i 1 \land \cdot\cdot\cdot \land dx i m = 0$ إذا كان أي من المؤشرين $i 1$ ، ... ، $i m$ متساويًا ، بنفس الطريقة التي يكون بها "الحجم" المحاط بنظير متوازي وحافته المتجهات التي تعتمد خطيًا تساوي صفرًا.

تدوين متعدد الفهارس

يُطلق على التدوين الشائع لمنتج الإسفين للأشكال $k$ الأولية تدوين الفهرس المتعدد : في سياق $n$ -dimensional ، من أجل ${\ displaystyle I = (i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {k})، 1 \ leq i_ {1}$ ، نحدد ${\ textstyle dx ^ {I}: = dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} = \ bigwedge _ {i \ in I} dx ^ {i}}$ . ^[2] يتم الحصول على رمز مفيد آخر من خلال تحديد مجموعة جميع المؤشرات المتعددة المتزايدة بدقة بطول $k$ ، في فضاء من البعد $n$ ، يُشار إليه ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {k، n}: = {I = (i_ {1}، \ ldots، i_ {k}): 1 \ leq i_ {1}$ . ثم محليًا (حيثما تنطبق الإحداثيات) ، ${\ displaystyle \ {dx ^ {I} \} _ {I \ in {\ mathcal {J}} _ {k، n}}}$ يمتد على مساحة التفاضلية $ك$ -forms في مشعب $M$ البعد $ن$ ، عندما ينظر إليها بوصفها وحدة على عصابة $C \infty (M)$ من الوظائف على نحو سلس على $M$ . عن طريق حساب حجم ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {k، n}}$ بشكل اندماجي ، الوحدة النمطية للأشكال $k$ على متشعب الأبعاد $n$ ، وفي الفضاء العام للموجهات $k$ على مساحة متجهية ذات أبعاد $n$ ، هي $n$ اختر $k$ : ${\ textstyle | {\ mathcal {J}} _ {k، n} | = {binom {n} {k}}}$ . يوضح هذا أيضًا أنه لا توجد أشكال تفاضلية غير صفرية من الدرجة أكبر من أبعاد المشعب الأساسي.

المشتق الخارجي

بالإضافة إلى المنتج الخارجي، وهناك أيضا الخارجي مشتق المشغل $د$ . المشتق الخارجي للصيغة التفاضلية هو تعميم لتفاضل دالة ، بمعنى أن المشتق الخارجي لـ $f \in C \infty (M) = Ω 0 (M)$ هو بالضبط تفاضل $f$ . عند التعميم على الأشكال الأعلى ، إذا كانت $ω = f dx I$ عبارة عن شكل $k$ بسيط ، فإن $مشتقها$ الخارجي $dω$ هو شكل $(k + 1)$ محدد بأخذ تفاضل دوال المعامل:

{\ displaystyle d \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ جزئي f} {\ جزئي x ^ {i}}} \، dx ^ {i} \ wedge dx ^ {I }.}

مع الامتداد إلى الأشكال $k$ العامة من خلال الخطية: إذا ${\ displaystyle \ tau = \ sum _ {I \ in {\ mathcal {J}} _ {k، n}} a_ {I} \، dx ^ {I} \ in \ Omega ^ {k} (M)}$ ، ثم مشتقه الخارجي هو

{\ displaystyle d \ tau = \ sum _ {I \ in {\ mathcal {J}} _ {k، n}} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ جزئي a_ {I}} {\ جزئي x ^ {j}}} \ ، dx ^ {j} \ right) \ wedge dx ^ {I} \ in \ Omega ^ {k + 1} (M)}

في $R 3$ ، مع مشغل Hodge star ، يتوافق المشتق الخارجي مع التدرج ، واللف ، والتباعد ، على الرغم من أن هذا التطابق ، مثل المنتج المتقاطع ، لا يعمم على أبعاد أعلى ، ويجب التعامل معه ببعض الحذر.

مشتق الخارجية نفسها تنطبق في عدد محدود التعسفي من أبعاد، وهي أداة مرنة وقوية مع تطبيق واسع في الهندسة التفاضلية ، طوبولوجيا التفاضلية ، والعديد من المجالات في الفيزياء. من الجدير بالملاحظة ، على الرغم من أن التعريف أعلاه للمشتق الخارجي قد تم تعريفه فيما يتعلق بالإحداثيات المحلية ، إلا أنه يمكن تعريفه بطريقة خالية تمامًا من التنسيق ، مثل منع الدرجة 1 في الجبر الخارجي للأشكال التفاضلية. تتمثل فائدة هذا النهج الأكثر عمومية في أنه يسمح بنهج خالٍ من التنسيق الطبيعي للتكامل في الفتحات . كما أنه يسمح بالتعميم الطبيعي للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، والتي تسمى (المعممة) نظرية ستوكس ، والتي تعتبر نتيجة مركزية في نظرية التكامل على المشعبات.

حساب التفاضل

دع $U$ تكون مجموعة مفتوحة في $R n$ . يُعرَّف الشكل $0$ التفاضلي ("النموذج الصفري") على أنه دالة سلسة $f$ على $U$ - ويشار إلى $مجموعتها$ $C \infty (U)$ . إذا كانت $v$ هي أي متجه في $R n$ ، فإن $f$ لها مشتق اتجاهي $\partial v f$ ، وهي دالة أخرى على $U$ تكون قيمتها عند نقطة $p \in U$ هي معدل التغير (عند $p$ ) لـ $f$ في اتجاه $v$ :

{\ displaystyle (\ جزئي _ {v} f) (p) = \ left. {\ frac {d} {dt}} f (p + tv) \ right | _ {t = 0}.}

(هذه الفكرة يمكن أن يكون الممتدة نقطة الحكيمة لهذه القضية التي $الخامس$ هو حقل شعاعي على $U$ من خلال تقييم $الخامس$ عند نقطة $ص$ في هذا التعريف.)

على وجه الخصوص، إذا $الخامس = ه ي$ هو $ي$ ال تنسيق ناقلات ثم $\partial الخامس و$ هو مشتق جزئي ل $و$ فيما يتعلق $ي$ ال تنسيق وظيفة، أي $\partial و / \partial س ي$ ، حيث $س 1$ ، $س 2$ ،. ..، $س ن$ هي تنسيق المهام على $U$ . وفقًا لتعريفها ، تعتمد المشتقات الجزئية على اختيار الإحداثيات: إذا تم إدخال إحداثيات جديدة $y 1$ ، $y 2$ ، ... ، $y n$ ، إذن

{\ displaystyle {\ frac {\ جزئي f} {\ جزئي x ^ {j}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ جزئي y ^ {i}} {\ جزئي x ^ {j}}} {\ frac {\ جزئي f} {\ جزئي y ^ {i}}}.}

الفكرة الأولى التي أدت إلى أشكال التفاضلية هي الملاحظة التي $\partial الخامس و (ص)$ هي دالة خطية من $الخامس$ :

{\ displaystyle {\ start {align} (\ جزئي _ {v + w} f) (p) & = (\ جزئي _ {v} f) (p) + (\ جزئي _ {w} f) (p) \\ (\ جزئي _ {cv} و) (p) & = c (\ جزئي _ {v} و) (ع) \ نهاية {محاذاة}}}

لأي متجهات $v$ و $w$ وأي رقم حقيقي $c$ . في كل نقطة p ، يتم الإشارة إلى هذه الخريطة الخطية من $R n$ إلى $R$ إلى $df p$ وتسمى مشتق أو تفاضل لـ $f$ عند $p$ . هكذا $df p (v) = \partial v f (p)$ . ممتدًا على المجموعة بأكملها ، يمكن عرض الكائن $df$ كدالة تأخذ حقل متجه على $U$ ، وترجع دالة ذات قيمة حقيقية تكون قيمتها عند كل نقطة هي المشتق على طول حقل المتجه للدالة $f$ . لاحظ أنه في كل $p$ ، التفاضل $df p$ ليس عددًا حقيقيًا ، ولكنه دالة خطية على متجهات الظل ، ومثال نموذجي لشكل 1 تفاضلي .

