التحليل البعدي

في مجال الهندسة والعلوم و تحليل الأبعاد هو تحليل العلاقات بين مختلف الكميات الفيزيائية عن طريق تحديد من كميات قاعدة (مثل طول ، كتلة ، الوقت، و التيار الكهربائي ) و حدات القياس (مثل ميل مقابل كيلو متر، أو جنيه مقابل . kg) وتتبع هذه الأبعاد عند إجراء الحسابات أو المقارنات. ل تحويل الوحدات من وحدة بعد واحد إلى آخر غالبا ما يكون أسهل داخل متري أو SIنظام أكثر من غيره ، وذلك بسبب النظام العادي 10-base في جميع الوحدات. يعد التحليل البعدي ، أو بشكل أكثر تحديدًا طريقة تصنيف العوامل ، والمعروفة أيضًا باسم طريقة عامل الوحدة ، تقنية مستخدمة على نطاق واسع لمثل هذه التحويلات باستخدام قواعد الجبر . ^[1]^[2]^[3]

الكميات الفيزيائية المتناسبة من نفس النوع ولها نفس البعد ، ويمكن مقارنتها مباشرة مع بعضها البعض ، حتى لو تم التعبير عنها في الأصل بوحدات قياس مختلفة ، على سبيل المثال ياردة وأمتار ، رطل (كتلة) وكيلوغرام ، ثوان وسنوات . الكميات المادية غير القابلة للقياس من أنواع مختلفة ولها أبعاد مختلفة ، ولا يمكن مقارنتها مباشرة مع بعضها البعض ، بغض النظر عن الوحدات التي تم التعبير عنها في الأصل ، مثل الأمتار والكيلوغرام والثواني والكيلوغرام والمتر والثواني. على سبيل المثال ، السؤال عما إذا كان الكيلوغرام أكبر من ساعة لا معنى له.

يجب أن يكون لأي معادلة ذات مغزى ماديًا ، أو عدم المساواة ، الأبعاد نفسها على جانبيها الأيمن والأيسر ، وهي خاصية تُعرف باسم تجانس الأبعاد . التحقق من تجانس الأبعاد هو تطبيق شائع لتحليل الأبعاد ، وهو بمثابة فحص معقول للمعادلات والحسابات المشتقة . كما أنه يعمل كدليل وقيد في اشتقاق المعادلات التي قد تصف نظامًا ماديًا في حالة عدم وجود اشتقاق أكثر صرامة.

تم تقديم مفهوم البعد المادي وتحليل الأبعاد من قبل جوزيف فورييه في عام 1822. ^[4]

الأعداد الملموسة والوحدات الأساسية [ عدل ]

يتم التعبير عن العديد من المعلمات والقياسات في العلوم الفيزيائية والهندسة كرقم ملموس - كمية عددية ووحدة أبعاد مقابلة. غالبًا ما يتم التعبير عن الكمية من حيث الكميات الأخرى ؛ على سبيل المثال ، السرعة هي مزيج من الطول والوقت ، على سبيل المثال 60 كيلومترًا في الساعة أو 1.4 كيلومترًا في الثانية. يتم التعبير عن العلاقات المركبة مع "لكل" بالتقسيم ، على سبيل المثال 60 كم / ساعة. يمكن أن تتضمن العلاقات الأخرى الضرب (غالبًا ما يظهر بنقطة مركزية أو تجاور ) ، أو قوى (مثل m ² للمتر المربع) ، أو توليفات منها.

وهناك مجموعة من الوحدات الأساسية ل نظام القياس عبارة عن مجموعة اختارت تقليديا من الوحدات، أي من الذي يمكن التعبير عن مزيج من الآخرين، وفيما يتعلق منها جميع الوحدات المتبقية من نظام يمكن التعبير. ^[5] على سبيل المثال ، عادةً ما يتم اختيار وحدات الطول والوقت كوحدات أساسية. ومع ذلك ، يمكن اعتبار وحدات الحجم عوامل في الوحدات الأساسية للطول (م ³ ) ، وبالتالي فهي تعتبر وحدات مشتقة أو مركبة.

أحيانًا تحجب أسماء الوحدات حقيقة أنها وحدات مشتقة. على سبيل المثال ، نيوتن (N) هي وحدة قوة تحتوي على وحدات كتلة (كجم) مضروبة في وحدات التسارع (m⋅s ⁻² ). يعرف النيوتن على أنه 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² .

النسب والمشتقات [ عدل ]

النسب المئوية هي كميات بلا أبعاد ، لأنها نسب لكميتين لها نفس الأبعاد. بمعنى آخر ، يمكن قراءة علامة٪ كـ "مائة" ، حيث أن 1٪ = 1/100 .

أخذ المشتق فيما يتعلق بالكمية يضيف بُعد المتغير الذي يميزه المرء فيما يتعلق بـ ، في المقام. هكذا:

الموضع ( x ) له البعد L (الطول) ؛
مشتق الموضع فيما يتعلق بالوقت ( dx / dt ، السرعة ) له بُعد LT ^{−1 -} الطول من الموضع ، والوقت بسبب التدرج ؛
المشتق الثاني ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt ، التسارع ) له بُعد LT ⁻² .

في علم الاقتصاد ، يميز المرء بين الأسهم والتدفقات : يحتوي السهم على وحدات من "الوحدات" (على سبيل المثال ، أدوات أو دولارات) ، بينما التدفق هو مشتق من المخزون ، ويحتوي على وحدات من "الوحدات / الوقت" (على سبيل المثال ، الدولارات / عام).

في بعض السياقات ، يتم التعبير عن الكميات ذات الأبعاد على أنها كميات بلا أبعاد أو نسب مئوية عن طريق حذف بعض الأبعاد. على سبيل المثال ، يتم التعبير عن نسب الدين إلى إجمالي الناتج المحلي عمومًا كنسب مئوية: إجمالي الدين المستحق (بُعد العملة) مقسومًا على إجمالي الناتج المحلي السنوي (بُعد العملة) - ولكن قد يجادل المرء بأنه عند مقارنة المخزون بالتدفق ، يجب أن يكون إجمالي الناتج المحلي السنوي لها أبعاد العملة / الوقت (دولار / سنة ، على سبيل المثال) ، وبالتالي يجب أن يكون للدين إلى الناتج المحلي الإجمالي وحدات من السنوات ، مما يشير إلى أن الدين إلى الناتج المحلي الإجمالي هو عدد السنوات اللازمة لناتج محلي إجمالي ثابت لسداد الدين ، إذا تم إنفاق إجمالي الناتج المحلي بالكامل على الدين ولم يتغير الدين بخلاف ذلك.

عامل التحويل [ عدل ]

في التحليل البعدي ، النسبة التي تحول وحدة قياس إلى أخرى دون تغيير الكمية تسمى عامل تحويل . على سبيل المثال ، kPa و bar كلاهما وحدتا ضغط ، و 100 كيلو باسكال = 1 بار . تسمح قواعد الجبر بقسمة طرفي المعادلة على نفس التعبير ، لذا فإن هذا يعادل 100 كيلو باسكال / 1 بار = 1 . نظرًا لأنه يمكن ضرب أي كمية في 1 دون تغييرها ، يمكن استخدام التعبير " 100 kPa / 1 bar " للتحويل من الأعمدة إلى kPa بضربها بالكمية المراد تحويلها ، بما في ذلك الوحدات. على سبيل المثال ، 5 بار × 100 كيلو باسكال / 1 بار = 500 كيلو باسكال لأن 5 × 100/1 = 500 ، ويلغي شريط / شريط ، لذا فإن 5 بار = 500 كيلو باسكال.

تجانس الأبعاد [ عدل ]

القاعدة الأساسية لتحليل الأبعاد هي قاعدة تجانس الأبعاد. ^[6]

لا يمكن مقارنة أو معادلة أو إضافة أو طرح سوى الكميات القابلة للقياس (الكميات المادية التي لها نفس البعد) .

ومع ذلك ، فإن الأبعاد تشكل مجموعة أبليانية تحت الضرب ، لذلك:

يمكن للمرء أن يأخذ نسب من التنافر كميات (كميات ذات أبعاد مختلفة)، و ضرب أو تقسيم لها.

على سبيل المثال ، ليس من المنطقي التساؤل عما إذا كانت ساعة واحدة أكثر أو نفس أو أقل من كيلومتر واحد ، لأن هذه الأبعاد لها أبعاد مختلفة ، ولا نضيف ساعة واحدة إلى كيلومتر واحد. ومع ذلك ، فمن المنطقي تمامًا أن نسأل ما إذا كان الميل واحدًا أكثر ، أو نفس الشيء ، أو أقل من كيلومتر واحد هو نفس البعد من الكمية المادية على الرغم من اختلاف الوحدات. من ناحية أخرى ، إذا قطع جسم ما مسافة 100 كيلومتر في ساعتين ، فيمكن للمرء أن يقسمها ويستنتج أن متوسط سرعة الجسم كان 50 كم / ساعة.

تشير القاعدة إلى أنه في التعبير ذي المعنى المادي ، يمكن فقط إضافة أو طرح أو مقارنة كميات من نفس البعد. على سبيل المثال ، إذا كان m _man و m _rat و L _man تشير ، على التوالي ، إلى كتلة شخص ما ، وكتلة فأر وطول ذلك الرجل ، فإن التعبير المتجانس أبعادًا m _man + m _{rat له} معنى ، لكن التعبير غير المتجانس م _رجل + ل _رجل لا معنى له. ومع ذلك ، م _رجل / ل ²_رجلعلى ما يرام. وبالتالي ، يمكن استخدام تحليل الأبعاد للتحقق من سلامة المعادلات المادية: يجب أن يكون وجهان أي معادلة قابلين للتناسب أو لهما نفس الأبعاد.

هذا يعني ضمنيًا أن معظم الوظائف الرياضية ، وخاصة الوظائف المتعالية ، يجب أن تحتوي على كمية بلا أبعاد ، رقم نقي ، كوسيطة ويجب أن تُرجع رقمًا بلا أبعاد نتيجة لذلك. هذا واضح لأنه يمكن التعبير عن العديد من الوظائف المتعالية كسلسلة قوة لا نهائية مع معاملات بلا أبعاد.

{\ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots}

يجب أن يكون لجميع قوى x نفس البعد حتى يمكن قياسها. لكن إذا لم تكن x بلا أبعاد ، فإن القوى المختلفة لـ x سيكون لها أبعاد مختلفة وغير قابلة للقياس. ومع ذلك ، قد يكون لدوال القدرة بما في ذلك الدوال الجذرية وسيطة ذات أبعاد وستُرجع نتيجة لها بُعد بنفس القوة المطبقة على بُعد الوسيطة. هذا لأن دوال القدرة ووظائف الجذر هي ، بشكل فضفاض ، مجرد تعبير عن مضاعفة الكميات.

حتى عندما تكون كميتان فيزيائيتان ذات أبعاد متطابقة ، فقد يكون من غير المعنى مقارنة أو إضافة كميتين. على سبيل المثال ، على الرغم من أن العزم والطاقة يتشاركان البعد L ²M T ⁻² ، إلا أنهما كميات فيزيائية مختلفة اختلافًا جوهريًا.

لمقارنة أو إضافة أو طرح كميات بنفس الأبعاد ولكن معبراً عنها بوحدات مختلفة ، فإن الإجراء القياسي هو أولاً تحويلها جميعًا إلى نفس الوحدات. على سبيل المثال ، لمقارنة 32 مترًا بـ 35 ياردة ، استخدم 1 ياردة = 0.9144 مترًا لتحويل 35 ياردة إلى 32.004 مترًا.

أحد المبادئ ذات الصلة هو أن أي قانون فيزيائي يصف بدقة العالم الحقيقي يجب أن يكون مستقلاً عن الوحدات المستخدمة لقياس المتغيرات المادية. ^[7] على سبيل المثال ، يجب أن تكون قوانين نيوتن للحركة صحيحة سواء تم قياس المسافة بالأميال أو الكيلومترات. يؤدي هذا المبدأ إلى ظهور الشكل الذي يجب أن تأخذه عوامل التحويل بين الوحدات التي تقيس نفس البعد: الضرب بثابت بسيط. كما يضمن التكافؤ ؛ على سبيل المثال ، إذا كان هناك مبنيين بنفس الارتفاع بالأقدام ، فيجب أن يكون لهما نفس الارتفاع بالأمتار.

طريقة تسمية العوامل لتحويل الوحدات [ عدل ]

طريقة تسمية العامل هي التطبيق المتسلسل لعوامل التحويل المعبر عنها ككسور وترتيبها بحيث يمكن إلغاء أي وحدة أبعاد تظهر في كل من البسط والمقام في أي من الكسور حتى يتم الحصول على المجموعة المرغوبة فقط من وحدات الأبعاد. على سبيل المثال ، يمكن تحويل 10 أميال في الساعة إلى أمتار في الثانية باستخدام سلسلة من عوامل التحويل كما هو موضح أدناه:

{\ displaystyle {\ frac {10 \ {\ Cancel {\ text {mile}}}} {1 \ {\ Cancel {\ text {hour}}}}} \ times {\ frac {1609.344 {\ text {meter} }} {1 \ {\ إلغاء {\ text {mile}}}} \ times {\ frac {1 \ {\ Cancel {\ text {hour}}}} {3600 {\ text {second}}}} = 4.4704 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}}.}

يتم اختيار كل عامل تحويل بناءً على العلاقة بين إحدى الوحدات الأصلية وإحدى الوحدات المرغوبة (أو بعض الوحدات الوسيطة) ، قبل إعادة ترتيبها لإنشاء عامل يلغي الوحدة الأصلية. على سبيل المثال ، لأن "الميل" هو البسط في الكسر الأصلي ، و "الميل" يجب أن يكون المقام في عامل التحويل. قسمة كلا طرفي المعادلة على ميل واحد ينتج عنه ، عند تبسيطه ، نتائج بلا أبعاد . ضرب أي كمية (كمية مادية أم لا) في البعد 1 لا يغير تلك الكمية. مرة واحدة وقد تم ضرب هذا وعامل التحويل للثانية لكل ساعة بواسطة الكسر الأصلي ليلغي وحدات ميل و ساعة ${\ displaystyle 1 \ {\ text {mile}} = 1609.344 \ {\ text {meter}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1 \ {\ text {mile}}} {1 \ {\ text {mile}}}} = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {ميل}}}}}$ ${\ displaystyle 1 = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {mile}}}}$ ، 10 أميال في الساعة تتحول إلى 4.4704 متر في الثانية.

وكمثال أكثر تعقيدا، و تركيز من أكاسيد النيتروجين (أي ) في غازات المداخن من الصناعي الفرن يمكن تحويلها إلى معدل التدفق الجماعي وأعرب في غرام في الساعة (أي ز / ح) من خلال استخدام المعلومات التالية كما ظاهر أدناه: لا x {\ displaystyle \ color {Blue} {\ ce {NO}} _ {x}} ${\ displaystyle {\ ce {NO}} _ {x}}$

تركيز NO _x: = 10 أجزاء في المليون بالحجم = 10 جزء في المليون = 10 مجلدات / 10 ⁶ مجلدات
NO _x الكتلة المولية: = 46 كجم / كمول = 46 جم / مول
معدل تدفق غاز المداخن: = 20 متر مكعب في الدقيقة = 20 م ³ / دقيقة; يخرج غاز المداخن من الفرن عند درجة حرارة 0 درجة مئوية وضغط مطلق 101.325 كيلوباسكال.; في الحجم المولي للغاز في 0 ° C درجة الحرارة و101.325 كيلو باسكال هو 22،414 م ³ / kmol .

{\ displaystyle {\ frac {1000 \ {\ ce {g \ NO}} _ {x}} {1 {\ Cancel {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}}} \ times {\ frac {46 \ {\ إلغاء {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}} {1 \ {\ إلغاء {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}} \ مرات {\ frac {1 \ {\ إلغاء {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}} {22.414 \ {\ إلغاء {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO }} _ {x}}}} \ times {\ frac {10 \ {\ Cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO}} _ {x}}}} {10 ^ {6} \ {\ إلغاء {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}} \ مرات {\ frac {20 \ {\ إلغاء {{\ ce {m} } ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}} {1 \ {\ إلغاء {\ ce {minutes}}}}} \ مرات {\ frac {60 \ {\ Cancel {\ ce {minutes}} }} {1 \ {\ ce {hour}}}} = 24.63 \ {\ frac {{\ ce {g \ NO}} _ {x}} {\ ce {hour}}}}

بعد إلغاء أية وحدات الأبعاد التي تظهر في كل من البسط والقواسم من الكسور في المعادلة المذكورة أعلاه، NO _س تركيز 10 جزء في المليون _ضد المتحولين إلى معدل التدفق الجماعي من 24.63 جرام لكل ساعة.

التحقق من المعادلات التي تحتوي على أبعاد [ عدل ]

يمكن أيضًا استخدام طريقة تسمية العوامل في أي معادلة رياضية للتحقق مما إذا كانت وحدات الأبعاد الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة هي نفسها وحدات الأبعاد الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة أم لا. لا يضمن وجود نفس الوحدات على كلا جانبي المعادلة أن المعادلة صحيحة ، ولكن وجود وحدات مختلفة على الجانبين (عند التعبير عنها من حيث الوحدات الأساسية) يعني أن المعادلة خاطئة.

على سبيل المثال ، تحقق من معادلة قانون الغاز العالمي لـ PV = nRT ، عندما:

الضغط P بالباسكال (Pa)
الحجم الخامس بالمتر المكعب (م ³ )
كمية المادة n في الشامات (مول)
و قانون الغاز العالمي ثابت R هو 8.3145 Pa⋅m ³ / (mol⋅K)
درجة الحرارة T في kelvins (K)

{\ displaystyle {\ ce {Pa.m ^ 3}} = {\ frac {\ Cancel {{\ ce {mol}}}} {1}} \ times {\ frac {{\ ce {Pa.m ^ 3 }}} {{\ إلغاء {{\ ce {mol}}}} \ {\ إلغاء {{\ ce {K}}}}} \ مرات {\ frac {\ إلغاء {{\ ce {K}}} } {1}}}

كما يتضح ، عندما يتم إلغاء وحدات الأبعاد التي تظهر في البسط والمقام في الجانب الأيمن للمعادلة ، يكون لكلا طرفي المعادلة نفس وحدات الأبعاد. يمكن استخدام التحليل البعدي كأداة لبناء المعادلات التي تربط الخواص الفيزيائية والكيميائية غير المرتبطة. قد تكشف المعادلات عن خصائص المادة غير المعروفة أو التي تم التغاضي عنها حتى الآن ، في شكل أبعاد متخلفة - أدوات ضبط الأبعاد - والتي يمكن بعد ذلك تعيين أهمية مادية. من المهم الإشارة إلى أن مثل هذا "التلاعب الرياضي" لا يخلو من سابقة سابقة ، ولا يخلو من أهمية علمية كبيرة. في الواقع ، تم اكتشاف ثابت بلانك ، وهو ثابت أساسي للكون.كتجريد رياضي بحت أو تمثيل مبني على معادلة رايلي جينز لمنع كارثة الأشعة فوق البنفسجية. تم تعيينه وصعوده إلى أهميته المادية الكمية إما بالترادف أو بعد تعديل الأبعاد الرياضي - ليس قبل ذلك.

القيود [ عدل ]

يمكن لطريقة تسمية العوامل فقط تحويل كميات الوحدات التي تكون فيها الوحدات في علاقة خطية متقاطعة عند 0. ( مقياس النسبة في تصنيف ستيفنز) تناسب معظم الوحدات هذا النموذج. مثال عن التي لا يمكن استخدامها هو التحويل بين درجة مئوية و درجة كلفن (أو درجة فهرنهايت ). بين الدرجات المئوية والكلفن ، هناك فرق ثابت وليس نسبة ثابتة ، بينما لا يوجد فرق ثابت ولا نسبة ثابتة بين درجات مئوية ودرجات فهرنهايت. ومع ذلك ، هناك تحويل أفيني ( بدلاً من تحويل خطي ) بينهما. ${\ displaystyle x \ mapsto ax + b}$ ${\ displaystyle x \ mapsto ax}$

على سبيل المثال ، نقطة تجمد الماء هي 0 درجة مئوية و 32 درجة فهرنهايت (0 درجة مئوية) ، والتغير بمقدار 5 درجات مئوية هو نفس التغيير 9 درجة فهرنهايت (-13 درجة مئوية). وبالتالي ، للتحويل من وحدات فهرنهايت إلى وحدات مئوية ، يطرح المرء 32 درجة فهرنهايت (الإزاحة من النقطة المرجعية) ، ويقسم 9 درجات فهرنهايت (-13 درجة مئوية) ويضرب في 5 درجات مئوية (المقاييس حسب النسبة من الوحدات) ، ويضيف 0 درجة مئوية (الإزاحة من النقطة المرجعية). يؤدي عكس ذلك إلى الحصول على صيغة الحصول على كمية بوحدات سلزيوس من وحدات فهرنهايت ؛ يمكن للمرء أن يبدأ بالتكافؤ بين 100 درجة مئوية و 212 درجة فهرنهايت (100 درجة مئوية) ، على الرغم من أن هذا سيؤدي إلى نفس الصيغة في النهاية.

ومن ثم ، لتحويل قيمة الكمية العددية لدرجة الحرارة T [F] بالدرجات فهرنهايت إلى قيمة كمية عددية T [C] بالدرجات المئوية ، يمكن استخدام هذه الصيغة:

T [C] = ( T [F] - 32) × 5/9.

لتحويل T [C] بالدرجات المئوية إلى T [F] بالدرجات فهرنهايت ، يمكن استخدام هذه الصيغة:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

تطبيقات [ تحرير ]

غالبًا ما يستخدم تحليل الأبعاد في الفيزياء والكيمياء - وفي رياضياتهما - ولكنه يجد أيضًا بعض التطبيقات خارج هذين المجالين.

الرياضيات [ عدل ]

تطبيق بسيط لتحليل الأبعاد للرياضيات هو حساب شكل حجم الكرة n (الكرة الصلبة في أبعاد n ) ، أو مساحة سطحها ، المجال n : كونها شخصية ذات أبعاد n ، جداول حجم كما في حين أن مساحة السطح، ويجري الأبعاد، والمقاييس كما وهكذا فإن حجم ن -ball من حيث قطرها هي لبعض ثابت تحديد ثابت يأخذ أكثر انخراطا الرياضيات، ولكن الشكل يمكن استخلاصه وفحصها من قبل التحليل البعدي وحده. ${\ displaystyle x ^ {n}،}$ ${\ displaystyle (n-1)}$ ${\ displaystyle x ^ {n-1}.}$ ${\ displaystyle C_ {n} r ^ {n}،}$ ${\ displaystyle C_ {n}.}$

المالية والاقتصاد والمحاسبة [ عدل ]

في التمويل والاقتصاد والمحاسبة ، يُشار إلى التحليل البعدي بشكل شائع من حيث التمييز بين الأسهم والتدفقات . بشكل عام ، يتم استخدام التحليل البعدي في تفسير النسب المالية المختلفة ، والنسب الاقتصادية ، ونسب المحاسبة.

على سبيل المثال ، نسبة السعر إلى العائد لها أبعاد زمنية (وحدات من السنوات) ، ويمكن تفسيرها على أنها "سنوات من الأرباح لكسب السعر المدفوع".
في علم الاقتصاد ، تحتوي نسبة الدين إلى الناتج المحلي الإجمالي أيضًا على وحدات من السنوات (للدين وحدات عملة ، والناتج المحلي الإجمالي له وحدات عملة / سنة).
في التحليل المالي ، تحتوي بعض أنواع مدة السندات أيضًا على بُعد زمني (وحدة السنوات) ويمكن تفسيرها على أنها "سنوات لتحقيق التوازن بين مدفوعات الفائدة والسداد الاسمي".
سرعة النقود لها وحدات من 1 / سنة (الناتج المحلي الإجمالي / المعروض النقدي له وحدات من العملة / سنة على العملة): كم مرة يتم تداول وحدة من العملة في السنة.
غالبًا ما يتم التعبير عن أسعار الفائدة كنسبة مئوية ، ولكن بشكل أكثر ملاءمة بنسبة مئوية سنويًا ، والتي لها أبعاد 1 / سنة.

ميكانيكا الموائع [ عدل ]

في ميكانيكا الموائع ، يتم إجراء تحليل الأبعاد للحصول على شروط أو مجموعات pi عديمة الأبعاد . وفقًا لمبادئ تحليل الأبعاد ، يمكن وصف أي نموذج أولي بسلسلة من هذه المصطلحات أو المجموعات التي تصف سلوك النظام. باستخدام مصطلحات أو مجموعات pi مناسبة ، من الممكن تطوير مجموعة مماثلة من مصطلحات pi لنموذج له نفس علاقات الأبعاد. ^[8] بمعنى آخر ، توفر مصطلحات pi اختصارًا لتطوير نموذج يمثل نموذجًا أوليًا معينًا. تشمل المجموعات عديمة الأبعاد الشائعة في ميكانيكا الموائع ما يلي:

رقم رينولدز (Re) ، مهم بشكل عام في جميع أنواع مشاكل السوائل:
${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho \، ud} {\ mu}}}$ .
رقم Froude (Fr) ، تدفق النمذجة بسطح حر:
${\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {g \، L}}}.}$
رقم أويلر (Eu) ، المستخدم في المشاكل التي يكون فيها الضغط موضع اهتمام:
${\ displaystyle \ mathrm {Eu} = {\ frac {\ Delta p} {\ rho u ^ {2}}}.}$
رقم Mach (Ma) ، مهم في التدفقات عالية السرعة حيث تقترب السرعة أو تتجاوز السرعة المحلية للصوت:
${\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {u} {c}}،}$ حيث: $c$ هي السرعة المحلية للصوت.

التاريخ [ تحرير ]

تم الجدل حول أصول تحليل الأبعاد من قبل المؤرخين. ^[9]^[10]

نُسب أول تطبيق مكتوب لتحليل الأبعاد إلى مقال لفرانسوا دافيت في أكاديمية تورين للعلوم. كان لدى دافيت المعلم لاجرانج كمدرس. وترد أعماله الأساسية في اكتا الأكاديمية بتاريخ 1799. ^[10]

أدى هذا إلى استنتاج مفاده أن القوانين ذات المعنى يجب أن تكون معادلات متجانسة في وحدات قياسها المختلفة ، وهي النتيجة التي تم إضفاء الطابع الرسمي عليها لاحقًا في نظرية باكنغهام . عالج سيميون بواسون أيضًا نفس مشكلة قانون متوازي الأضلاع من قبل دافيت ، في أطروحته لعامي 1811 و 1833 (المجلد الأول ، ص 39). ^[11] في الطبعة الثانية لعام 1833 ، قدم بواسون صراحة مصطلح البعد بدلاً من تجانس دافيت .