لأن أي ناقلات $الخامس$ هو خطي مزيج $Σ ضد ي ه ي$ له من المكونات ، $مدافع$ يتم تحديد فريد من قبل $مدافع ص (ه ي)$ لكل $ي$ وكل $ص \in U$ ، التي ليست سوى المشتقات الجزئية من $و$ على $U$ . وهكذا توفر $df$ طريقة لتشفير المشتقات الجزئية لـ $f$ . يمكن فك تشفيرها من خلال ملاحظة أن الإحداثيات $x 1$ ، $x 2$ ، ... ، $x n$ هي نفسها وظائف على $U$ ، وبالتالي حدد التفاضلية $1 -$ الأشكال $dx 1$ ، $dx 2$ ، ... ، $dx n$ . دع $f = x i$ . بما أن $\partial x i / \partial x j = δ ij$ ، دالة دلتا كرونكر ، فإنها تتبع ذلك

{\ displaystyle df = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ جزئي f} {\ جزئي x ^ {i}}} \، dx ^ {i}.}

( * )

يتم إعطاء معنى هذا التعبير من خلال تقييم كلا الجانبين عند نقطة عشوائية $p$ : على الجانب الأيمن ، يتم تحديد المجموع " pointwise " ، بحيث

{\ displaystyle df_ {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ جزئي f} {\ جزئي x ^ {i}}} (p) (dx ^ {i}) _ { ص}.}

بتطبيق كلا الجانبين على $e j$ ، تكون النتيجة على كل جانب هي المشتقة الجزئية لـ $j$ th لـ $f$ عند $p$ . نظرًا لأن $p$ و $j$ كانا تعسفيين ، فإن هذا يثبت الصيغة (*) .

بشكل عام ، لأي وظائف سلسة $g i$ و $h i$ على $U$ ، نحدد التفاضل $1$ - الشكل $α = \sum i g i dh i$ بالإشارة بواسطة

{\ displaystyle \ alpha _ {p} = sum _ {i} g_ {i} (p) (dh_ {i}) _ {p}}

لكل $ص \in يو$ . ينشأ أي تفاضل $1-$ شكل بهذه الطريقة ، وباستخدام (*) فإنه يترتب على ذلك أنه يمكن التعبير عن أي تفاضل $1$ -form $α$ على $U$ في الإحداثيات

{\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} \، dx ^ {i}}

لبعض الوظائف على نحو سلس $و أنا$ على $U$ .

تنشأ الفكرة الثانية المؤدية إلى الأشكال التفاضلية من السؤال التالي: بالنظر إلى التفاضل $1$ -form $α$ على $U$ ، متى توجد وظيفة $f$ على $U$ بحيث تكون $α = df$ ؟ يؤدي التمديد أعلاه إلى تقليل هذا السؤال إلى البحث عن دالة $f$ التي مشتقاتها الجزئية $\partial f / \partial x i$ تساوي $n$ معطى وظائف $f i$ . بالنسبة إلى $n > 1$ ، لا توجد هذه الوظيفة دائمًا: أي دالة سلسة ترضي $f$

{\ displaystyle {\ frac {\ جزئي ^ {2} f} {\ جزئي x ^ {i} \، \ جزئي x ^ {j}}} = {\ frac {\ جزئي ^ {2} f} {\ جزئي x ^ {j} \، \ جزئي x ^ {i}}} ،}

لذلك سيكون من المستحيل العثور على مثل $f$ إلا إذا

{\ displaystyle {\ frac {\ جزئي f_ {j}} {\ جزئي x ^ {i}}} - {\ frac {\ جزئي f_ {i}} {\ جزئي x ^ {j}}} = 0}

للجميع $أنا$ و $ي$ .

و -التماثل الانحراف من الجانب الأيسر في $ط$ و $ي$ يقترح إدخال منتج antisymmetric $\land$ على التفاضلي $1$ -forms، و المنتج الخارجي ، كي تكون هذه المعادلات يمكن دمجها في حالة واحدة

{\ displaystyle \ sum _ {i، j = 1} ^ {n} {\ frac {\ جزئي f_ {j}} {\ جزئي x ^ {i}}} \، dx ^ {i} \ wedge dx ^ { ي} = 0 ،}

حيث يتم تعريف $\land$ بحيث:

{\ displaystyle dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j} = - dx ^ {j} \ wedge dx ^ {i}.}

هذا مثال على نموذج $2$ تفاضلي . هذا $2$ يسمى -form لل مشتقات الخارج $dα$ من $α = Σ ن ي = 1 و ي DX ي$ . أعطيت من قبل

{\ displaystyle d \ alpha = \ sum _ {j = 1} ^ {n} df_ {j} \ wedge dx ^ {j} = sum _ {i، j = 1} ^ {n} {\ frac {\ f_ الجزئي {j}} {\ جزئي x ^ {i}}} \ ، dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j}.}

للتلخيص: $dα = 0$ شرط ضروري لوجود دالة $f$ مع $α = df$ .

الأشكال التفاضلية $0$ والأشكال $1$ والأشكال $2$ هي حالات خاصة للأشكال التفاضلية. لكل $k$ ، هناك مساحة من $k$ -forms التفاضلية ، والتي يمكن التعبير عنها من حيث الإحداثيات مثل

{\ displaystyle \ sum _ {i_ {1}، i_ {2} \ ldots i_ {k} = 1} ^ {n} f_ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {k}} \، dx ^ {i_ {1}} \ wedge dx ^ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}}}

لمجموعة من الوظائف $f i 1 i 2 \cdot\cdot\cdot i k$ . Antisymmetry، التي كانت موجودة بالفعل ل $2$ -forms، يجعل من الممكن لتقييد المبلغ لتلك المجموعات من المؤشرات التي $ط 1 < ط 2 <... < ط ك -1 < ط ك$ .

ويمكن أن تتضاعف أشكال التفاضلية معا باستخدام المنتج الخارجي، ولأي التفاضلية $ك$ -form $α$ ، هناك فارق $(ك + 1)$ -form $dα$ دعا مشتق الخارجية لل $α$ .

الأشكال التفاضلية والمنتج الخارجي والمشتق الخارجي مستقلة عن اختيار الإحداثيات. ونتيجة لذلك، يمكن تعريفها على أي مشعب السلس $M$ . تتمثل إحدى طرق القيام بذلك في تغطية $M$ مع المخططات الإحداثية وتحديد شكل $k$ التفاضلي على $M$ ليكون مجموعة من الأشكال $k$ التفاضلية على كل مخطط والتي تتفق على التداخلات. ومع ذلك ، هناك المزيد من التعريفات الجوهرية التي تجعل استقلال الإحداثيات واضحًا.

التعريفات الجوهرية

دع $M$ يكون متشعبًا سلسًا . نموذج التفاضلية السلس للدرجة $ك$ هو قسم السلس لل $ك$ ال خارجية للطاقة من حزمة ظل التمام من $M$ . مجموعة جميع الأشكال التفاضلية $k$ على مشعب $M$ هي مساحة متجهية ، غالبًا ما يشار إليها $Ω k (M)$ .

يمكن إعادة تعريف الشكل التفاضلي على النحو التالي. في أي لحظة $ص \in M$ ، و $ك$ -form $β$ يعرف عنصر

{\ displaystyle \ beta _ {p} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M،}

حيث $T p M$ هي مساحة الظل لـ $M$ عند $p$ و $T p * M$ هي مساحتها المزدوجة . هذا الفضاء هو تماثلية بطبيعة الحال إلى الألياف في $ص$ من حزمة مزدوجة من $ك$ ال خارجية للطاقة من حزمة الظل من $M$ . وهذا يعني أن $β$ هي أيضًا دالة خطية ${\ textstyle \ beta _ {p} \ colon {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} M to \ mathbf {R}}$ ، على سبيل المثال ، إن ازدواجية القوة الخارجية $k$ th تتشابه مع القوة الخارجية $k$ للثنائي:

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M \ cong {\ Big (} {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} M {\ Big)} ^ {*}}

من خلال الخاصية العالمية للقوى الخارجية ، فهذه خريطة متناوبة متعددة الخطوط :

{\ displaystyle \ beta _ {p} \ colon \ bigoplus _ {n = 1} ^ {k} T_ {p} M \ to \ mathbf {R}.}

ونتيجة لذلك، فارق $ك$ -form يمكن تقييم ضد أي $ك$ -tuple ناقلات الظل الى نفس النقطة $ص$ من $M$ . على سبيل المثال، تفاضل $1$ -form $α$ يعين لكل نقطة $ص \in M$ و الخطي وظيفية $α ص$ على $T ص M$ . في وجود منتج داخلي على $T p M$ (الناجم عن مقياس ريماني على $M$ ) ، يمكن تمثيل $α p$ كمنتج داخلي مع ناقل ظل $X$ $p$ . تسمى الأشكال $1$ التفاضلية أحيانًا حقول المتجه المتغاير ، أو الحقول المشتركة ، أو "الحقول المتجهية المزدوجة" ، لا سيما في الفيزياء.

قد يتم تضمين الجبر الخارجي في جبر الموتر عن طريق خريطة التناوب. يتم تعريف خريطة التناوب على أنها تعيين

{\ displaystyle \ operatorname {Alt} \ colon {\ bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M \ to {\ bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}

للموتر عند النقطة $p$ ،

{\ displaystyle \ operatorname {Alt} (\ omega _ {p}) (x_ {1}، \ dots، x_ {k}) = {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {k}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ omega _ {p} (x _ {\ sigma (1)}، \ dots، x _ {\ sigma (k)})،}

حيث $S k$ هي المجموعة المتماثلة على عناصر $k$ . خريطة التناوب ثابتة على تجمعات المثل الأعلى في جبر الموتر الناتج عن الأشكال المتماثلة 2 ، وبالتالي تنخفض إلى التضمين

{\ displaystyle \ operatorname {Alt} \ colon {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M \ to {\ bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}

هذه الخريطة المعارض $بيتا$ باعتباره antisymmetric تماما التغاير الحقل ممتد من رتبة $ك$ . الأشكال التفاضلية على $M$ هي في مراسلات فردية مع حقول الموتر هذه.

عمليات

بالإضافة إلى الجمع والضرب بواسطة العمليات العددية التي تنشأ من بنية الفضاء المتجه ، هناك العديد من العمليات القياسية الأخرى المحددة في الأشكال التفاضلية. في معظم العمليات الهامة هي المنتج الخارجي من شكلين التفاضلية، و مشتق الخارجي لشكل التفاضلية واحد، و المنتج الداخلية من شكل التفاضلية وحقل متجه، و مشتق الكذبة من شكل التفاضلية فيما يتعلق حقل شعاعي و التغاير مشتق من الشكل التفاضلي فيما يتعلق بحقل متجه على مشعب مع اتصال محدد.

المنتج الخارجي

المنتج الخارجي لـ $k$ -form $α$ و $ℓ$ -form $β$ ، يرمز $لهما$ $α \land β$ ، هو a ( $k + ℓ$ ) -form. في كل نقطة $ص$ من المتشعبه $M$ ، أشكال $ألفا$ و $β$ عناصر من قوة خارجية للفضاء ظل التمام في $ص$ . عندما يُنظر إلى الجبر الخارجي على أنه حاصل قسمة جبر الموتر ، فإن المنتج الخارجي يتوافق مع منتج الموتر (نموذج علاقة التكافؤ التي تحدد الجبر الخارجي).

يعني عدم التناسق المتأصل في الجبر الخارجي أنه عندما يُنظر إلى $α \land β$ على أنها وظيفة متعددة الخطوط ، فإنها تتناوب. ومع ذلك ، عندما يقوم الجبر الخارجي $بتضمين مساحة جزئية$ من جبر الموتر عن طريق خريطة التناوب ، فإن منتج الموتر $α \otimes β$ لا يتناوب. هناك صيغة واضحة تصف المنتج الخارجي في هذه الحالة. المنتج الخارجي

{\ displaystyle \ alpha \ wedge \ beta = {\ frac {(k + \ ell)!} {k! \ ell!}} \ operatorname {Alt} (\ alpha \ otimes \ beta).}

هذا الوصف مفيد للحسابات الصريحة. على سبيل المثال ، إذا كان $k = ℓ = 1$ ، فإن $α \land β$ هي الشكل $2$ الذي تكون قيمته عند النقطة $p$ هي الشكل الثنائي الخطي البديل الذي يحدده

{\ displaystyle (\ alpha \ wedge \ beta) _ {p} (v، w) = alpha _ {p} (v) beta _ {p} (w) - alpha _ {p} (w) \ بيتا _ {p} (v)}

ل $ضد ، ث \in T ص M$ .

المنتج الخارجي هو شبه خطيه: إذا $α$ ، $β$ ، و $γ$ هي أي شكل من أشكال التفاضلية، وإذا $و$ هو أي وظيفة على نحو سلس، ثم

{\ displaystyle \ alpha \ wedge (\ beta + \ gamma) = \ alpha \ wedge \ beta + \ alpha \ wedge \ gamma،}

{\ displaystyle \ alpha \ wedge (f \ cdot \ beta) = f \ cdot (\ alpha \ wedge \ beta).}

ومن تبادلي الانحراف (المعروف أيضا باسم تبادلي متدرج )، وهذا يعني أنه يرضي البديل من anticommutativity التي تعتمد على درجة من الأشكال: إذا $α$ هو $ك$ -form و $β$ هو $ℓ$ -form، ثم

{\ displaystyle \ alpha \ wedge \ beta = (- 1) ^ {k \ ell} \ beta \ wedge \ alpha.}

مشعب ريماني

في متشعب ريماني ، أو بشكل عام متشعب ريماني زائف ، يحدد المقياس تماثلًا حكيمًا للألياف لحزم الظل والظل. هذا يجعل من الممكن تحويل الحقول المتجهة إلى حقول covector والعكس صحيح. كما أنه يتيح تحديد عمليات إضافية مثل مشغل Hodge star ${\ displaystyle \ star \ colon \ Omega ^ {k} (M) {\ stackrel {\ sim} {\ to}} \ Omega ^ {nk} (M)}$ و codifferential ${\ displaystyle \ delta \ Colon \ Omega ^ {k} (M) \ rightarrow \ Omega ^ {k-1} (M)}$ ، والتي لها الدرجة $-1$ وهي ملاصقة للتفاضل الخارجي $د$ .

هياكل مجال المتجهات

على مشعب ريماني زائف ، يمكن التعرف على الأشكال $1$ مع الحقول المتجهة ؛ تحتوي الحقول المتجهة على بنى جبرية مميزة إضافية ، والتي تم سردها هنا للسياق ولتجنب الالتباس.

أولاً ، كل فضاء مماس (co) يولد جبر Clifford ، حيث يتم إعطاء ناتج متجه (co) مع نفسه بقيمة الشكل التربيعي - في هذه الحالة ، الطبيعي الناتج عن المقياس . هذا الجبر هو واضح من الجبر الخارجي من الأشكال التفضيلية، والتي يمكن أن ينظر إليه باعتباره الجبر كليفورد حيث يختفي شكل من الدرجة الثانية (منذ المنتج الخارجي من أي متجه مع نفسه هو صفر). وبالتالي فإن جبر كليفورد هي تشوهات غير مضادة ("كمومية") للجبر الخارجي. درسوا في الجبر الهندسي .

بديل آخر هو النظر إلى الحقول المتجهة كمشتقات. الجبر (غير التبادلي) للعوامل التفاضلية التي يولدونها هو جبر ويل وهو تشوه غير تبادلي ("كمي") للجبر المتماثل في حقول المتجهات.