في عام 1822 ، قدم العالم النابليوني المهم جوزيف فورييه أول مساهمات مهمة ^[12] استنادًا إلى فكرة أن القوانين الفيزيائية مثل F = ma يجب أن تكون مستقلة عن الوحدات المستخدمة لقياس المتغيرات الفيزيائية.

لعب ماكسويل دورًا رئيسيًا في إنشاء الاستخدام الحديث لتحليل الأبعاد من خلال تمييز الكتلة والطول والوقت كوحدات أساسية ، مع الإشارة إلى الوحدات الأخرى على أنها مشتقة. ^{[13] على} الرغم من أن ماكسويل عرّف الطول والوقت والكتلة بأنها "الوحدات الأساسية الثلاث" ، إلا أنه أشار أيضًا إلى أن كتلة الجاذبية يمكن اشتقاقها من الطول والوقت بافتراض شكل من أشكال قانون نيوتن للجاذبية العام حيث يكون ثابت الجاذبية G هو تؤخذ كوحدة ، وبالتالي تحديد M = L ³ T ⁻² . ^[14] بافتراض شكل من أشكال قانون كولوم الذي فيه كولوم ثابت k _eتؤخذ كوحدة ، ثم قرر ماكسويل أن أبعاد وحدة الشحن الكهروستاتيكية كانت Q = L ^3/2 M ^1/2 T ⁻¹ ، ^[15] والتي ، بعد استبدال معادلته M = L ³ T ⁻² للكتلة ، ينتج عن الشحنة نفس أبعاد الكتلة ، بمعنى. س = L ³ T ⁻² .

يستخدم التحليل البعدي أيضًا لاشتقاق العلاقات بين الكميات الفيزيائية التي تشارك في ظاهرة معينة يرغب المرء في فهمها وتوصيفها. تم استخدامه لأول مرة ( Pesic 2005 ) بهذه الطريقة في عام 1872 من قبل اللورد رايلي ، الذي كان يحاول فهم لماذا السماء زرقاء. نشر رايلي هذه التقنية لأول مرة في كتابه عام 1877 The Theory of Sound . ^[16]

كان المعنى الأصلي لكلمة البعد ، في نظرية فورييه دي لا شالور ، هو القيمة العددية لأسس الوحدات الأساسية. على سبيل المثال ، تم اعتبار أن التسارع له البعد 1 فيما يتعلق بوحدة الطول ، والبعد −2 فيما يتعلق بوحدة الوقت. ^[17] تم تغيير هذا قليلاً بواسطة ماكسويل ، الذي قال إن أبعاد التسارع هي LT ⁻² ، بدلاً من الأسس فقط. ^[18]

صياغة رياضية [ عدل ]

و π باكنغهام نظرية تصف كيف أن كل معادلة ذات مغزى جسديا تنطوي ن المتغيرات يمكن إعادة كتابة مكافئ باعتبارها معادلة ن - م المعلمات أبعاد، حيث م هو رتبة المصفوفة الأبعاد. علاوة على ذلك ، والأهم من ذلك ، أنه يوفر طريقة لحساب هذه المعلمات التي لا أبعاد لها من المتغيرات المعطاة.

يمكن أن يتم تقليل الأبعاد أو إزالتها من خلال معادلة الأبعاد ، والتي تبدأ بتحليل الأبعاد ، وتتضمن قياس الكميات بواسطة وحدات مميزة لنظام أو وحدات طبيعية من الطبيعة. يعطي هذا نظرة ثاقبة للخصائص الأساسية للنظام ، كما هو موضح في الأمثلة أدناه.

تعريف [ عدل ]

البعد من كمية فيزيائية يمكن التعبير كمنتج الأبعاد المادية الأساسية مثل طول ، كتلة والوقت، مرفوع إلى كل عقلانية السلطة . يعد بُعد الكمية المادية أكثر أهمية من بعض وحدات القياس المستخدمة للتعبير عن مقدار تلك الكمية المادية. على سبيل المثال ، الكتلة هي بُعد ، في حين أن الكيلوجرام عبارة عن وحدة قياس معينة تم اختيارها للتعبير عن كمية من الكتلة. باستثناء الوحدات الطبيعية ، فإن اختيار المقياس ثقافي وتعسفي.

هناك العديد من الخيارات الممكنة للأبعاد المادية الأساسية. على مستوى SI يوصي استخدام الرموز التالية أبعاد والمقابلة: طول (L)، كتلة (M)، والوقت (T)، التيار الكهربائي (I)، درجة الحرارة المطلقة (Θ)، كمية من مادة (N)، و شدة مضيئة (ي). عادة ما تكون الرموز مكتوبة بخط روماني بلا سيريف . ^[19] رياضياً ، يتم إعطاء أبعاد الكمية Q بواسطة

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {Q} = {\ mathsf {L}} ^ {a} {\ mathsf {M}} ^ {b} {\ mathsf {T}} ^ {c} {\ mathsf {I}} ^ {d} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {e} {\ mathsf {N}} ^ {f} {\ mathsf {J}} ^ {g}}

حيث أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و ، ز هي الأسس ذات الأبعاد. يمكن تعريف الكميات الفيزيائية الأخرى على أنها الكميات الأساسية ، طالما أنها تشكل أساسًا مستقلًا خطيًا . على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يستبدل بعد التيار الكهربائي (I) لأساس النظام الدولي للوحدات (SI) بأبعاد الشحنة الكهربائية (Q) ، حيث أن Q = IT.

على سبيل المثال ، أبعاد سرعة الكمية المادية v هو

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ v = {\ frac {\ text {length}} {\ text {time}}} = {\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} = {\ mathsf {LT}} ^ {- 1}}

وبُعد الكمية المادية للقوة F هو

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ F = {\ text {mass}} \ times {\ text {التسريع}} = {\ text {mass}} \ times {\ frac {\ text {length}} { {\ text {time}} ^ {2}}} = {\ frac {\ mathsf {ML}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} = {\ mathsf {MLT}} ^ {- 2 }}

الوحدة المختارة للتعبير عن كمية مادية وأبعادها مرتبطة ببعضها البعض ولكنها ليست مفاهيم متطابقة. يتم تحديد وحدات الكمية المادية عن طريق الاصطلاح وترتبط ببعض المعايير ؛ على سبيل المثال ، قد يحتوي الطول على وحدات متر أو أقدام أو بوصات أو أميال أو ميكرومتر ؛ ولكن دائمًا ما يكون لأي طول بُعد L ، بغض النظر عن وحدات الطول التي يتم اختيارها للتعبير عنها. وحدتان مختلفتان من نفس الكمية المادية لهما عوامل تحويل مرتبطة بهما. على سبيل المثال ، 1 بوصة = 2.54 سم ؛ في هذه الحالة (2.54 سم / بوصة) هو عامل التحويل ، وهو بحد ذاته بلا أبعاد. لذلك ، فإن الضرب في عامل التحويل هذا لا يغير أبعاد الكمية المادية.

هناك أيضًا فيزيائيون شككوا في وجود أبعاد أساسية غير متوافقة للكمية المادية ، ^[20] على الرغم من أن هذا لا يبطل فائدة تحليل الأبعاد.

الخصائص الرياضية [ عدل ]

الأبعاد التي يمكن تشكيلها من مجموعة معينة من الأبعاد المادية الأساسية ، مثل M و L و T ، تشكل مجموعة أبيلية : الهوية مكتوبة على أنها 1 ؛ L ⁰ = 1 ، وعكس L هو 1 / L أو L ⁻¹ . L مرفوعة إلى أي قوة منطقية p هي عضو في المجموعة ، لها معكوس L ^{- p} أو 1 / L ^p . عملية المجموعة هي الضرب ، مع وجود القواعد المعتادة للتعامل مع الأسس ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ).

يمكن وصف هذه المجموعة بأنها فضاء متجه فوق الأرقام المنطقية ، على سبيل المثال رمز الأبعاد M ⁱ L ^j T ^k المقابل للمتجه ( i ، j ، k ) . عندما يتم ضرب الكميات المقاسة فيزيائيًا (سواء كانت ذات أبعاد متشابهة أو غير متشابهة الأبعاد) أو مقسومة على بعضها البعض ، يتم أيضًا مضاعفة أو تقسيم وحدات أبعادها ؛ هذا يتوافق مع الجمع أو الطرح في الفضاء المتجه. عندما يتم رفع الكميات القابلة للقياس إلى قوة عقلانية ، يتم فعل الشيء نفسه على رموز الأبعاد المرتبطة بهذه الكميات ؛ هذا يتوافق مع الضرب القياسي في الفضاء المتجه.

يُطلق على الأساس لمثل هذا الفضاء المتجه لرموز الأبعاد مجموعة من الكميات الأساسية ، وتسمى جميع النواقل الأخرى بالوحدات المشتقة. كما هو الحال في أي مساحة متجه ، يمكن للمرء أن يختار قواعد مختلفة ، مما ينتج عنه أنظمة مختلفة للوحدات (على سبيل المثال ، اختيار ما إذا كانت وحدة الشحن مشتقة من وحدة التيار ، أو العكس).

تتوافق هوية المجموعة 1 ، بُعد الكميات التي لا أبعاد لها ، مع الأصل في هذا الفضاء المتجه.

تتوافق مجموعة وحدات الكميات الفيزيائية المتضمنة في مشكلة مع مجموعة من المتجهات (أو مصفوفة). و بطلان يصف بعض الأرقام (على سبيل المثال، م ) من الطرق التي هذه النواقل يمكن الجمع بين لإنتاج ناقلات الصفر. تتوافق هذه مع إنتاج (من القياسات) عددًا من الكميات التي لا أبعاد لها ، {π ₁ ، ... ، π _م }. (في الواقع ، تمتد هذه الطرق تمامًا إلى الفضاء الجزئي الفارغ لمساحة أخرى مختلفة ، لقوى القياسات.) يمكن التعبير عن كل طريقة ممكنة لضرب ( وأسس ) الكميات المقاسة لإنتاج شيء ما بنفس الوحدات مثل بعض الكمية المشتقة X يمكن التعبير عنها بشكل عام

X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.

وبالتالي ، يمكن إعادة كتابة كل معادلة متناسبة مع فيزياء النظام بالشكل

f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.

يمكن أن تكون معرفة هذا التقييد أداة قوية للحصول على رؤية جديدة للنظام.

ميكانيكا [ تحرير ]

يمكن التعبير عن أبعاد الكميات الفيزيائية ذات الأهمية في الميكانيكا من حيث الأبعاد الأساسية M و L و T - وهذه تشكل فضاء متجه ثلاثي الأبعاد. ليس هذا هو الخيار الوحيد الصالح للأبعاد الأساسية ، ولكنه الأكثر استخدامًا. على سبيل المثال ، قد يختار المرء القوة والطول والكتلة كأبعاد أساسية (كما فعل البعض) ، مع الأبعاد المرتبطة F ، L ، M ؛ هذا يتوافق مع أساس مختلف ، ويمكن للمرء التحويل بين هذه التمثيلات عن طريق تغيير الأساس . وبالتالي ، فإن اختيار مجموعة الأبعاد الأساسية هو اصطلاح ، مع فائدة زيادة المنفعة والألفة. إن اختيار الأبعاد الأساسية ليس تعسفياً تمامًا ، لأنه يجب أن يشكل أساسًا : يجب أن تمتد عبر الفضاء ، وأن تكون كذلكمستقل خطيًا .

على سبيل المثال ، تشكل F ، L ، M مجموعة من الأبعاد الأساسية لأنها تشكل أساسًا مكافئًا لـ M ، L ، T: يمكن التعبير عن الأول على أنه [F = ML / T ² ] ، L ، M ، بينما يمكن التعبير عن الأخير كـ M ، L ، [T = (ML / F) ^1/2 ].

من ناحية أخرى ، لا يشكل الطول والسرعة والوقت (L ، V ، T) مجموعة من الأبعاد الأساسية للميكانيكا ، وذلك لسببين:

لا توجد طريقة للحصول على الكتلة - أو أي شيء مشتق منها ، مثل القوة - دون إدخال بعد أساسي آخر (وبالتالي ، فهي لا تمتد إلى الفضاء ).
السرعة ، التي يمكن التعبير عنها من حيث الطول والوقت (V = L / T) ، زائدة عن الحاجة (المجموعة ليست مستقلة خطيًا ).

مجالات أخرى في الفيزياء والكيمياء [ عدل ]

اعتمادًا على مجال الفيزياء ، قد يكون من المفيد اختيار مجموعة موسعة أو أخرى من رموز الأبعاد. في الكهرومغناطيسية ، على سبيل المثال ، قد يكون من المفيد استخدام أبعاد M و L و T و Q ، حيث تمثل Q أبعاد الشحنة الكهربائية . في الديناميكا الحرارية ، غالبًا ما يتم تمديد مجموعة الأبعاد الأساسية لتشمل بُعدًا لدرجة الحرارة ، Θ. في الكيمياء ، كمية المادة (عدد الجزيئات مقسومًا على ثابت أفوجادرو ، ≈6.02 × 10 ²³ مول ⁻¹ ) يُعرَّف على أنه بُعد أساسي ، N أيضًا. في تفاعل البلازما النسبية مع نبضات الليزر القوية ، يتم إنشاء معلمة تشابه نسبي عديمة الأبعاد ، مرتبطة بخصائص التناظر لمعادلة فلاسوف غير المتصادمة ، من البلازما ، والإلكترون ، والكثافة الحرجة بالإضافة إلى الجهد الكهرومغناطيسي المتجه. يعد اختيار الأبعاد أو حتى عدد الأبعاد التي سيتم استخدامها في مجالات الفيزياء المختلفة أمرًا عشوائيًا إلى حد ما ، ولكن الاتساق في الاستخدام وسهولة الاتصالات من السمات الشائعة والضرورية.

كثيرات الحدود والدوال المتعالية [ عدل ]

العددية الحجج إلى وظائف متعالية مثل الأسي ، المثلثية و اللوغاريتمية وظائف، أو متعددو الحدود غير متجانسة ، ويجب أن تكون كميات أبعاد . (ملاحظة: تم تخفيف هذا المطلب إلى حد ما في تحليل Siano التوجيهي الموضح أدناه ، حيث يكون مربع كميات معينة ذات أبعاد بلا أبعاد.)

في حين أن معظم الهويات الرياضية حول الأرقام التي لا أبعاد لها تترجم بطريقة مباشرة إلى الكميات ذات الأبعاد ، يجب توخي الحذر مع لوغاريتمات النسب: سجل الهوية (أ / ب) = السجل أ - اللوغاريتم ب ، حيث يتم أخذ اللوغاريتم في أي قاعدة ، يحمل للأرقام أبعاد أ و ب، لكنه لم يعقد إذا a و b الأبعاد، لأنه في هذه الحالة الجانب اليسار اليد واضحة المعالم ولكن على الجانب الأيمن ليست كذلك.

وبالمثل ، في حين أنه يمكن للمرء تقييم المونومال ( س ^ن ) لكميات الأبعاد ، لا يمكن للمرء تقييم كثيرات الحدود من الدرجة المختلطة مع معاملات بلا أبعاد على الكميات ذات الأبعاد: بالنسبة إلى س ² ، فإن التعبير (3 م) ² = 9 م ² منطقي (كمنطقة ) ، بينما بالنسبة إلى x ² + x ، فإن التعبير (3 م) ² + 3 م = 9 م ² + 3 م لا معنى له.

ومع ذلك ، فإن كثيرات الحدود من الدرجة المختلطة يمكن أن تكون منطقية إذا تم اختيار المعاملات بشكل مناسب بكميات فيزيائية ليست بلا أبعاد. على سبيل المثال،

{\frac {1}{2}}\cdot \left(-9.8\ {\frac {\text{meter}}{{\text{second}}^{2}}}\right)\cdot t^{2}+\left(500\ {\frac {\text{meter}}{\text{second}}}\right)\cdot t.

هذا هو الارتفاع الذي يرتفع إليه الجسم في الزمن t إذا كان تسارع الجاذبية 9.8 متر لكل ثانية في الثانية والسرعة الأولية الصاعدة 500 متر في الثانية. ليس من الضروري أن تكون t بالثواني . على سبيل المثال ، افترض أن t = 0.01 دقيقة. ثم سيكون المصطلح الأول

{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\cdot \left(-9.8\ {\frac {\text{meter}}{{\text{second}}^{2}}}\right)\cdot (0.01{\text{ minute}})^{2}\\[10pt]={}&{\frac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\left({\frac {\text{minute}}{\text{second}}}\right)^{2}\cdot {\text{meter}}\\[10pt]={}&{\frac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot {\text{meter}}.\end{aligned}}

دمج الوحدات [ عدل ]

تتم كتابة قيمة الكمية المادية ذات الأبعاد Z كمنتج لوحدة [ Z ] داخل البعد وعامل عددي بلا أبعاد ، n . ^[21]

Z=n\times [Z]=n[Z]

عند إضافة الكميات ذات الأبعاد المتشابهة أو طرحها أو مقارنتها ، فمن الملائم التعبير عنها بوحدات متسقة بحيث يمكن إضافة القيم الرقمية لهذه الكميات أو طرحها مباشرة. ولكن ، من حيث المفهوم ، لا توجد مشكلة في إضافة كميات من نفس البعد معبرًا عنها بوحدات مختلفة. على سبيل المثال ، 1 متر مضافًا إلى قدم واحد هو الطول ، ولكن لا يمكن للمرء أن يشتق هذا الطول بمجرد إضافة 1 و 1. هناك حاجة إلى عامل تحويل ، وهو نسبة الكميات ذات الأبعاد المتشابهة وتساوي الوحدة التي لا أبعاد لها:

1\ {\mbox{ft}}=0.3048\ {\mbox{m}}\

مطابق لـ

1={\frac {0.3048\ {\mbox{m}}}{1\ {\mbox{ft}}}}.\

هذا العامل متطابق مع البعد 1 ، لذا فإن الضرب في عامل التحويل هذا لا يغير شيئًا. ثم عند إضافة كميتين ذات أبعاد متشابهة ، ولكن يتم التعبير عنها بوحدات مختلفة ، يتم استخدام عامل التحويل المناسب ، والذي هو في الأساس بلا أبعاد 1 ، لتحويل الكميات إلى وحدات متطابقة بحيث يمكن إضافة قيمها العددية أو طرحها. $0.3048\ {\frac {\mbox{m}}{\mbox{ft}}}$

بهذه الطريقة فقط يكون من المفيد التحدث عن إضافة كميات متشابهة الأبعاد لوحدات مختلفة.

الموقف مقابل الإزاحة [ عدل ]

تصف بعض مناقشات تحليل الأبعاد ضمنيًا جميع الكميات كمتجهات رياضية. (تعتبر المقاييس في الرياضيات حالة خاصة من المتجهات ؛ يمكن إضافة المتجهات ^{[ بحاجة لمصدر ]} أو طرحها من المتجهات الأخرى ، ومن بين أمور أخرى ، ضرب أو تقسيم المقاييس. إذا تم استخدام متجه لتحديد موضع ، فهذا يفترض نقطة مرجعية ضمنية: الأصل . في حين أن هذا مفيد وغالبًا ما يكون مناسبًا تمامًا ، مما يسمح بالكشف عن العديد من الأخطاء المهمة ، إلا أنه قد يفشل في نمذجة جوانب معينة من الفيزياء. يتطلب النهج الأكثر صرامة التمييز بين الموضع والإزاحة (أو لحظة في الوقت مقابل المدة ، أو درجة الحرارة المطلقة مقابل تغير درجة الحرارة).

ضع في اعتبارك النقاط الموجودة على خط ما ، ولكل منها موقع يتعلق بأصل معين ، والمسافات فيما بينها. تحتوي جميع المواضع والإزاحة على وحدات طول ، لكن معناها غير قابل للتبديل:

يجب أن تؤدي إضافة عمليتي تشريد إلى إزاحة جديدة (المشي عشر خطوات ثم عشرين خطوة يجعلك تقدم ثلاثين خطوة للأمام) ،
يجب أن تؤدي إضافة إزاحة إلى موضع ما إلى وضع موضع جديد (يؤدي السير مسافة كتلة واحدة أسفل الشارع من التقاطع إلى الوصول إلى التقاطع التالي) ،
يجب أن ينتج عن طرح موضعين إزاحة ،
ولكن لا يجوز إضافة وظيفتين.

يوضح هذا التمييز الدقيق بين الكميات الأفينية (تلك التي تم تصميمها بواسطة مساحة أفينية ، مثل الموضع) والكميات المتجهة (تلك التي تم تصميمها بواسطة مساحة ناقل ، مثل الإزاحة).

يمكن إضافة كميات المتجهات إلى بعضها البعض ، مما ينتج عنه كمية متجه جديدة ، ويمكن إضافة كمية متجهة إلى كمية أفينية مناسبة ( يعمل الفضاء المتجه على مساحة أفقية) ، مما ينتج عنه كمية أفينية جديدة.
لا يمكن إضافة الكميات الصغيرة ، ولكن يمكن طرحها ، مما ينتج عنه كميات نسبية تكون نواقل ، ويمكن بعد ذلك إضافة هذه الاختلافات النسبية إلى بعضها البعض أو إلى كمية أفينية.

ومن ثم ، فإن المواضع لها أبعاد طولها التقريبي ، في حين أن الإزاحة لها أبعاد طول المتجه . لتعيين رقم لوحدة أفينية ، يجب على المرء ليس فقط اختيار وحدة قياس ، ولكن أيضًا نقطة مرجعية ، بينما يتطلب تعيين رقم لوحدة متجه فقط وحدة قياس.

وبالتالي ، يتم نمذجة بعض الكميات الفيزيائية بشكل أفضل بواسطة الكميات المتجهة بينما يميل البعض الآخر إلى طلب تمثيل أفيني ، وينعكس التمييز في تحليل الأبعاد الخاص بهم.

هذا التمييز مهم بشكل خاص في حالة درجة الحرارة ، حيث لا تكون القيمة العددية للصفر المطلق هي الأصل 0 في بعض المقاييس. للصفر المطلق ،

−273.15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ 459.67 درجة فهرنهايت ،

حيث يتوافق الرمز مع ، نظرًا لأنه على الرغم من تطابق هذه القيم على مقاييس درجة الحرارة المعنية ، فإنها تمثل كميات مميزة بنفس الطريقة التي تكون بها المسافات من نقاط البداية المتميزة إلى نفس نقطة النهاية كميات مميزة ، ولا يمكن معادلتها بشكل عام.

لاختلافات درجة الحرارة ،

1 ك = 1 درجة مئوية ≠ 1 درجة فهرنهايت (−17 درجة مئوية) = 1 درجة ر.

(هنا تشير ° R إلى مقياس رانكين وليس مقياس ريومور ). تحويل الوحدة للاختلافات في درجات الحرارة هو ببساطة مسألة الضرب في ، على سبيل المثال ، 1 درجة فهرنهايت / 1 كلفن (على الرغم من أن النسبة ليست قيمة ثابتة). ولكن نظرًا لأن بعض هذه المقاييس لها أصول لا تتوافق مع الصفر المطلق ، فإن التحويل من مقياس درجة حرارة إلى آخر يتطلب حساب ذلك. نتيجة لذلك ، يمكن أن يؤدي التحليل البسيط للأبعاد إلى حدوث أخطاء إذا كان غامضًا ما إذا كانت 1 ك تعني درجة الحرارة المطلقة التي تساوي 272.15 درجة مئوية ، أو الفرق في درجة الحرارة يساوي 1 درجة مئوية.

التوجه والإطار المرجعي [ عدل ]

على غرار قضية نقطة مرجعية ، فإن مسألة الاتجاه: الإزاحة في 2 أو 3 أبعاد ليست مجرد طول ، ولكنها طول مع اتجاه . (لا تظهر هذه المشكلة في بعد واحد ، أو بالأحرى تعادل التمييز بين الموجب والسالب.) وبالتالي ، لمقارنة أو دمج كميات ثنائية الأبعاد في فضاء متعدد الأبعاد ، يحتاج المرء أيضًا إلى اتجاه: يجب مقارنتها إلى إطار مرجعي .

يؤدي هذا إلى الامتدادات التي تمت مناقشتها أدناه ، وهي الأبعاد الموجهة لهنتلي والتحليل التوجيهي لسيانو.

أمثلة [ عدل ]

مثال بسيط: فترة المذبذب التوافقي [ عدل ]

ما هي فترة التذبذب $T$ لكتلة $m$ المرتبطة بنابض خطي مثالي مع ثابت الزنبرك $k$ معلق في جاذبية القوة $g$ ؟ هذه الفترة هي حل $T$ لبعض المعادلات التي لا أبعاد لها في المتغيرات $T$ و $m$ و $k$ و $g$ . الكميات الأربعة لها الأبعاد التالية: $T$ [T]؛ $م$ [م] ؛ $ك$ [M / T ² ] ؛ و $ز$ [L / T ² ]. من هذه يمكننا تشكيل منتج واحد فقط بدون أبعاد لقوى المتغيرات المختارة ، = $G_{1}$ $T^{2}k/m$ [T ² · M / T ² / M = 1] ، ووضع بعض الأبعاد الثابتة $C$ يعطي المعادلة الخالية من الأبعاد المطلوبة. يُشار أحيانًا إلى منتج بلا أبعاد لقوى المتغيرات على أنه مجموعة متغيرات بلا أبعاد ؛ هنا مصطلح "مجموعة" يعني "مجموعة" وليس مجموعة رياضية . غالبًا ما يطلق عليهم أرقام بلا أبعاد أيضًا. $G_{1}=C$

لاحظ أن المتغير $g$ لا يحدث في المجموعة. فمن السهل أن نرى أنه من المستحيل لتشكيل المنتج أبعاد من القوى التي تجمع $ز$ مع $ك$ ، $م$ ، و $T$ ، لأن $ز$ هو كمية الوحيدة التي تنطوي على البعد L. وهذا يعني أن في هذه المشكلة و $ز$ غير ذي صلة. يمكن أن ينتج عن التحليل البعدي أحيانًا بيانات قوية حول عدم ملاءمة بعض الكميات في مشكلة ما ، أو الحاجة إلى معلمات إضافية. إذا اخترنا متغيرات كافية لوصف المشكلة بشكل صحيح ، فيمكننا من هذه الحجة أن نستنتج أن فترة الكتلة في الربيع مستقلة عن $g$ : هو نفسه على الأرض أو القمر. يمكن كتابة المعادلة التي توضح وجود منتج قوى لمشكلتنا بطريقة مكافئة تمامًا: لبعض الثابت عديم الأبعاد κ (يساوي من المعادلة الأصلية بلا أبعاد). $T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}$ ${\sqrt {C}}$

عندما نواجه حالة يرفض فيها تحليل الأبعاد متغيرًا ( $g$ ، هنا) يتوقع المرء بشكل حدسي أنه ينتمي إلى وصف مادي للموقف ، فهناك احتمال آخر وهو أن المتغير المرفوض مناسب في الواقع ، لكن بعض المتغيرات الأخرى ذات الصلة كانت كذلك محذوف ، والذي قد يتحد مع المتغير المرفوض لتكوين كمية بلا أبعاد. ومع ذلك ، هذا ليس هو الحال هنا.