المجمع التفاضلي الخارجي

إحدى الخصائص المهمة للمشتق الخارجي هي أن $d 2 = 0$ . هذا يعني أن المشتق الخارجي يحدد مركب كوشاين :

{\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ Omega ^ {1} (M) {\ stackrel {d} {\ to} } \ \ Omega ^ {2} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {3} (M) \ \ to \ \ cdots \ \ to \ \ Omega ^ {n} ( م) \ \ إلى \ 0.}

وهذا ما يسمى المجمع دي رحام معقدة، ولها كهومولوج] هو بالتعريف و دي رحام كهومولوج] من $M$ . بواسطة Poincaré lemma ، يكون مجمع de Rham دقيقًا محليًا باستثناء $Ω 0 (M)$ . نواة في $Ω 0 (M)$ هي المساحة من دالة ثابتة محليا على $M$ . ولذلك، فإن المجمع هو قرار ثابت حزمة $R$ ، وهذا بدوره يعني شكلا من أشكال نظرية دي رحام و: دي رحام كهومولوج] يحسب كهومولوج] حزمة من $R$ .

اسحب للخلف

افترض أن $f : M \to N$ سلس. والفرق من $و$ هو على نحو سلس خريطة $مدافع : TM \to TN$ بين الحزم المماسية ل $M$ و $N$ . يشار إلى هذه الخريطة أيضًا بـ $f *$ وتسمى الدفع إلى الأمام . للحصول على أي نقطة $ص \in M$ وأي $ضد \in T ص M$ ، هناك ناقلات pushforward واضحة المعالم $و * (الخامس)$ في $T و (ص) N$ . ومع ذلك ، فإن الشيء نفسه لا ينطبق على حقل متجه. إذا $و$ ليست injective، ويقول ل $ف \in N$ اثنين أو أكثر preimages، ثم الحقل متجه قد تحدد اثنين أو أكثر وضوحا ناقلات في $T ف N$ . إذا لم تكن $f$ متجهية ، فستكون نقطة $q \in N$ حيث لا تحدد $f *$ أي متجه مماس على الإطلاق. نظرًا لأن الحقل المتجه على $N$ يحدد ، بحكم التعريف ، متجهًا فريدًا من نوعه في كل نقطة من $N$ ، فإن الدفع إلى الأمام لحقل المتجه لا يوجد دائمًا.

على النقيض من ذلك ، من الممكن دائمًا التراجع عن الشكل التفاضلي. يمكن النظر إلى الشكل التفاضلي على $N$ كدالة خطية في كل مساحة ظل. Precomposing هذا ظيفية مع الفرق $مدافع : TM \to TN$ يعرف خطية ظيفية على كل مساحة الظل من $M$ ، وبالتالي شكل التفاضلي على $M$ . يعد وجود التراجعات أحد السمات الرئيسية لنظرية الأشكال التفاضلية. إنه يؤدي إلى وجود خرائط الانسحاب في مواقف أخرى ، مثل التشابه الرجعي في دي رهام cohomology.

رسميا، واسمحوا $و : M \to N$ يكون سلسا، والسماح $ω$ تكون ناعمة $ك$ -form على $N$ . ثم هناك شكل التفاضلية $و * ω$ على $M$ ، دعا الانسحاب من $ω$ ، الذي يجسد سلوك $ω$ كما رأينا بالنسبة ل $و$ . لتعريف الانسحاب ، قم بإصلاح نقطة $p$ من $M$ ومتجهات الظل $v 1$ ، ... ، $v k$ إلى $M$ في $p$ . يتم تحديد سحب $ω$ بواسطة الصيغة

{\ displaystyle (f ^ {*} \ omega) _ {p} (v_ {1}، \ ldots، v_ {k}) = omega _ {f (p)} (f _ {*} v_ {1}، \ ldots، f _ {*} v_ {k}).}

هناك العديد من الطرق المجردة لعرض هذا التعريف. إذا $ω$ هو $1$ -form على $N$ ، فإنه يمكن اعتبار جزء من حزمة ظل التمام $T * N$ من $N$ . باستخدام ^* للدلالة على خريطة مزدوجة، والمزدوجة إلى الفرق من $و$ هو $(مدافع) * : T * N \to T * M$ . يمكن تعريف سحب $ω$ على أنه المركب

{\ displaystyle M \ {\ stackrel {f} {\ to}} \ N \ {\ stackrel {\ omega} {\ to}} \ T ^ {*} N \ {\ stackrel {(df) ^ {*} } {\ longrightarrow}} \ T ^ {*} م.}

هذا هو جزء من حزمة ظل التمام من $M$ ، وبالتالي تفاضل $1$ -form على $M$ . في العموم الكامل ، دعونا ${\ textstyle \ bigwedge ^ {k} (df) ^ {*}}$ دلالة على $ك$ ال خارجية للطاقة من الخريطة المزدوجة لوالفرق. ثم الانسحاب من $ك$ -form $ω$ هو مركب

{\ displaystyle M \ {\ stackrel {f} {\ to}} \ N \ {\ stackrel {\ omega} {\ to}} \ {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T ^ {*} N \ { \ stackrel {{\ bigwedge} ^ {k} (df) ^ {*}} {\ longrightarrow}} \ {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M.}

وهناك طريقة أخرى مجردة لعرض الانسحاب يأتي من يشاهد $ك$ -form $ω$ كما وظيفية الخطية على مساحات الظل. من وجهة النظر هذه ، $ω$ هي شكل من أشكال حزم المتجهات

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} TN \ {stackrel {\ omega} {\ to}} \ N \ times mathbf {R}،}

حيث $N \times R$ هو تافهة رتبة حزمة واحدة على $N$ . الخريطة المركبة

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} TM \ {\ stackrel {{\ bigwedge} ^ {k} df} {\ longrightarrow}} \ {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} TN \ {\ stackrel {\ omega} {\ to}} \ N \ times \ mathbf {R}}

يعرف ظيفية الخطية على كل مساحة الظل من $M$ ، وبالتالي فإنه العوامل من خلال حزمة تافهة $M \times R$ . شكل حزمة المتجهات ${\ textstyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} TM \ to M \ times \ mathbf {R}}$ المعرفة بهذه الطريقة هي $f * ω$ .

الانسحاب يحترم جميع العمليات الأساسية على النماذج. إذا $ω$ و $η$ أشكال و $ج$ هو العدد الحقيقي، ثم

{\ displaystyle {\ begin {align} f ^ {*} (c \ omega) & = c (f ^ {*} \ omega)، \\ f ^ {*} (\ omega + \ eta) & = f ^ {*} \ omega + f ^ {*} \ eta، \\ f ^ {*} (\ omega \ wedge \ eta) & = f ^ {*} \ omega \ wedge f ^ {*} \ eta، \\ f ^ {*} (d \ omega) & = d (f ^ {*} \ omega). \ end {align}}}

يمكن أيضًا كتابة سحب النموذج في الإحداثيات. افترض أن $x 1$ ، ... ، $x m$ إحداثيات على $M$ ، وأن $y 1$ ، ... ، $y n$ إحداثيات على $N$ ، وأن أنظمة الإحداثيات هذه مرتبطة بالصيغ $y i = f i (x 1 ، ... ، س م)$ للجميع $أنا$ . محليًا على $N$ ، يمكن كتابة $ω$ كـ

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i_ {1} <\ cdots

حيث ، لكل اختيار من $i 1$ ، ... ، $i k$ ، $ω i 1 \cdot\cdot\cdot i k$ هي دالة ذات قيمة حقيقية لـ $y 1$ ، ... ، $y n$ . باستخدام خطية الانسحاب وتوافقه مع المنتج الخارجي ، فإن سحب $ω$ له الصيغة

{\ displaystyle f ^ {*} \ omega = \ sum _ {i_ {1} <\ cdots

يمكن $فك$ كل مشتق خارجي $df$ $i$ بدلالة $dx 1$ ، ...، $dx m$ . يمكن كتابة النموذج $k$ الناتج باستخدام المصفوفات اليعقوبية :

{\ displaystyle f ^ {*} \ omega = \ sum _ {i_ {1} <\ cdots

هنا، ${\ displaystyle {\ frac {\ جزئي (f_ {i_ {1}}، \ ldots، f_ {i_ {k}})} {جزئي (x ^ {j_ {1}}، ldots، x ^ {j_ {ك}})}}}$ يشير إلى محدد المصفوفة التي تكون مدخلاتها ${\ displaystyle {\ frac {\ جزئي f_ {i_ {m}}} {\ جزئي x ^ {j_ {n}}}}$ و ${\ displaystyle 1 \ leq m، n \ leq k}$ .