عندما ينتج عن تحليل الأبعاد مجموعة واحدة فقط بلا أبعاد ، كما هو الحال هنا ، لا توجد وظائف غير معروفة ، ويقال أن الحل "كامل" - على الرغم من أنه قد لا يزال يتضمن ثوابت غير معروفة بلا أبعاد ، مثل $κ$ .

مثال أكثر تعقيدًا: طاقة سلك مهتز [ عدل ]

النظر في القضية من سلك تهتز من طول ℓ (L) تهتز مع السعة A (L). السلك له كثافة خطية ρ (M / L) وهو تحت شد s (ML / T ² ) ، ونريد معرفة الطاقة E (ML ² / T ² ) في السلك. لنفترض أن π ₁ و π ₂منتجان بلا أبعاد لقوى المتغيرات المختارة ، معطاة

{\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}

لا يتم تضمين الكثافة الخطية للسلك. يمكن الجمع بين المجموعتين الموجودتين في شكل مكافئ كمعادلة

F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,

حيث F هي بعض الوظائف غير المعروفة ، أو على قدم المساواة

E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),

حيث f هي وظيفة أخرى غير معروفة. تشير الوظيفة غير المعروفة هنا إلى أن حلنا غير مكتمل الآن ، لكن تحليل الأبعاد أعطانا شيئًا ربما لم يكن واضحًا: الطاقة متناسبة مع القوة الأولى للتوتر. باستثناء المزيد من التحليل التحليلي ، قد ننتقل إلى التجارب لاكتشاف شكل الوظيفة غير المعروفة f . لكن تجاربنا أبسط مما كانت عليه في غياب تحليل الأبعاد. لن نقوم بأي شيء للتحقق من أن الطاقة تتناسب مع التوتر. أو ربما نخمن أن الطاقة تتناسب مع ℓ ، وبالتالي نستنتج أن E = ℓs. تصبح قوة التحليل البعدي كأداة مساعدة للتجربة وتشكيل الفرضيات واضحة.

تصبح قوة التحليل البعدي واضحة حقًا عندما يتم تطبيقها على المواقف ، بخلاف تلك المذكورة أعلاه ، الأكثر تعقيدًا ، ومجموعة المتغيرات المعنية غير ظاهرة ، والمعادلات الأساسية معقدة بشكل ميؤوس منه. تأمل ، على سبيل المثال ، حصاة صغيرة جالسة على قاع نهر. إذا كان النهر يتدفق بسرعة كافية ، فسوف يرفع الحصاة فعليًا ويسبب تدفقها مع الماء. بأي سرعة حرجة سيحدث هذا؟ إن فرز المتغيرات التي تم تخمينها ليس سهلاً كما كان من قبل. لكن التحليل البعدي يمكن أن يكون أداة مساعدة قوية في فهم مشاكل مثل هذه ، وعادة ما يكون الأداة الأولى التي يتم تطبيقها على المشاكل المعقدة حيث المعادلات والقيود الأساسية غير مفهومة بشكل جيد. في مثل هذه الحالات ، قد تعتمد الإجابة على عدد بلا أبعادمثل رقم رينولدز ، والذي يمكن تفسيره من خلال تحليل الأبعاد.

مثال ثالث: الطلب مقابل السعة لقرص دوار [ عدل ]

التحليل البعدي والتجارب العددية للقرص الدوار

ضع في اعتبارك حالة قرص دوار رقيق وصلب متوازي الجوانب بسمك محوري t (L) ونصف قطر R (L). القرص له كثافة ρ (M / L ³ ) ، يدور بسرعة زاوية ω (T ⁻¹ ) وهذا يؤدي إلى إجهاد S (ML ⁻¹ T ⁻²) في المادة. يوجد حل مرن خطي نظري ، قدمه Lame ، لهذه المشكلة عندما يكون القرص رقيقًا بالنسبة إلى نصف قطره ، وتكون وجوه القرص حرة في التحرك محوريًا ، ويمكن افتراض أن العلاقات التأسيسية للضغط المستوي صحيحة. عندما يصبح القرص أكثر سمكًا بالنسبة إلى نصف القطر ، ينهار محلول إجهاد المستوى. إذا تم تقييد القرص محوريًا على وجوهه الحرة ، فستحدث حالة من إجهاد الطائرة. ومع ذلك ، إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكن تحديد حالة الإجهاد فقط من خلال النظر في المرونة ثلاثية الأبعاد ولا يوجد حل نظري معروف لهذه الحالة. لذلك ، قد يكون المهندس مهتمًا بإقامة علاقة بين المتغيرات الخمسة. يؤدي التحليل البعدي لهذه الحالة إلى ما يلي (5 - 3 = 2) المجموعات غير الأبعاد:

الطلب / السعة = ρR ² ω ² / S.

سمك / نصف القطر أو نسبة العرض إلى الارتفاع = ر / ص

من خلال استخدام التجارب العددية باستخدام طريقة العناصر المحدودة على سبيل المثال ، يمكن الحصول على طبيعة العلاقة بين المجموعتين غير البعديتين كما هو موضح في الشكل. نظرًا لأن هذه المشكلة لا تتضمن سوى مجموعتين غير أبعاد ، يتم توفير الصورة الكاملة في قطعة أرض واحدة ويمكن استخدام هذا كمخطط تصميم / تقييم للأقراص الدوارة ^[22]

ملحقات [ تحرير ]

امتداد هنتلي: الأبعاد الموجهة وكمية المادة [ عدل ]

أشار Huntley ( Huntley 1967 ) إلى أن تحليل الأبعاد يمكن أن يصبح أكثر قوة من خلال اكتشاف أبعاد مستقلة جديدة في الكميات قيد الدراسة ، وبالتالي زيادة رتبة مصفوفة الأبعاد. قدم طريقتين للقيام بذلك: $m$

يجب اعتبار مقادير مكونات المتجه مستقلة الأبعاد. على سبيل المثال ، بدلاً من بُعد الطول غير المتمايز L ، قد يكون لدينا L _x يمثل البعد في الاتجاه x ، وهكذا دواليك. ينبع هذا المطلب في نهاية المطاف من شرط أن يكون كل مكون من معادلة ذات مغزى ماديًا (عددي ، متجه ، أو موتر) متسقًا الأبعاد.
يجب اعتبار الكتلة كمقياس لكمية المادة مستقلة الأبعاد عن الكتلة كمقياس للقصور الذاتي.

كمثال على فائدة النهج الأول ، لنفترض أننا نرغب في حساب المسافة التي تقطعها قذيفة المدفع عند إطلاقها بمكون سرعة عمودية ومكون سرعة أفقي ، بافتراض إطلاقها على سطح مستو. بافتراض عدم استخدام الأطوال الموجهة ، تكون الكميات ذات الأهمية ، بعد ذلك ، على حد سواء LT ⁻¹ ، $R$ ، المسافة المقطوعة ، ذات البعد L ، و $g$ تسارع الجاذبية النزولي ، مع البعد LT ⁻² . $V_{\mathrm {y} }$ $V_{\mathrm {x} }$ $V_{\mathrm {x} }$ $V_{\mathrm {y} }$

بهذه الكميات الأربع ، قد نستنتج أن معادلة النطاق $R$ يمكن كتابتها:

R\propto V_{\text{x}}^{a}\,V_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.\,

أو الأبعاد

{\mathsf {L}}=\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{a+b}\left({\frac {\mathsf {L}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{c}\,

من الذي نحن قد نستنتج أن و ، الذي يترك غير محدد الأس واحد. هذا أمر متوقع لأن لدينا بعدين أساسيين L و T ، وأربعة معلمات ، مع معادلة واحدة. $a+b+c=1$ $a+b+2c=0$

ومع ذلك ، إذا استخدمنا أبعاد الطول الموجهة ، فسيتم تحديد أبعادها كـ L _$x$ T ⁻¹ ، مثل L _$y$ T ⁻¹ ، $R$ كـ L _$x$ و $g$ كـ L _$y$ T ⁻² . تصبح معادلة الأبعاد: $V_{\mathrm {x} }$ $V_{\mathrm {y} }$

{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}{\mathsf {T}}}\right)^{a}\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{c}

ونحن قد حل تماما كما ، و . إن الزيادة في القدرة الاستنتاجية المكتسبة عن طريق استخدام أبعاد الطول الموجهة واضحة. $a=1$ $b=1$ $c=-1$

في نهجه الثاني ، يرى هنتلي أنه من المفيد أحيانًا (على سبيل المثال ، في ميكانيكا الموائع والديناميكا الحرارية) التمييز بين الكتلة كمقياس للقصور الذاتي (كتلة القصور الذاتي) والكتلة كمقياس لكمية المادة. يعرّف هنتلي كمية المادة على أنها كمية (أ) تتناسب مع كتلة القصور الذاتي ، ولكن (ب) لا تنطوي على خصائص بالقصور الذاتي. لم يتم إضافة المزيد من القيود إلى تعريفه.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك اشتقاق قانون Poiseuille . نرغب في إيجاد معدل تدفق كتلة سائل لزج عبر أنبوب دائري. بدون التمييز بين الكتلة بالقصور الذاتي والكتلة الكبيرة ، قد نختار المتغيرات ذات الصلة

${\dot {m}}$ معدل التدفق الكتلي مع البعد MT ⁻¹
$p_{\text{x}}$ تدرج الضغط على طول الأنبوب ذو البعد ML ² T ⁻²
$ρ$ كثافة مع البعد ML ^-3
$η$ لزوجة السوائل الديناميكية ذات البعد ML ¹ T ⁻¹
$r$ نصف قطر الأنبوب ذو البعد L

هناك ثلاثة متغيرات أساسية جدا لاكثر من خمس معادلات سوف تسفر عن اثنين من أبعاد المتغيرات التي كنا قد يستغرق لتكون و ونحن قد تعبير عن معادلة الأبعاد كما $\pi _{1}={\dot {m}}/\eta r$ $\pi _{2}=p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}/{\dot {m}}^{2}$

C=\pi _{1}\pi _{2}^{a}=\left({\frac {\dot {m}}{\eta r}}\right)\left({\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}\right)^{a}

حيث $C$ و $a$ ثوابت غير محددة. إذا قمنا بالتمييز بين الكتلة بالقصور الذاتي مع البعد وكمية المادة ذات البعد ، فإن معدل تدفق الكتلة والكثافة سيستخدمان كمية المادة كمعامل كتلة ، بينما سيستخدم تدرج الضغط ومعامل اللزوجة الكتلة بالقصور الذاتي. لدينا الآن أربع معاملات أساسية ، وثابت واحد بلا أبعاد ، بحيث يمكن كتابة معادلة الأبعاد: $M_{\text{i}}$ $M_{\text{m}}$

C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}

حيث $C$ الآن فقط ثابت غير محدد (وجد أنه يساوي بواسطة طرق خارج تحليل الأبعاد). يمكن حل هذه المعادلة لمعدل تدفق الكتلة لإنتاج قانون Poiseuille . $\pi /8$

من الواضح أن اعتراف هنتلي بكمية المادة كبعد كمي مستقل ناجح في المشاكل حيث يكون ذلك قابلاً للتطبيق ، لكن تعريفه لكمية المادة مفتوح للتفسير ، لأنه يفتقر إلى التحديد فيما يتجاوز المطلبين (أ) و (ب) هو يفترض لذلك. بالنسبة لمادة معينة ، فإن مقدار البعد SI للمادة ، مع وحدة مول ، يفي بمتطلبات Huntley كمقياس لكمية المادة ، ويمكن استخدامه ككمية من المادة في أي مشكلة لتحليل الأبعاد حيث يكون مفهوم Huntley قابلاً للتطبيق.

ومع ذلك ، فإن مفهوم Huntley لأبعاد الطول الموجهة له بعض القيود الخطيرة:

أنها لا تتعامل بشكل جيد مع المعادلات ناقلات التي تنطوي على المنتج عبر ،
كما أنه لا يتعامل بشكل جيد مع استخدام الزوايا كمتغيرات فيزيائية.

غالبًا ما يكون من الصعب جدًا تخصيص رموز L و L _$x$ و L _$y$ و L _$z$ للمتغيرات المادية التي تنطوي عليها مشكلة الاهتمام. يستدعي إجراءً يتضمن "تناسق" المشكلة المادية. غالبًا ما يكون من الصعب جدًا تطبيق هذا بشكل موثوق: من غير الواضح فيما يتعلق بأجزاء المشكلة التي يتم استدعاء مفهوم "التناظر". هل هو تناسق الجسم المادي الذي تتأثر به القوى ، أم إلى النقاط أو الخطوط أو المناطق التي يتم تطبيق القوى عليها؟ ماذا لو كان هناك أكثر من جسم مشترك في تناظرات مختلفة؟

ضع في اعتبارك الفقاعة الكروية المتصلة بأنبوب أسطواني ، حيث يريد المرء معدل تدفق الهواء كدالة لاختلاف الضغط في الجزأين. ما هي أبعاد Huntley الممتدة من لزوجة الهواء الموجودة في الأجزاء المتصلة؟ ما هي الأبعاد الممتدة لضغط الجزأين؟ هل هم النفس ام مختلفون؟ هذه الصعوبات مسؤولة عن التطبيق المحدود لأبعاد الطول الموجهة لهنتلي للمشاكل الحقيقية.

امتداد سيانو: التحليل التوجيهي [ عدل ]

تعتبر الزوايا ، وفقًا للاتفاقية ، كميات بلا أبعاد. كمثال ، ضع في اعتبارك مرة أخرى مشكلة القذيفة التي يتم فيها إطلاق كتلة نقطة من الأصل $(x ، y) = (0 ، 0)$ بسرعة $v$ وزاوية $θ$ أعلى المحور x ، مع توجيه قوة الجاذبية على طول المحور y السلبي . من المرغوب فيه إيجاد النطاق $R$ ، وعند هذه النقطة تعود الكتلة إلى المحور x . سوف ينتج عن التحليل التقليدي متغير أبعاد $π = R g / v 2$ ، ولكن العروض لا تبصر في العلاقة بين $R$ و $θ$ .

اقترح Siano ( 1985-I ، 1985-II ) استبدال الأبعاد الموجهة لـ Huntley باستخدام الرموز التوجيهية $1 x 1 y 1 z$ للإشارة إلى اتجاهات المتجهات ، ورمز عديم الاتجاه 1 ₀ . وهكذا ، يصبح Huntley's L _$x$ L1 _$x$ حيث تحدد L أبعاد الطول ، و $1 x$ تحدد الاتجاه. يوضح Siano كذلك أن الرموز التوجيهية لها جبر خاص بها. جنبًا إلى جنب مع شرط أن $1 i -1 = 1 i$ ، جدول الضرب التالي لنتائج رموز الاتجاه:

{\begin{array}{c|cccc}&\mathbf {1_{0}} &\mathbf {1_{\text{x}}} &\mathbf {1_{\text{y}}} &\mathbf {1_{\text{z}}} \\\hline \mathbf {1_{0}} &1_{0}&1_{\text{x}}&1_{\text{y}}&1_{\text{z}}\\\mathbf {1_{\text{x}}} &1_{\text{x}}&1_{0}&1_{\text{z}}&1_{\text{y}}\\\mathbf {1_{\text{y}}} &1_{\text{y}}&1_{\text{z}}&1_{0}&1_{\text{x}}\\\mathbf {1_{\text{z}}} &1_{\text{z}}&1_{\text{y}}&1_{\text{x}}&1_{0}\end{array}}

لاحظ أن الرموز التوجيهية تشكل مجموعة (مجموعة كلاين الأربعة أو "Viergruppe"). في هذا النظام ، يكون للعدادات دائمًا نفس اتجاه عنصر الهوية ، بغض النظر عن "تناظر المشكلة". الكميات الفيزيائية التي هي نواقل لها الاتجاه المتوقع: القوة أو السرعة في الاتجاه z لها اتجاه $1 z$ . بالنسبة للزوايا ، ضع في اعتبارك الزاوية $θ$ التي تقع في المستوى z. تشكيل مثلث قائم الزاوية في ض الطائرة مع $θ$ كونها واحدة من الزوايا الحادة. يكون اتجاه ضلع المثلث القائم المجاور للزاوية هو $1 x$ والضلع المقابل له اتجاهه $1 y$ . منذ (باستخدام $~$ للإشارة إلى التكافؤ التوجيهي) $tan (θ) = θ + ... ~ 1 y / 1 x$ نستنتج أن الزاوية في المستوى xy يجب أن يكون لها اتجاه $1 y / 1 x = 1 z$ ، وهو أمر غير معقول. قوات المنطق مماثلة الاستنتاج بأن $الخطيئة (θ)$ لديها التوجه $1 ض$ بينما $كوس (θ)$ لديها التوجه 1 ₀ . هذه هي مختلفة، لذلك يخلص واحد (صحيح)، على سبيل المثال، أنه لا توجد حلول المعادلات الفيزيائية التي لها شكل $و كوس (θ) + b sin (θ)$ ، حيث $a$ و $b$ عدّادات حقيقية. لاحظ أن تعبيرًا مثل لا يتعارض أبعاده لأنه حالة خاصة لصيغة مجموع الزوايا ويجب كتابته بشكل صحيح: $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$

\sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),

والتي ل و العوائد . يميز Siano بين الزوايا الهندسية ، التي لها اتجاه في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، وزوايا الطور المرتبطة بالتذبذبات المستندة إلى الوقت ، والتي ليس لها اتجاه مكاني ، أي اتجاه زاوية الطور . $a=\theta$ $b=\pi /2$ $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ $1_{0}$

يمكن في الواقع استخدام تعيين الرموز التوجيهية للكميات المادية واشتراط أن تكون المعادلات المادية متجانسة اتجاهياً بطريقة مشابهة لتحليل الأبعاد لاستخلاص المزيد من المعلومات حول الحلول المقبولة للمشاكل المادية. في هذا النهج ، يُنشئ المرء معادلة الأبعاد ويحلها بقدر الإمكان. إذا كانت أقل قوة لمتغير مادي كسرية ، يتم رفع كلا طرفي الحل إلى قوة بحيث تكون كل القوى متكاملة. هذا يضعها في "شكل عادي". يتم بعد ذلك حل المعادلة التوجيهية لإعطاء شرط أكثر تقييدًا للقوى المجهولة للرموز التوجيهية ، للوصول إلى حل أكثر اكتمالاً من الحل الذي يقدمه تحليل الأبعاد وحده.غالبًا ما تكون المعلومات المضافة هي أن إحدى قوى متغير معين زوجية أو فردية.

كمثال ، بالنسبة لمشكلة المقذوفات ، باستخدام الرموز التوجيهية ، $θ$ ، فإن التواجد في المستوى xy سيكون له بعد $1 z$ وسيكون نطاق المقذوف $R$ بالشكل:

R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,

سوف ينتج الآن تجانس الأبعاد بشكل صحيح $a = =1$ و $b = 2$ ، والتجانس التوجيهي يتطلب ذلك . بمعنى آخر ، يجب أن يكون هذا $c$ عددًا صحيحًا فرديًا. في الواقع ، ستكون الوظيفة المطلوبة لثيتا هي $الخطيئة ($ $θ$ $) cos ($ $θ$ $)$ وهي سلسلة تتكون من قوى فردية لـ $θ$ . $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$

يتضح أن سلسلة تايلور من $الخطيئة (θ)$ و $جتا (θ)$ متجانسة orientationally باستخدام جدول الضرب المذكور أعلاه، في حين أن عبارات مثل $كوس (θ) + خطيئة (θ)$ و $إكسب (θ)$ ليست كذلك، وهي (بشكل صحيح ) تعتبر غير جسدية.

يتوافق تحليل Siano التوجيهي مع المفهوم التقليدي للكميات الزاويّة باعتبارها بلا أبعاد ، وضمن التحليل التوجيهي ، يمكن اعتبار الراديان وحدة بلا أبعاد. يتم إجراء التحليل التوجيهي لمعادلة الكمية بشكل منفصل عن التحليل البعدي العادي ، مما ينتج عنه معلومات تكمل التحليل البعدي.

مفاهيم بلا أبعاد [ عدل ]

الثوابت [ عدل ]

الثوابت غير ذات الأبعاد التي تظهر في النتائج التي تم الحصول عليها ، مثل C في مشكلة قانون Poiseuille والمشكلات الربيعية التي نوقشت أعلاه ، تأتي من تحليل أكثر تفصيلاً للفيزياء الأساسية وغالبًا ما تنشأ من دمج بعض المعادلات التفاضلية. ليس لتحليل الأبعاد بحد ذاته سوى القليل ليقوله عن هذه الثوابت ، ولكن من المفيد معرفة أنه غالبًا ما يكون لها حجم من وحدة النظام. يمكن أن تسمح هذه الملاحظة للفرد في بعض الأحيان بإجراء حسابات " ظهر الظرف " حول ظاهرة الاهتمام ، وبالتالي يكون قادرًا على تصميم تجارب أكثر كفاءة لقياسها ، أو الحكم على ما إذا كانت مهمة ، وما إلى ذلك. $\kappa$

الشكليات [ عدل ]

ومن المفارقات أن تحليل الأبعاد يمكن أن يكون أداة مفيدة حتى لو كانت جميع المعلمات في النظرية الأساسية بلا أبعاد ، على سبيل المثال ، يمكن استخدام النماذج الشبكية مثل نموذج Ising لدراسة انتقالات الطور والظواهر الحرجة. يمكن صياغة مثل هذه النماذج بطريقة بلا أبعاد بحتة. عندما نقترب من النقطة الحرجة أقرب وأقرب ، تصبح المسافة التي ترتبط بها المتغيرات في نموذج الشبكة (ما يسمى بطول الارتباط ) أكبر وأكبر. الآن ، طول الارتباط هو مقياس الطول ذي الصلة المتعلق بالظواهر الحرجة ، لذلك يمكن للمرء ، على سبيل المثال ، التكهن على "أسس الأبعاد" أن الجزء غير التحليلي من الطاقة المجانية لكل موقع شبكي يجب أن يكون حيث هو بُعد الشبكة. $\xi$ $\sim 1/\xi ^{d}$ $d$

لقد جادل بعض الفيزيائيين ، على سبيل المثال ، إم جي داف ، ^[20]^[23] بأن قوانين الفيزياء بطبيعتها بلا أبعاد. حقيقة أننا خصصنا أبعادًا غير متوافقة مع الطول والوقت والكتلة ، وفقًا لوجهة النظر هذه ، هي مجرد مسألة تقليد ، وتثبت من حقيقة أنه قبل ظهور الفيزياء الحديثة ، لم تكن هناك طريقة لربط الكتلة ، الطول والوقت لبعضهم البعض. الثوابت dimensionful مستقلة ثلاثة: ج ، ħ ، و G ، في ثم يجب أن ينظر إلى المعادلات الأساسية للفيزياء كعوامل تحويل مجرد لتحويل كتلة والوقت وطول في بعضها البعض.

تمامًا كما في حالة الخصائص الحرجة لنماذج الشبكة ، يمكن للمرء استرداد نتائج التحليل البعدي في حد القياس المناسب ؛ على سبيل المثال، تحليل الأبعاد في الميكانيكا يمكن أن تستمد من إعادة إدراج الثوابت ħ ، ج ، و G (ولكن يمكن أن نعتبر الآن لها أن تكون أبعاد) وتطالب علاقة nonsingular بين كميات موجود في الحد ، و . في المسائل التي تنطوي على مجال الجاذبية ، يجب أن يؤخذ الحد الأخير بحيث يظل المجال محدودًا. $c\rightarrow \infty$ $\hbar \rightarrow 0$ $G\rightarrow 0$

معادلات الأبعاد [ عدل ]

فيما يلي جداول للتعبيرات الشائعة في الفيزياء ، والمتعلقة بأبعاد الطاقة ، والزخم ، والقوة. ^[24]^[25]^[26]

وحدات النظام الدولي [ عدل ]

الطاقة ، إي ML ² T ⁻²	تعبير	التسمية
ميكانيكي	$Fd$	F = القوة ، د = المسافة
	$S/t\equiv Pt$	S = الإجراء ، t = الوقت ، P = الطاقة
	$mv^{2}\equiv pv\equiv p^{2}/m$	م = الكتلة ، v = السرعة ، ع = الزخم
	$I\omega ^{2}\equiv L\omega \equiv L^{2}/I$	L = الزخم الزاوي ، أنا = لحظة القصور الذاتي ، ω = السرعة الزاوية
الغازات المثالية	$pV\equiv NT$	p = الضغط ، الحجم ، T = درجة الحرارة N = كمية المادة
أمواج	$IAt\equiv SAt$	أنا = شدة الموجة ، S = ناقل بوينتينج
الكهرومغناطيسي	$q\phi$	q = الشحنة الكهربائية ، ϕ = الجهد الكهربائي (للتغييرات ، هذا هو الجهد )
	$\varepsilon E^{2}V\equiv B^{2}V/\mu$	E = المجال الكهربائي ، B = المجال المغناطيسي ، ε = السماحية ، μ = النفاذية ، V = الحجم ثلاثي الأبعاد
	$pE\equiv mB\equiv IAB$	ع = عزم ثنائي القطب الكهربائي ، م = عزم مغناطيسي ، أ = منطقة (يحدها حلقة تيار) ، أنا = تيار كهربائي في حلقة

الزخم ، ص MLT ⁻¹	تعبير	التسمية
ميكانيكي	$mv\equiv Ft$	m = الكتلة ، v = السرعة ، F = القوة ، t = الوقت
ميكانيكي	$S/r\equiv L/r$	S = فعل ، L = زخم زاوي ، ص = إزاحة
حراري	$m{\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}$	${\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}$ = جذر متوسط السرعة التربيعية ، م = كتلة (جزيء)
أمواج	$\rho Vv$	ρ = الكثافة ، V = الحجم ، v = سرعة الطور
الكهرومغناطيسي	$qA$	أ = جهد متجه مغناطيسي

القوة ، ف MLT ⁻²	تعبير	التسمية
ميكانيكي	$ma\equiv p/t$	م = الكتلة ، أ = التسارع
حراري	$T\delta S/\delta r$	S = الانتروبيا ، T = درجة الحرارة ، r = الإزاحة (انظر القوة الحتمية )
الكهرومغناطيسي	$Eq\equiv Bqv$	E = المجال الكهربائي ، B = المجال المغناطيسي ، v = السرعة ، q = الشحنة

الوحدات الطبيعية [ عدل ]

إذا ج = ħ = 1 ، حيث ج هي سرعة الضوء و ħ هي انخفاض ثابت بلانك ، ويتم اختيار وحدة ثابتة مناسبة للطاقة، ثم كل كميات من طول L ، كتلة M والوقت T يمكن التعبير (الأبعاد) كقوة للطاقة E ، لأنه يمكن التعبير عن الطول والكتلة والوقت باستخدام السرعة v والإجراء S والطاقة E : ^[26]

M={\frac {E}{v^{2}}},\quad L={\frac {Sv}{E}},\quad t={\frac {S}{E}}

على الرغم من أن السرعة والعمل بلا أبعاد ( v = c = 1 و S = ħ = 1 ) - لذا فإن الكمية الوحيدة المتبقية ذات البعد هي الطاقة. من حيث قوى الأبعاد:

{\mathsf {E}}^{n}={\mathsf {M}}^{p}{\mathsf {L}}^{q}{\mathsf {T}}^{r}={\mathsf {E}}^{p-q-r}

هذا مفيد بشكل خاص في فيزياء الجسيمات وفيزياء الطاقة العالية ، وفي هذه الحالة تكون وحدة الطاقة هي الإلكترون فولت (eV). أصبحت عمليات التحقق من الأبعاد والتقديرات بسيطة للغاية في هذا النظام.