دمج

يمكن دمج الشكل $k$ التفاضلي عبر مشعب $k$ ثنائي الأبعاد. عندما يتم تعريف الشكل $k$ على مشعب ذو أبعاد $n$ مع $n > k$ ، يمكن عندئذٍ دمج الشكل $k$ على عديدات الطيات الفرعية $k$ ذات الأبعاد الموجهة . إذا كانت $k = 0$ ، فإن التكامل على عديدات الطيات الجزئية الموجهة ذات البعد 0 هو مجرد تجميع للمتكامل وتقييمها عند نقاط ، وفقًا لاتجاه تلك النقاط. القيم الأخرى لـ $k = 1 ، 2 ، 3 ، ...$ تتوافق مع تكاملات الخط ، تكاملات السطح ، تكاملات الحجم ، وما إلى ذلك. هناك عدة طرق مكافئة لتعريف تكامل الشكل التفاضلي رسميًا ، وكلها تعتمد على الاختزال في حالة الفضاء الإقليدي.

التكامل في الفضاء الإقليدي

لنفترض أن $U$ مجموعة فرعية مفتوحة من $R n$ . أعط $R n$ اتجاهها القياسي و $U$ تقييد هذا الاتجاه. كل السلس $ن$ -form $ω$ على $U$ لديه شكل

{\ displaystyle \ omega = f (x) \، dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}}

بالنسبة لبعض نحو سلس وظيفة $و : R ن \to R$ . مثل هذه الوظيفة لها جزء لا يتجزأ من المعنى المعتاد لـ Riemann أو Lebesgue. هذا يسمح لنا بتعريف تكامل $ω$ ليكون جزءًا لا يتجزأ من $f$ :

{\ displaystyle \ int _ {U} \ omega \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ int _ {U} f (x) \، dx ^ {1} \ cdots dx ^ {n} .}

يعد تحديد الاتجاه ضروريًا حتى يتم تحديد ذلك جيدًا. و-التماثل الانحراف وسائل أشكال التفاضلية التي لا يتجزأ من يقول، $DX 1 \land DX 2$ يجب أن يكون السلبية للتكامل $DX 2 \land DX 1$ . لا تستطيع تكاملات ريمان وليبسج رؤية هذا الاعتماد على ترتيب الإحداثيات ، لذلك تترك علامة التكامل غير محددة. التوجه يحل هذا الغموض.

التكامل على السلاسل

دعونا $M$ يكون $ن$ -manifold و $أوم$ و $ن$ -form على $M$ . أولاً ، افترض أن هناك معلمات لـ $M$ من خلال مجموعة فرعية مفتوحة من الفضاء الإقليدي. أي ، افترض أن هناك تعدد الأشكال

{\ displaystyle \ varphi \ colon D \ to M}

حيث $D \subseteq R n$ . أعط $M$ الاتجاه الناجم عن $φ$ . ثم ( رودين 1976 ) يحدد جزءا لا يتجزأ من $ω$ على $M$ لتكون جزءا لا يتجزأ من $φ * ω$ فوق $D$ . في الإحداثيات ، هذا له التعبير التالي. إصلاح مخطط على $M$ مع الإحداثيات $\times 1 ، ... ، \times ن$ . ثم

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i_ {1} <\ cdots

افترض أن $φ$ تم تعريفه بواسطة

{\ displaystyle \ varphi ({\ mathbf {u}}) = (x ^ {1} ({\ mathbf {u}})، \ ldots، x ^ {n} ({\ mathbf {u}})). }

ثم يمكن كتابة التكامل في الإحداثيات

{\ displaystyle \ int _ {M} \ omega = \ int _ {D} \ sum _ {i_ {1} <\ cdots

أين

{\ displaystyle {\ frac {\ جزئي (x ^ {i_ {1}}، \ ldots، x ^ {i_ {n}})} {جزئية (u ^ {1}، ldots، u ^ {n} )}}}

هو محدد اليعاقبة . ال Jacobian موجود لأن $φ$ قابل $للاشتقاق$ .

بشكل عام ، لا يمكن تحديد معلمات $n$ -manifold بواسطة مجموعة فرعية مفتوحة من $R n$ . لكن مثل هذه المعلمات ممكنة دائمًا محليًا ، لذلك من الممكن تعريف التكاملات على المشعبات التعسفية من خلال تعريفها على أنها مجموع تكاملات على مجموعات من المعلمات المحلية. علاوة على ذلك ، من الممكن أيضًا تحديد معاملات المجموعات الفرعية ذات الأبعاد $k$ لـ $k < n$ ، وهذا يجعل من الممكن تحديد تكاملات الأشكال $k$ . لجعل هذا دقيقًا ، من الملائم إصلاح مجال قياسي $D$ في $R k$ ، عادةً ما يكون مكعبًا أو بسيطًا. A $ك$ - سلسلة هي مجموعة رسمية من التضمينات سلسة $D \to M$ . أي أنها عبارة عن مجموعة من التضمينات السلسة ، يتم تعيين عدد صحيح لكل منها. كل التضمين السلس يحدد ل $ك$ الأبعاد مانيفولد الجزئي من $M$ . إذا كانت السلسلة

{\ displaystyle c = \ sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} \ varphi _ {i}،}

ثم لا يتجزأ من $ك$ -form $ω$ تنته $ج$ هو تعريف ليكون مجموع التكاملات على شروط $ج$ :

{\ displaystyle \ int _ {c} \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} \ int _ {D} \ varphi _ {i} ^ {*} \ omega.}

هذا النهج لتعريف التكامل لا تعيين معنى المباشر إلى التكامل على مشعب كله $M$ . ومع ذلك ، لا يزال من الممكن تعيين مثل هذا المعنى بشكل غير مباشر لأن كل مشعب سلس يمكن أن يتم تثليثه بسلاسة بطريقة فريدة بشكل أساسي ، ويمكن تعريف التكامل على $M$ ليكون التكامل على السلسلة المحددة بواسطة التثليث.

التكامل باستخدام أقسام الوحدة

هناك نهج آخر تم شرحه في ( Dieudonne 1972 )، والتي لا تعيين مباشرة معنى لدمج أكثر من $M$ ، لكن يتطلب هذا النهج تحديد التوجه من $M$ . يتم تعريف تكامل $n$ -form $ω$ على مشعب ذو أبعاد $n من$ خلال العمل في الرسوم البيانية. افترض أولاً أن $ω$ مدعوم على مخطط واحد موجَّه إيجابيًا. في هذا المخطط ، قد يتم سحبه إلى شكل $n$ في مجموعة فرعية مفتوحة من $R n$ . هنا ، يحتوي النموذج على تكامل Riemann أو Lebesgue محدد جيدًا كما كان من قبل. إن تغيير صيغة المتغيرات وافتراض أن المخطط موجه بشكل إيجابي معًا يضمن أن تكامل $ω$ مستقل عن المخطط المختار. في الحالة العامة، واستخدام قسم من الوحدة إلى الكتابة $ω$ كمجموع $ن$ -forms، كل منها معتمد في مخطط واحد موجهة بشكل إيجابي، وتحديد جزءا لا يتجزأ من $ω$ ليكون مجموع التكاملات كل فصل دراسي في تقسيم الوحدة.

من الممكن أيضًا دمج الأشكال $k في$ عديدات الطيات الفرعية ذات الأبعاد $k$ الموجهة باستخدام هذا النهج الأكثر جوهرية. يتم سحب النموذج إلى عديدات الطيات الجزئية ، حيث يتم تعريف التكامل باستخدام المخططات كما في السابق. على سبيل المثال ، بالنظر إلى المسار $γ (t): [0، 1] \to R 2$ ، فإن دمج الشكل $1$ على المسار هو ببساطة سحب النموذج إلى النموذج $f (t) dt$ على $[0 ، 1]$ ، و هذا التكامل هو تكامل الوظيفة $f (t)$ في الفترة.