ومع ذلك ، إذا كانت الشحنات والتيارات الكهربائية متضمنة ، فإن وحدة أخرى يجب إصلاحها هي الشحنة الكهربائية ، عادةً شحنة الإلكترون e على الرغم من وجود خيارات أخرى ممكنة.

كمية	p ، q ، r قوى الطاقة			ن قوة الطاقة
كمية	ص	ف	ص	ن
أكشن ، إس	1	2	−1	0
السرعة ، v	0	1	−1	0
الكتلة ، م	1	0	0	1
الطول ، L.	0	1	0	−1
الوقت ، ر	0	0	1	−1
الزخم ، ص	1	1	−1	1
الطاقة ، إي	1	2	−2	1

انظر أيضا [ تحرير ]

نظرية باكنغهام
أعداد بلا أبعاد في ميكانيكا الموائع
تقدير فيرمي - يستخدم لتعليم تحليل الأبعاد
طريقة رايلي لتحليل الأبعاد
Similitude (نموذج) - تطبيق لتحليل الأبعاد
نظام القياس

المجالات ذات الصلة بالرياضيات [ عدل ]

التباين والتباين في النواقل
الجبر الخارجي
الجبر الهندسي
حساب الكمية

لغات البرمجة [ عدل ]

تمت دراسة صحة الأبعاد كجزء من فحص النوع منذ عام 1977. ^{[27] تم وصف} تطبيقات Ada ^[28] و C ++ ^[29] في عامي 1985 و 1988. تصف أطروحة كينيدي لعام 1996 تطبيقًا في معيار ML ، ^[30] ولاحقًا في و # . ^[31] هناك تطبيقات لـ Haskell ، ^[32] OCaml ، ^[33] و Rust ، ^[34] Python ، ^[35] ومدقق رمز لـ Fortran . ^[36]
أطروحة جريفيون لعام 2019 مددت أطروحة كينيدينظام نوع Hindley – Milner لدعم مصفوفات هارت. ^[37]^[38]

ملاحظات [ تحرير ]

^ غولدبرغ ، ديفيد (2006). أساسيات الكيمياء (الطبعة الخامسة). ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-322104-5.
^ أوغدن ، جيمس (1999). كتيب الهندسة الكيميائية . جمعية البحث والتعليم. رقم ISBN 978-0-87891-982-6.
^ "تحليل الأبعاد أو طريقة تسمية العامل" . صفحة كيمياء السيد كينت .
^ فورييه ، جوزيف (1822) ، Theorie analytique de la chaleur (بالفرنسية) ، باريس: فيرمين ديدوت
^ JCGM 200 (2012). المفردات الدولية للمترولوجيا - المفاهيم الأساسية والعامة والمصطلحات المرتبطة (VIM) (PDF) (الطبعة الثالثة). مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 23 سبتمبر 2015 . تم الاسترجاع 2 يونيو 2015 .
^ سيمبالا ، جون ؛ جنجل ، يونس (2006). "§7-2 تجانس الأبعاد" . أساسيات ميكانيكا الموائع: الأساسيات والتطبيقات . ماكجرو هيل. ص. 203 -. رقم ISBN 9780073138350.
^ دي يونج ، فريتس جيه ؛ كواد ، فيلهلم (1967). تحليل الأبعاد للاقتصاديين . شمال هولندا. ص. 28 .
^ وايت ، لي. جيد ، جيري (2007). ميكانيكا الموائع الحيوية التطبيقية . نيويورك: ماكجرو هيل. ص. 260 . رقم ISBN 978-0-07-147217-3.
^ ماكاغنو ، إنزو أو. (1971). "مراجعة تاريخية نقدية لتحليل الأبعاد". مجلة معهد فرانكلين . 292 (6): 391-40. دوى : 10.1016 / 0016-0032 (71) 90160-8 .
^ أ ب مارتينز ، روبرتو دي أ. (1981). "أصل تحليل الأبعاد". مجلة معهد فرانكلين . 311 (5): 331-7. دوى : 10.1016 / 0016-0032 (81) 90475-0 .
^ مارتينز ، ص 403 في كتاب الوقائع الذي يحتوي على مقالته
^ ميسون ، ستيفن فيني (1962) ، تاريخ العلوم ، New York: Collier Books ، p. 169 ، ردمك 978-0-02-093400-4
^ روش ، جون جيه (1998) ، رياضيات القياس: تاريخ نقدي ، سبرينغر ، ص. 203 ، ردمك 978-0-387-91581-4، بدءًا من ماكسويل على ما يبدو ، بدأ تفسير الكتلة والطول والوقت على أنها ذات طابع أساسي مميز وجميع الكميات الأخرى على أنها مشتقة ، ليس فقط فيما يتعلق بالقياس ، ولكن فيما يتعلق بوضعهم المادي أيضًا.
^ ماكسويل ، جيمس كليرك (1873) ، رسالة في الكهرباء والمغناطيسية ، ص. 4
^ ماكسويل ، جيمس كليرك (1873) ، رسالة في الكهرباء والمغناطيسية ، أكسفورد ، ص. 45 ، hdl : 2027 / uc1.l0065867749
^ Rayleigh ، Baron John William Strutt (1877) ، نظرية الصوت ، ماكميلان
^ فورييه (1822) ، ص. 156 .
^ ماكسويل ، جيمس كليرك (1873) ، رسالة في الكهرباء والمغناطيسية ، المجلد الأول ، ص. 5
^ "كتيب SI (الإصدار الثامن). القسم 1.3: أبعاد الكميات" . BIPM . تم الاسترجاع 8 أغسطس 2013 .
^ أ ب داف ، إم جي ؛ Okun ، LB ؛ فينيزيانو، G. (سبتمبر 2002)، "الحوار الثلاثي على عدد من الثوابت الأساسية"، مجلة الطاقة العالية فيزياء ، 2002 (3): 023، أرخايف : الفيزياء / 0110060 ، بيب كود : 2002JHEP ... 03..023D ، دوى : 10.1088 / 1126-6708 / 2002/03/023 ، S2CID 15806354
^ لمراجعة الاتفاقيات المختلفة المستخدمة ، انظر: Pisanty ، E (17 سبتمبر 2013). "تدوين القوس المربع للأبعاد والوحدات: الاستخدام والاتفاقيات" . تبادل مكدس الفيزياء . تم الاسترجاع 15 يوليو 2014 .
^ رامزي ، انجوس. "التحليل البعدي والتجارب العددية للقرص الدوار" . رامزي ماندر أسوشيتس . تم الاسترجاع 15 أبريل 2017 .
^ داف ، إم جي (يوليو 2004). "التعليق على التباين الزمني للثوابت الأساسية". arXiv : hep-th / 0208093v3 .
^ Woan ، G. (2010) ، دليل كامبردج للصيغ الفيزيائية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-57507-2
^ موسكا ، جين. تيبلر ، بول ألين (2007) ، فيزياء للعلماء والمهندسين - مع الفيزياء الحديثة (الطبعة السادسة) ، سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان ، ISBN 978-0-7167-8964-2
^ أ ب مارتن ، بي آر ؛ شو ، جي ؛ فيزياء مانشستر (2008) ، فيزياء الجسيمات (الطبعة الثانية) ، وايلي ، ISBN 978-0-470-03294-7
^ جيهاني ، ن. (1977). "وحدات القياس كسمة بيانات". حاسوب. لانج . 2 (3): 93-111. دوى : 10.1016 / 0096-0551 (77) 90010-8 .
^ جيهاني ، ن. (يونيو 1985). "أنواع ووحدات القياس المشتقة من Ada". سوفتو. الممارسة. جرب . 15 (6): 555-569. دوى : 10.1002 / spe.4380150604 . S2CID 40558757 .
^ Cmelik ، RF ؛ جيهاني ، نيو هامبشاير (مايو 1988). "تحليل الأبعاد باستخدام C ++". برنامج IEEE . 5 (3): 21-27. دوى : 10.1109 / 52.2021 . S2CID 22450087 .
^ كينيدي ، أندرو ج. (أبريل 1996). لغات البرمجة وأبعادها (دكتوراه). 391 . جامعة كامبريدج. ISSN 1476-2986 . UCAM-CL-TR-391.
^ كينيدي ، أ. (2010). "أنواع وحدات القياس: النظرية والتطبيق". في Horváth ، Z. ؛ بلاسمير ، ر. زسوك ، ف. (محرران). مدرسة البرمجة الوظيفية لأوروبا الوسطى. CEFP 2009 . مذكرات محاضرة في علوم الكمبيوتر. 6299 . سبرينغر. ص 268-305. سيتسيركس 10.1.1.174.6901 . دوى : 10.1007 / 978-3-642-17685-2_8 . رقم ISBN 978-3-642-17684-5.
^ جندري ، آدم (ديسمبر 2015). "مكون إضافي لمدقق الكتابة لوحدات القياس: حل قيود خاصة بالمجال في GHC Haskell" (PDF) . SIGPLAN لا . 50 (12): 11-22. دوى : 10.1145 / 2887747.2804305 .
^ جاريج ، ياء ؛ لي ، د. (2017). "Des unités dans le typeur" (PDF) . 28ièmes Journées Francophones des Langaeges Applicatifs ، يناير 2017 ، جوريت ، فرنسا (بالفرنسية). هال - 01503084.
^ تيلر ، ديفيد (يناير 2020). "وحدات القياس في الصدأ بأنواع الصقل" .
^ بيرنز ، ستيف. "الوحدات العددية (مكتبة بايثون)" .
^ "CamFort: حدد رمز Fortran وتحقق منه وأعد بناءه" . جامعة كامبريدج؛ جامعة كنت. 2018.
^ هارت 1995
^ Griffioen ، P. (2019). لغة مصفوفة واعية للوحدة وتطبيقها في المراقبة والتدقيق (PDF) (رسالة). جامعة أمستردام. hdl : 11245.1 / fd7be191-700f-4468-a329-4c8ecd9007ba .

المراجع [ عدل ]

Barenblatt ، GI (1996) ، التحجيم والتشابه الذاتي والمقاربات الوسيطة ، كامبريدج ، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-43522-2
بهاسكار ، ر. نيغام ، أنيل (1990) ، "الفيزياء النوعية باستخدام التحليل البعدي " ، الذكاء الاصطناعي ، 45 (1-2): 73-111 ، دوى : 10.1016 / 0004-3702 (90) 90038-2
بهاسكار ، ر. نيجام، أنيل (1991)، "تفسيرات النوعية من تشكيل الأحمر العملاق"، مجلة الفيزياء الفلكية ، 372 : 592-6، بيب كود : 1991ApJ ... 372..592B ، دوى : 10.1086 / 170003
باوتشر ألفيس (1960) ، "أرقام بلا أبعاد" ، تقدم الهندسة الكيميائية ، 55 : 55-64
Bridgman ، PW (1922) ، التحليل البعدي ، مطبعة جامعة ييل ، ISBN 978-0-548-91029-0
باكنغهام، ادغار (1914)، "على أنظمة جسديا مماثلة: الرسوم التوضيحية للاستخدام تحليل الأبعاد" ، الاستعراض الجسدي ، 4 (4): 345-376، بيب كود : 1914PhRv .... 4..345B ، دوى : 10.1103 / PhysRev.4.345 ، HDL : 10338.dmlcz / 101743
دروبوت ، س. (1953-1954) ، "على أسس تحليل الأبعاد" (PDF) ، دراسة الرياضيات ، 14 : 84-99 ، دوى : 10.4064 / sm-14-1-84-99
جيبينغز ، جي سي (2011) ، التحليل البعدي ، سبرينغر ، ISBN 978-1-84996-316-9
هارت ، جورج دبليو (1994) ، "نظرية المصفوفات ذات الأبعاد" ، في لويس ، جون ج. (محرر) ، وقائع مؤتمر SIAM الخامس حول الجبر الخطي التطبيقي ، SIAM ، ص 186 - 190 ، ISBN 978-0-89871-336-7كما حاشية
هارت ، جورج دبليو (1995) ، التحليل متعدد الأبعاد: الجبر وأنظمة العلوم والهندسة ، Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-94417-3
هنتلي ، HE (1967) ، تحليل الأبعاد ، دوفر ، LOC 67-17978
Klinkenberg ، A. (1955) ، "أنظمة الأبعاد وأنظمة الوحدات في الفيزياء مع إشارة خاصة إلى الهندسة الكيميائية: الجزء الأول. المبادئ التي يتم على أساسها بناء أنظمة وأنظمة وحدات الأبعاد" ، علوم الهندسة الكيميائية ، 4 (3) : 130–140 ، 167–177 ، دوى : 10.1016 / 0009-2509 (55) 80004-8
لانجار ، هنري ل. (1951) ، تحليل الأبعاد ونظرية النماذج ، وايلي ، ISBN 978-0-88275-682-0
منديز ، بي إف ؛ أوردونيز، F. (سبتمبر 2005)، "تحجيم القوانين من البيانات الإحصائية وتحليل الأبعاد"، مجلة الميكانيكا التطبيقية ، 72 (5): 648-657، بيب كود : 2005JAM .... 72..648M ، CiteSeerX 10.1.1.422 .610 ، دوى : 10.1115 / 1.1943434
مودي ، إل إف (1944) ، "عوامل الاحتكاك لتدفق الأنابيب" ، معاملات الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين ، 66 (671)
مورفي ، إن إف (1949) ، "تحليل الأبعاد" ، نشرة معهد فيرجينيا للفنون التطبيقية ، 42 (6)
بيري ، ج. وآخرون. (1944) ، "النظام القياسي للتسمية لعمليات وحدة الهندسة الكيميائية" ، معاملات المعهد الأمريكي للمهندسين الكيميائيين ، 40 (251)
بيسيتش ، بيتر (2005) ، Sky in a Bottle ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، ص 227-8 ، ISBN 978-0-262-16234-0
Petty ، GW (2001) ، "الحساب الآلي وفحص التناسق للأبعاد والوحدات المادية في البرامج العلمية" ، البرمجيات - الممارسة والخبرة ، 31 (11): 1067–76 ، دوى : 10.1002 / spe.401 ، S2CID 206506776
بورتر ، ألفريد دبليو (1933) ، طريقة الأبعاد (الطبعة الثالثة) ، ميثوين
JW سترات (3 البارون رايلي) (1915)، "مبدأ التشابه"، الطبيعة ، 95 (2368): 66-8، بيب كود : 1915Natur..95 ... 66R ، دوى : 10.1038 / 095066c0
Siano، Donald (1985)، "Orientational Analysis - A Supplement to Dimensional Analysis - I"، Journal of the Franklin Institute ، 320 (6): 267-283، doi : 10.1016 / 0016-0032 (85) 90031-6
Siano ، Donald (1985) ، "Orientational Analysis ، Tensor Analysis and The Group Properties of the SI Supplementary Units - II" ، مجلة معهد فرانكلين ، 320 (6): 285-302 ، دوى : 10.1016 / 0016-0032 (85 ) 90032-8
Silberberg، IH ؛ ماكيتا ، جي جي جونيور (1953) ، "تعلم كيفية استخدام التحليل البعدي" ، مصفاة البترول ، 32 (4): 5، (5): 147 ، (6): 101 ، (7): 129
فان دريست ، ER (مارس 1946) ، "حول تحليل الأبعاد وعرض البيانات في مشاكل تدفق السوائل" ، مجلة الميكانيكا التطبيقية ، 68 (أ - 34)
ويتني ، هـ. (1968) ، "رياضيات الكميات الفيزيائية ، الجزأين الأول والثاني" ، الأمريكية الرياضية الشهرية ، 75 (2): 115-138 ، 227-256 ، دوى : 10.2307 / 2315883 ، JSTOR 2315883
Vignaux ، GA (1992) ، Erickson ، Gary J. ؛ Neudorfer ، Paul O. (محرران) ، تحليل الأبعاد في نمذجة البيانات ، كلوير أكاديمي ، ISBN 978-0-7923-2031-9
Kasprzak ، Wacław ؛ ليسيك ، بيرتولد ؛ Rybaczuk ، Marek (1990) ، تحليل الأبعاد في تحديد النماذج الرياضية ، العالم العلمي ، ISBN 978-981-02-0304-7

روابط خارجية [ تحرير ]

قائمة أبعاد الكميات الفيزيائية المتنوعة
حاسبة الويب Unicalc Live تقوم بتحويل الوحدات عن طريق التحليل البعدي
تطبيق C ++ لتحليل أبعاد وقت الترجمة في مكتبات Boost مفتوحة المصدر
نظرية باي باكنغهام
حاسبة نظام الكمية لتحويل الوحدات على أساس نهج الأبعاد
الوحدات والكميات والثوابت الأساسية مشروع خرائط تحليل الأبعاد
بولي ، روجر (2009). "[] تحليل الأبعاد" . ستون رموز . برادي هاران من جامعة نوتنغهام .
دوريسيكس ، ديفيد (2019). مقدمة في التحليل البعدي (محاضرة). INSA ليون.

وحدات التحويل [ عدل ]

حاسبة الويب Unicalc Live تقوم بتحويل الوحدات عن طريق التحليل البعدي
مراجعة مهارات الرياضيات
البرنامج التعليمي لوكالة حماية البيئة الأمريكية
مناقشة الوحدات
دليل قصير لتحويلات الوحدات
إلغاء درس الوحدات
الفصل 11: سلوك كيمياء الغازات : المفاهيم والتطبيقات ، منطقة مدرسة دينتون المستقلة
تحويلات وصيغ نمذجة تشتت الهواء
www.gnu.org/software/units برنامج مجاني عملي جدا

[1] غولدبرغ ، ديفيد (2006). أساسيات الكيمياء (الطبعة الخامسة). ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-322104-5.

[2] أوغدن ، جيمس (1999). كتيب الهندسة الكيميائية . جمعية البحث والتعليم. رقم ISBN 978-0-87891-982-6.

[3] "تحليل الأبعاد أو طريقة تسمية العامل" . صفحة كيمياء السيد كينت .

[4] فورييه ، جوزيف (1822) ، Theorie analytique de la chaleur (بالفرنسية) ، باريس: فيرمين ديدوت

[5] JCGM 200 (2012). المفردات الدولية للمترولوجيا - المفاهيم الأساسية والعامة والمصطلحات المرتبطة (VIM) (PDF) (الطبعة الثالثة). مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 23 سبتمبر 2015 . تم الاسترجاع 2 يونيو 2015 .

[6] سيمبالا ، جون ؛ جنجل ، يونس (2006). "§7-2 تجانس الأبعاد" . أساسيات ميكانيكا الموائع: الأساسيات والتطبيقات . ماكجرو هيل. ص. 203 -. رقم ISBN 9780073138350.

[7] دي يونج ، فريتس جيه ؛ كواد ، فيلهلم (1967). تحليل الأبعاد للاقتصاديين . شمال هولندا. ص. 28 .

[8] وايت ، لي. جيد ، جيري (2007). ميكانيكا الموائع الحيوية التطبيقية . نيويورك: ماكجرو هيل. ص. 260 . رقم ISBN 978-0-07-147217-3.

[9] ماكاغنو ، إنزو أو. (1971). "مراجعة تاريخية نقدية لتحليل الأبعاد". مجلة معهد فرانكلين . 292 (6): 391-40. دوى : 10.1016 / 0016-0032 (71) 90160-8 .

[Martins_1981-10] أ ب مارتينز ، روبرتو دي أ. (1981). "أصل تحليل الأبعاد". مجلة معهد فرانكلين . 311 (5): 331-7. دوى : 10.1016 / 0016-0032 (81) 90475-0 .

[11] مارتينز ، ص 403 في كتاب الوقائع الذي يحتوي على مقالته

[12] ميسون ، ستيفن فيني (1962) ، تاريخ العلوم ، New York: Collier Books ، p. 169 ، ردمك 978-0-02-093400-4

[maxwell-13] روش ، جون جيه (1998) ، رياضيات القياس: تاريخ نقدي ، سبرينغر ، ص. 203 ، ردمك 978-0-387-91581-4، بدءًا من ماكسويل على ما يبدو ، بدأ تفسير الكتلة والطول والوقت على أنها ذات طابع أساسي مميز وجميع الكميات الأخرى على أنها مشتقة ، ليس فقط فيما يتعلق بالقياس ، ولكن فيما يتعلق بوضعهم المادي أيضًا.

[maxwell2-14] ماكسويل ، جيمس كليرك (1873) ، رسالة في الكهرباء والمغناطيسية ، ص. 4

[maxwell3-15] ماكسويل ، جيمس كليرك (1873) ، رسالة في الكهرباء والمغناطيسية ، أكسفورد ، ص. 45 ، hdl : 2027 / uc1.l0065867749

[16] Rayleigh ، Baron John William Strutt (1877) ، نظرية الصوت ، ماكميلان

[FOOTNOTEFourier1822[httpsbooksgooglecomidTDQJAAAAIAAJpgPA156_156]-17] فورييه (1822) ، ص. 156 .

[maxwell4-18] ماكسويل ، جيمس كليرك (1873) ، رسالة في الكهرباء والمغناطيسية ، المجلد الأول ، ص. 5

[19] "كتيب SI (الإصدار الثامن). القسم 1.3: أبعاد الكميات" . BIPM . تم الاسترجاع 8 أغسطس 2013 .

[duff-20] أ ب داف ، إم جي ؛ Okun ، LB ؛ فينيزيانو، G. (سبتمبر 2002)، "الحوار الثلاثي على عدد من الثوابت الأساسية"، مجلة الطاقة العالية فيزياء ، 2002 (3): 023، أرخايف : الفيزياء / 0110060 ، بيب كود : 2002JHEP ... 03..023D ، دوى : 10.1088 / 1126-6708 / 2002/03/023 ، S2CID 15806354

[Pisanty13-21] لمراجعة الاتفاقيات المختلفة المستخدمة ، انظر: Pisanty ، E (17 سبتمبر 2013). "تدوين القوس المربع للأبعاد والوحدات: الاستخدام والاتفاقيات" . تبادل مكدس الفيزياء . تم الاسترجاع 15 يوليو 2014 .

[22] رامزي ، انجوس. "التحليل البعدي والتجارب العددية للقرص الدوار" . رامزي ماندر أسوشيتس . تم الاسترجاع 15 أبريل 2017 .

[23] داف ، إم جي (يوليو 2004). "التعليق على التباين الزمني للثوابت الأساسية". arXiv : hep-th / 0208093v3 .

[24] Woan ، G. (2010) ، دليل كامبردج للصيغ الفيزيائية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-57507-2

[25] موسكا ، جين. تيبلر ، بول ألين (2007) ، فيزياء للعلماء والمهندسين - مع الفيزياء الحديثة (الطبعة السادسة) ، سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان ، ISBN 978-0-7167-8964-2

[Martin08-26] أ ب مارتن ، بي آر ؛ شو ، جي ؛ فيزياء مانشستر (2008) ، فيزياء الجسيمات (الطبعة الثانية) ، وايلي ، ISBN 978-0-470-03294-7

[27] جيهاني ، ن. (1977). "وحدات القياس كسمة بيانات". حاسوب. لانج . 2 (3): 93-111. دوى : 10.1016 / 0096-0551 (77) 90010-8 .

[28] جيهاني ، ن. (يونيو 1985). "أنواع ووحدات القياس المشتقة من Ada". سوفتو. الممارسة. جرب . 15 (6): 555-569. دوى : 10.1002 / spe.4380150604 . S2CID 40558757 .

[29] Cmelik ، RF ؛ جيهاني ، نيو هامبشاير (مايو 1988). "تحليل الأبعاد باستخدام C ++". برنامج IEEE . 5 (3): 21-27. دوى : 10.1109 / 52.2021 . S2CID 22450087 .

[30] كينيدي ، أندرو ج. (أبريل 1996). لغات البرمجة وأبعادها (دكتوراه). 391 . جامعة كامبريدج. ISSN 1476-2986 . UCAM-CL-TR-391.

[31] كينيدي ، أ. (2010). "أنواع وحدات القياس: النظرية والتطبيق". في Horváth ، Z. ؛ بلاسمير ، ر. زسوك ، ف. (محرران). مدرسة البرمجة الوظيفية لأوروبا الوسطى. CEFP 2009 . مذكرات محاضرة في علوم الكمبيوتر. 6299 . سبرينغر. ص 268-305. سيتسيركس 10.1.1.174.6901 . دوى : 10.1007 / 978-3-642-17685-2_8 . رقم ISBN 978-3-642-17684-5.

[32] جندري ، آدم (ديسمبر 2015). "مكون إضافي لمدقق الكتابة لوحدات القياس: حل قيود خاصة بالمجال في GHC Haskell" (PDF) . SIGPLAN لا . 50 (12): 11-22. دوى : 10.1145 / 2887747.2804305 .

[33] جاريج ، ياء ؛ لي ، د. (2017). "Des unités dans le typeur" (PDF) . 28ièmes Journées Francophones des Langaeges Applicatifs ، يناير 2017 ، جوريت ، فرنسا (بالفرنسية). هال - 01503084.

[34] تيلر ، ديفيد (يناير 2020). "وحدات القياس في الصدأ بأنواع الصقل" .

[35] بيرنز ، ستيف. "الوحدات العددية (مكتبة بايثون)" .

[36] "CamFort: حدد رمز Fortran وتحقق منه وأعد بناءه" . جامعة كامبريدج؛ جامعة كنت. 2018.

[37] هارت 1995

[38] Griffioen ، P. (2019). لغة مصفوفة واعية للوحدة وتطبيقها في المراقبة والتدقيق (PDF) (رسالة). جامعة أمستردام. hdl : 11245.1 / fd7be191-700f-4468-a329-4c8ecd9007ba .

[1]

[2]

[3]

[4]