التكامل على طول الألياف

تنص نظرية Fubini على أنه يمكن حساب التكامل على مجموعة ما باعتباره منتجًا على أنه تكامل متكرر على عاملين في المنتج. يشير هذا إلى أن تكامل الشكل التفاضلي على المنتج يجب أن يكون قابلاً للحساب على أنه تكامل متكرر أيضًا. تضمن المرونة الهندسية للأشكال التفاضلية أن هذا ممكن ليس فقط للمنتجات ، ولكن في المواقف الأكثر عمومية أيضًا. في ظل بعض الفرضيات ، من الممكن التكامل على طول ألياف خريطة ناعمة ، والتناظرية لنظرية Fubini هي الحالة التي تكون فيها هذه الخريطة هي الإسقاط من منتج إلى أحد عوامله.

نظرًا لأن دمج شكل تفاضلي على عديدات طيات فرعية يتطلب تحديد اتجاه ، فإن الشرط الأساسي للتكامل على طول الألياف هو وجود اتجاه محدد جيدًا على تلك الألياف. دع $M$ و $N$ يكونان متشعبين قابلين للتوجيه بأبعاد نقية $m$ و $n$ ، على التوالي. افترض أن $f : M \to N$ هو غمر مفاجئ. وهذا يعني أن كل الألياف $و -1 (ص)$ هو $(م - ن)$ الأبعاد، وأنه حول كل نقطة $M$ ، هناك مخطط الذي $و$ يشبه الإسقاط من منتج على واحد من عواملها. أصلح $x \in M$ وقم بتعيين $y = f (x)$ . لنفترض أن

{\ displaystyle {\ begin {align} \ omega _ {x} & \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {m} T_ {x} ^ {*} M، \\\ eta _ {y} & \ in { \ textstyle \ bigwedge} ^ {n} T_ {y} ^ {*} N ، end {align}}}

وأن $η y$ لا تتلاشى. يتبع ( ديودون 1972 )، هناك فريد

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} (f ^ {- 1} (y))}

والتي قد تكون من حيث الفكر الجزء fibral من $ω العاشر$ فيما يتعلق $η ذ$ . بتعبير أدق ، حدد $j : f -1 (y) \to M$ ليكون التضمين. ثم يتم تعريف $σ x$ $بالخاصية$ التي

{\ displaystyle \ omega _ {x} = (f ^ {*} \ eta _ {y}) _ {x} \ wedge \ sigma '_ {x} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {m} T_ { x} ^ {*} م ،}

أين

{\ displaystyle \ sigma '_ {x} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M}

هو أي ناقل $(م - ن) من$ أجله

{\ displaystyle \ sigma _ {x} = j ^ {*} \ sigma '_ {x}.}

شكل $σ س$ قد يكون أيضا notated $ω س / η ذ$ .

علاوة على ذلك ، بالنسبة إلى $y$ الثابت ، تتباين $σ x$ بسلاسة بالنسبة إلى $x$ . هذا هو ، افترض ذلك

{\ displaystyle \ omega \ colon f ^ {- 1} (y) to T ^ {*} M}

هو جزء سلس من خريطة الإسقاط ؛ نقول أن $ω$ هو تفاضل سلس على شكل $m$ على $M$ على طول $f -1 (y)$ . ثم هناك فارق سلس $(m - n)$ - شكل $σ$ على $f -1 (y)$ بحيث ، عند كل $x \in f -1 (y)$ ،

{\ displaystyle \ sigma _ {x} = \ omega _ {x} / \ eta _ {y}.}

يشار إلى هذا النموذج $ω / η y$ . نفس أعمال البناء إذا كانت $ω$ شكل $m$ في حي من الألياف ، ويتم استخدام نفس الترميز. والنتيجة هي أن كل ألياف $f 1 (y)$ قابلة للتوجيه. على وجه الخصوص ، يحدد اختيار أشكال التوجيه على $M$ و $N$ اتجاه كل ألياف $f$ .

التناظرية لنظرية Fubini على النحو التالي. كما كان من قبل ، $M$ و $N$ نوعان من المشعبات القابلة للتوجيه ذات الأبعاد النقية $m$ و $n$ ، و $f : M \to N$ هو غمر مفاجئ. إصلاح اتجاهات $M$ و $N$ ، وإعطاء كل ليف من $f$ الاتجاه المستحث. دعونا $θ$ تكون $م$ -form على $M$ ، والسماح $ζ$ يكون $ن$ -form على $N$ ما هو إيجابي في كل مكان تقريبا فيما يتعلق بتوجه $N$ . بعد ذلك ، بالنسبة لكل $y \in N$ تقريبًا ، يكون النموذج $θ / ζ y$ عبارة عن نموذج $m - n قابل$ للتكامل معرّف جيدًا على $f -1 (y)$ . علاوة على ذلك ، يوجد نموذج $n قابل$ للتكامل على $N$ محدد بواسطة

{\ displaystyle y \ mapsto {\ bigg (} \ int _ {f ^ {- 1} (y)} \ theta / \ zeta _ {y} {\ bigg)} \، \ zeta _ {y}.}

دلالة على هذا النموذج من قبل

{\ displaystyle {\ bigg (} \ int _ {f ^ {- 1} (y)} \ theta / \ zeta {\ bigg)} \، \ zeta.}

ثم ( ديودون 1972 ) يثبت صيغة Fubini المعممة

{\ displaystyle \ int _ {M} \ theta = \ int _ {N} {\ bigg (} \ int _ {f ^ {- 1} (y)} \ theta / \ zeta {\ bigg)} \، \ زيتا}

من الممكن أيضًا دمج أشكال من درجات أخرى على طول ألياف الغمر. تحمل نفس الفرضيات كما كان من قبل، والسماح $α$ تكون معتمدة مضغوط $(م - ن + ك)$ -form على $M$ . ثم هناك $ك$ -form $γ$ على $N$ والتي هي نتيجة لدمج $α$ طول ألياف $و$ . شكل $α$ تم تعريفه من قبل تحديد، في كل $ذ \in N$ ، كيف $α$ أزواج ضد بعضهم $ك$ -vector $الخامس$ في $ذ$ ، وقيمة هذا الاقتران هو جزء لا يتجزأ أكثر $و -1 (ص)$ أن يعتمد فقط على $α$ ، $ضد$ ، وتوجهات $M$ و $N$ . بتعبير أدق، في كل $ذ \in N$ ، هناك تماثل

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {y} N \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mk} T_ {y} ^ {*} N}

التي يحددها المنتج الداخلي

{\ displaystyle \ mathbf {v} \ mapsto \ mathbf {v} \، \ lrcorner \، \ zeta _ {y}.}

إذا كانت $x \in f -1 (y)$ ، فإن ناقل $k$ - $v$ عند $y$ يحدد ناقل حركة $(m - k)$ عند $x$ بالتراجع :

{\ displaystyle f ^ {*} (\ mathbf {v} \، \ lrcorner \، \ zeta _ {y}) \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mk} T_ {x} ^ {*} M.}

كل من هذه covectors لديها منتج الخارجي ضد $α$ ، لذلك هناك $(م - ن)$ -form $β الخامس$ على $M$ طول $و -1 (ص)$ التي حددتها

{\ displaystyle (\ beta _ {\ mathbf {v}}) _ {x} = \ left (\ alpha _ {x} \ wedge f ^ {*} (\ mathbf {v} \، \ lrcorner \، \ zeta _ {y}) \ right) {\ big /} \ zeta _ {y} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M.}

يعتمد هذا النموذج على اتجاه $N$ ولكن ليس على اختيار $ζ$ . ثم يتم تعريف $k$ -form $γ$ بشكل فريد من خلال الخاصية

{\ displaystyle \ langle \ gamma _ {y}، \ mathbf {v} \ rangle = \ int _ {f ^ {- 1} (y)} \ beta _ {\ mathbf {v}} (x)،}

و $γ$ أملس ( ديودون 1972 ). يشير هذا النموذج أيضًا إلى $α ♭$ ويسمى تكامل $α$ على طول ألياف $f$ . يعد التكامل على طول الألياف أمرًا مهمًا لإنشاء خرائط Gysin في علم تكوين دي رهام.

يلبي التكامل على طول الألياف معادلة الإسقاط ( Dieudonne 1972 ). إذا كانت $λ$ عبارة عن أي نموذج $ℓ$ على $N$ ، إذن

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ flat} \ wedge \ lambda = (\ alpha \ wedge f ^ {*} \ lambda) ^ {\ flat}.}

نظرية ستوكس

ونظرا للعلاقة أساسية بين الخارجي التكامل المشتقة والتي نظرية ستوكس : إذا $ω$ هو ( $ن - 1$ ) -form بدعم الاتفاق على $M$ و $\partialM$ يدل على الحدود من $M$ مع لها بفعل التوجه ، ثم

{\ displaystyle \ int _ {M} d \ omega = \ int _ {\ part M} \ omega.}

والنتيجة الرئيسية لذلك هو أن "جزءا لا يتجزأ من شكل مغلق على السلاسل المتجانسة يساوي": إذا $ω$ هو مغلقة $ك$ -form و $M$ و $N$ هي $ك$ -chains التي هي مثلي (بحيث $M - N$ هي حدود a $(k + 1)$ -chain $W$ ) ، إذن ${\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {M} \ omega = \ int _ {N} \ omega}}$ ، لأن الاختلاف هو لا يتجزأ ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {W} d \ omega = \ int _ {W} 0 = 0}$ .

على سبيل المثال ، إذا كانت $ω = df$ مشتقًا من دالة محتملة على المستوى أو $R n$ ، فإن تكامل $ω$ على مسار من $a$ إلى $b$ لا يعتمد على اختيار المسار (التكامل هو $f (b) - f (a)$ ) ، نظرًا لأن المسارات المختلفة بنقاط نهاية معينة متماثلة ، وبالتالي فهي متجانسة (حالة أضعف). تسمى هذه الحالة نظرية التدرج ، وتعمم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل . هذا المسار المستقل مفيد جدًا في تكامل الكنتور .

أيضا يكمن وراء هذه نظرية ثنائية بين دي رحام كهومولوج] و التماثل في سلاسل.

العلاقة مع التدابير

في المشعب العام القابل للتفاضل (بدون بنية إضافية) ، لا يمكن دمج الأشكال التفاضلية عبر مجموعات فرعية من المشعب ؛ هذا التمييز هو مفتاح التمييز بين الأشكال التفاضلية ، والتي تتكامل عبر السلاسل أو عديدات الطيات الفرعية الموجهة ، والقياسات ، التي تتكامل عبر مجموعات فرعية. أبسط مثال هو محاولة تكامل $1$ -form $dx$ خلال الفترة $[0 ، 1]$ . بافتراض المسافة المعتادة (وبالتالي القياس) على الخط الحقيقي ، يكون هذا التكامل إما $1$ أو $-1$ ، اعتمادًا على الاتجاه: ${\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {0} ^ {1} dx = 1}}$ ، في حين ${\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {1} ^ {0} dx = - \ int _ {0} ^ {1} dx = -1}}$ . على النقيض من ذلك ، تكامل المقياس $| dx |$ على الفترة الزمنية هو $1$ بشكل لا لبس فيه (أي أن تكامل الدالة الثابتة $1$ فيما يتعلق بهذا المقياس هو $1$ ). وبالمثل ، في ظل تغيير الإحداثيات ، يتغير شكل $n$ التفاضلي بواسطة محدد Jacobian $J$ ، بينما يتغير المقياس بالقيمة المطلقة لمحدد Jacobian ، $| ي |$ ، الأمر الذي يعكس كذلك مسألة التوجه. على سبيل المثال ، أسفل الخريطة $x \mapsto - x$ على الخط ، يسحب الشكل التفاضلي $dx$ إلى $- dx$ ؛ انعكس الاتجاه. بينما مقياس Lebesgue ، والذي نشير إليه هنا $| dx |$ ، يتراجع إلى $| dx |$ ؛ لا يتغير.

في وجود بيانات إضافية تتمثل في التوجه ، فمن الممكن دمج $ن$ -forms (أشكال أعلى الأبعاد) على مشعب بأكمله أو على مجموعات فرعية المدمجة. التكامل على المشعب بأكمله يتوافق مع تكامل الشكل على الصنف الأساسي للمشعب ، $[M]$ . رسميًا ، في وجود اتجاه ، يمكن للمرء تحديد أشكال $n$ ذات الكثافة على مشعب ؛ تحدد الكثافات بدورها مقياسًا ، وبالتالي يمكن دمجها ( Folland 1999 ، القسم 11.4 ، ص 361-362).

على مشعب قابل للتوجيه ولكن غير موجه ، هناك خياران للتوجيه ؛ يسمح كلا الخيارين بدمج أشكال $n$ على مجموعات فرعية مضغوطة ، مع اختلاف الخيارين بواسطة علامة. في المشعب غير القابل للتوجيه ، لا يمكن تحديد الأشكال والكثافات $n -$ ولا سيما ، يجب أن يختفي أي شكل من الأبعاد العلوية في مكان ما (لا توجد أشكال حجم على المشعبات غير القابلة للتوجيه) ، ولكن لا توجد كثافات تتلاشى في أي مكان - وبالتالي يمكن للمرء أن دمج الكثافات على مجموعات فرعية مدمجة ، لا يمكن دمج الأشكال $n$ . يمكن للمرء بدلاً من ذلك تحديد الكثافات بالأشكال الزائفة ذات الأبعاد العلوية .

حتى في وجود اتجاه ، لا توجد بشكل عام طريقة ذات مغزى لدمج أشكال $k$ على مجموعات فرعية لـ $k < n$ لأنه لا توجد طريقة متسقة لاستخدام الاتجاه المحيط لتوجيه مجموعات فرعية ذات أبعاد $k$ . هندسيًا ، يمكن قلب مجموعة فرعية ذات بُعد $ك$ في مكانها ، مما ينتج عنه نفس المجموعة الفرعية ذات الاتجاه المعاكس ؛ على سبيل المثال ، يمكن تدوير المحور الأفقي في المستوى بمقدار 180 درجة. قارن محدد الجرام لمجموعة من المتجهات $k$ في فضاء ذي بعد $n$ ، والذي ، على عكس محدد $n$ المتجهات ، يكون دائمًا موجبًا ، يتوافق مع عدد تربيعي. لذلك فإن اتجاه عديدات الطيات $k$ هو بيانات إضافية لا يمكن اشتقاقها من المشعب المحيط.

على مشعب ريمانيان، يمكن للمرء تحديد $ك$ الأبعاد قياس هاوسدورف لأي $ك$ (عدد صحيح أو الحقيقي)، والتي قد تكون متكاملة على $ك$ فرعية الابعاد من مشعب. A مرات وظيفة هذا الإجراء هاوسدورف ويمكن بعد ذلك أن تكون متكاملة على $ك$ فرعية الابعاد، وتوفير التناظرية مقياس نظري لدمج $ك$ -forms. و $ن$ الأبعاد قياس هاوسدورف غلة الكثافة، على النحو الوارد أعلاه.

التيارات

يسمى الشكل التفاضلي للتوزيع أو الوظيفة المعممة تيار . مساحة تيارات $k$ على $M$ هي مساحة مزدوجة لمساحة مناسبة من الأشكال التفاضلية $k$ . تلعب التيارات دور مجالات التكامل المعممة ، على غرار السلاسل ولكنها أكثر مرونة منها.

تطبيقات في الفيزياء

تظهر الأشكال التفاضلية في بعض السياقات الفيزيائية المهمة. على سبيل المثال ، في نظرية ماكسويل للكهرومغناطيسية ، فإن صيغة فاراداي 2 ، أو شدة المجال الكهرومغناطيسي ، هي

{\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {1} {2}} f_ {ab} \، dx ^ {a} \ wedge dx ^ {b} \ ،،}

حيث تتشكل $f ab$ من المجالات الكهرومغناطيسية ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$ و ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$ ؛ على سبيل المثال ، $f 12 = E z / c$ ، $f 23 = - B z$ ، أو تعريفات مكافئة.

هذا النموذج هو حالة خاصة لشكل الانحناء على الحزمة الرئيسية $U (1)$ والتي يمكن من خلالها وصف نظريات الكهرومغناطيسية والمقاييس العامة . و شكل اتصال لحزمة الرئيسية هو ناقل المحتملة، وعادة ما يشار إليه ب $A$ ، عندما مثلت في بعض قياس. ثم واحد

{\ displaystyle {\ textbf {F}} = d {\ textbf {A}}.}

و التيار $3$ -form هو

{\ displaystyle {\ textbf {J}} = {\ frac {1} {6}} j ^ {a} \، \ varepsilon _ {abcd} \، dx ^ {b} \ wedge dx ^ {c} \ wedge dx ^ {d} \ ،،}

حيث $j a$ هي المكونات الأربعة لكثافة التيار. (هنا من الاصطلاح أن تكتب $F ab$ بدلاً من $f ab$ ، أي أن تستخدم الأحرف الكبيرة ، وأن تكتب $J a$ بدلاً من $j a$ . ومع ذلك ، فإن المتجه rsp. ومكونات الموتر والصيغ المذكورة أعلاه لها أشكال مادية مختلفة أبعاد. علاوة على ذلك ، بقرار من لجنة دولية من الاتحاد الدولي للفيزياء البحتة والتطبيقية ، يسمى ناقل الاستقطاب المغناطيسي ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$ منذ عدة عقود ، ومن قبل بعض الناشرين $J$ ، أي يتم استخدام نفس الاسم لكميات مختلفة.)

باستخدام التعريفات المذكورة أعلاه ، يمكن كتابة معادلات ماكسويل بشكل مضغوط للغاية بوحدات هندسية مثل

{\ displaystyle {\ begin {align} d {\ textbf {F}} & = {\ textbf {0}} \\ d {\ star {\ textbf {F}}} & = {\ textbf {J}} ، \ نهاية {محاذاة}}}

أين ${\ displaystyle \ star}$ يشير إلى مشغل نجمة هودج . تصف اعتبارات مماثلة هندسة نظريات القياس بشكل عام.

و $2$ -form ${\ displaystyle {\ star} \ mathbf {F}}$ ، الذي هو مزدوج لصيغة فاراداي ، يسمى أيضًا نموذج ماكسويل 2 .

الكهرومغناطيسية هي مثال على نظرية قياس $U (1)$ . هنا مجموعة لي هي $U (1)$ ، المجموعة الوحدوية أحادية البعد ، والتي هي على وجه الخصوص أبليان . هناك نظريات قياس ، مثل نظرية يانغ ميلز ، حيث مجموعة لي ليست أبيلية. في هذه الحالة ، يحصل المرء على علاقات مشابهة لتلك الموصوفة هنا. التناظرية الحقل $F$ في مثل هذه النظريات هي شكل انحناء الصدد، والتي تتمثل في قياس عن طريق الجبر كذبة -valued شكل واحد $و$ . يتم بعد ذلك تحديد حقل Yang – Mills $F$ بواسطة

{\ displaystyle \ mathbf {F} = d \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}.}

في حالة أبليان ، مثل الكهرومغناطيسية ، $A \land A = 0$ ، لكن هذا لا ينطبق بشكل عام. وبالمثل ، يتم تعديل معادلات المجال بشروط إضافية تتضمن المنتجات الخارجية من $A$ و $F$ ، بسبب معادلات الهيكل لمجموعة القياس.

تطبيقات في نظرية القياس الهندسي

تستند نتائج الحد الأدنى العديدة للمشعبات التحليلية المعقدة إلى عدم مساواة Wirtinger للشكلين . يمكن العثور على دليل موجز في نص هربرت فيدرر الكلاسيكي Geometric Measure Theory . يعتبر عدم المساواة في Wirtinger أيضًا عنصرًا رئيسيًا في عدم مساواة Gromov للمساحة الإسقاطية المعقدة في الهندسة الانقباضية .

أنظر أيضا

الأشكال التفاضلية المغلقة والدقيقة
شكل تفاضلي معقد
الشكل التفاضلي المتجه
شكل تفاضلي مكافئ
حساب التفاضل والتكامل على الفتحات
شكل متعدد الخطوط
الشكل التفاضلي متعدد الحدود

ملاحظات

^ كارتان ، إيلي (1899) ، " Surertaines Expressions différentielles et le problème de Pfaff" ، Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure : 239-332
^ تو ، لورينج دبليو (2011). مقدمة عن الفتحات (الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 9781441974006. OCLC 682907530 .

مراجع

باكمان ، ديفيد (2006) ، نهج هندسي للأشكال التفاضلية ، بيركويزر ، ISBN 978-0-8176-4499-4
باخمان، ديفيد (2003)، والهندسية النهج إلى نماذج التفاضلية ، أرخايف : الرياضيات / 0306194v1 ، بيب كود : 2003math ...... 6194B
كارتان ، هنري (2006) ، أشكال تفاضلية ، دوفر ، ISBN 0-486-45010-4—ترجمة الصيغ المختلفة (1967)
ديودوني ، جان (1972) ، رسالة في التحليل ، 3 ، نيويورك - لندن: Academic Press، Inc. ، MR 0350769
إدواردز ، هارولد م. (1994) ، حساب التفاضل والتكامل المتقدم ؛ نهج الأشكال التفاضلية ، بوسطن ، بازل ، برلين: Birkhäuser ، دوى : 10.1007 / 978-0-8176-8412-9 ، ISBN 978-0-8176-8411-2
فولاند ، جيرالد ب. (1999) ، التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها (الطبعة الثانية) ، ISBN 978-0-471-31716-6، يقدم مناقشة موجزة للتكامل في المشعبات من وجهة نظر نظرية القياس في القسم الأخير.صيانة CS1: التذييل ( رابط )
فلاندرز ، هارلي (1989) [1964] ، الأشكال التفاضلية مع تطبيقات في العلوم الفيزيائية ، مينولا ، نيويورك: منشورات دوفر ، ISBN 0-486-66169-5
فليمينغ ، وندل هـ. (1965) ، "الفصل 6: الجبر الخارجي وحساب التفاضل" ، دوال المتغيرات المتعددة ، أديسون ويسلي ، ص 205-238. يقدم هذا الكتاب المدرسي في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات الجبر الخارجي للأشكال التفاضلية على مستوى حساب التفاضل والتكامل بالكلية.صيانة CS1: التذييل ( رابط )
موريتا ، شيغيوكي (2001) ، هندسة الأشكال التفاضلية ، AMS ، ISBN 0-8218-1045-6
Rudin ، Walter (1976) ، مبادئ التحليل الرياضي ، نيويورك: ماكجرو هيل ، ISBN 0-07-054235-X
سبيفاك ، مايكل (1965) ، حساب التفاضل والتكامل على المنوعات ، مينلو بارك ، كاليفورنيا: WA Benjamin ، ISBN 0-8053-9021-9، نص تمهيدي قياسيصيانة CS1: التذييل ( رابط )
Tu ، Loring W. (2008) ، مقدمة إلى Manifolds ، Universitext ، Springer ، دوى : 10.1007 / 978-1-4419-7400-6 ، ISBN 978-0-387-48098-5
زوريش ، فلاديمير أ. (2004) ، التحليل الرياضي الثاني ، سبرينغر ، ISBN 3-540-40633-6

روابط خارجية

وايسشتاين ، إريك دبليو "الشكل التفاضلي" . ماثوورلد .
Sjamaar ، Reyer (2006) ، مذكرات المحاضرة المتنوعة والأشكال التفاضلية، وهي دورة تدرس في جامعة كورنيل .
باخمان، ديفيد (2003)، والهندسية النهج إلى نماذج التفاضلية ، أرخايف : الرياضيات / 0306194 ، بيب كود : 2003math ...... 6194B، نص جامعي.
جونز ، فرانك ، التكامل في الفتحات (PDF)

[1] كارتان ، إيلي (1899) ، " Surertaines Expressions différentielles et le problème de Pfaff" ، Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure : 239-332

[2] تو ، لورينج دبليو (2011). مقدمة عن الفتحات (الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 9781441974006. OCLC 682907530 .