اللامركزية (الرياضيات)

جميع أنواع المقاطع المخروطية مرتبة حسب اللامركزية المتزايدة. لاحظ أن الانحناء يتناقص مع الانحراف ، ولا يتقاطع أي من هذه المنحنيات.

في الرياضيات ، و الانحراف من قطع مخروطي هو العدد الحقيقي غير السلبية التي تميز فريد شكله.

يتشابه قسمان مخروطيان بشكل أكثر رسميًا إذا وفقط إذا كان لديهم نفس الانحراف.

يمكن للمرء أن يفكر في اللامركزية كمقياس لمدى انحراف القسم المخروطي عن كونه دائريًا. خاصه:

• الانحراف اللامركزي في الدائرة يساوي صفرًا .
• الانحراف اللامركزي للقطع الناقص الذي ليس دائرة أكبر من الصفر ولكن أقل من 1.
• الانحراف اللامركزي للقطع المكافئ هو 1.
• الانحراف اللامركزي للقطع الزائد أكبر من 1.

التعريفات [ عدل ]

مقطع مستوي من مخروط

يمكن تعريف أي مقطع مخروطي على أنه موضع النقاط التي تكون مسافاتها إلى نقطة (التركيز) والخط (الدليل) في نسبة ثابتة. هذه النسبة تسمى الانحراف ، ويشار إليها عادة بـ e .

يمكن أيضًا تعريف الانحراف من حيث تقاطع المستوى والمخروط المزدوج المرتبط بالقسم المخروطي. إذا كان المخروط موجهًا بمحوره رأسيًا ، يكون الانحراف ^[1]

${\ displaystyle e = {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha}}، \ 0 <\ alpha <90 ^ {\ circ}، \ 0 \ leq \ beta \ leq 90 ^ {\ circ} \،}$

حيث β هي الزاوية بين المستوى والأفقي و α هي الزاوية بين المولد المائل للمخروط والأفقي. ل قسم الطائرة عبارة عن دائرة، ل قطع مكافئ. (يجب ألا يلتقي المستوى برأس المخروط).${\ displaystyle \ beta = 0}$${\ displaystyle \ beta = \ alpha}$

و الانحراف خطية من القطع الناقص أو القطع الزائد، تدل ج (أو في بعض الأحيان و أو ه )، هي المسافة بين مركزها وإما من اثنين في البؤر . يمكن تعريف الانحراف المركزي على أنه نسبة الانحراف الخطي إلى المحور شبه الرئيسي أ : (بدون مركز ، لم يتم تحديد الانحراف الخطي للقطوع المكافئة). ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$

الأسماء البديلة [ عدل ]

ويطلق على الانحراف أحيانا الانحراف الأول لتمييزه عن الانحراف الثاني و الانحراف الثالث المحدد للالحذف (انظر أدناه). يُطلق على الانحراف أيضًا أحيانًا اسم الانحراف العددي .

في حالة القطوع الناقصة والقطع الزائد ، يُطلق على الانحراف الخطي أحيانًا اسم الفصل نصف البؤري .

تدوين [ تحرير ]

هناك ثلاث اصطلاحات ترميزية شائعة الاستخدام:

1. ه للانحراف المركزي و ج للانحراف الخطي.
2. ε للغرابة المركزية و e للانحراف الخطي.
3. ه أو ε < لالانحراف و و لالانحراف الخطي (ذاكري لالنصفي و OCAL الفصل).

تستخدم هذه المقالة التدوين الأول.

القيم [ عدل ]

قطع مخروطي	معادلة	الانحراف ( ه )	الانحراف الخطي ( ج )
دائرة	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
الشكل البيضاوي	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$او اين${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle a>b}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
القطع المكافئ	${\displaystyle x^{2}=4ay}$	${\displaystyle 1}$	-
القطع الزائد	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ أو ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

هنا ، بالنسبة للقطع الناقص والقطع الزائد ، أ هو طول المحور شبه الرئيسي و ب هو طول المحور شبه الصغير.

عندما يتم إعطاء المقطع المخروطي في الشكل التربيعي العام

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

تعطي الصيغة التالية الانحراف المركزي e إذا كان القسم المخروطي ليس قطعًا مكافئًا (الذي له انحراف يساوي 1) ، وليس قطعًا زائدًا متدهورًا أو قطع ناقص متحلل ، وليس قطع ناقص وهمي: ^[2]

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}}$

حيث إذا كان محدد المصفوفة 3 × 3${\displaystyle \eta =1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$

سلبي أو إذا كان المحدد موجبًا.${\displaystyle \eta =-1}$

القطع الناقص [ عدل ]

الانحراف اللامركزي للقطع الناقص أقل من 1. عندما يتم حساب الدوائر (التي لها انحراف 0) كقطع ناقص ، يكون الانحراف المركزي للقطع الناقص أكبر من أو يساوي 0 ؛ إذا أعطيت الدوائر فئة خاصة وتم استبعادها من فئة القطع الناقص ، فإن الانحراف اللامركزي للقطع الناقص يكون أكبر من الصفر.

لأي شكل بيضاوي ، دع a يكون طول محوره شبه الرئيسي و b يكون طول محوره شبه الصغير .

نحدد عددًا من المفاهيم الإضافية ذات الصلة (فقط للعلامات الحذف):

اسم	رمز	من حيث أ و ب	من حيث البريد
الغرابة الأولى	${\displaystyle e}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle e}$
الانحراف الثاني	${\displaystyle e'}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}}$	${\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$
الانحراف الثالث	${\displaystyle e''={\sqrt {m}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {2-e^{2}}}}}$
الانحراف الزاوي	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)}$	${\displaystyle \sin ^{-1}e}$

صيغ أخرى لانحراف القطع الناقص [ عدل ]

إن الانحراف اللامركزي للقطع الناقص هو ، ببساطة ، نسبة المسافة ج بين مركز القطع الناقص وكل تركيز على طول المحور شبه الرئيسي أ .

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}.}$

الانحراف هو أيضًا نسبة المحور شبه الرئيسي أ إلى المسافة د من المركز إلى الدليل:

${\displaystyle e={\frac {a}{d}}.}$

يمكن التعبير عن الانحراف المركزي من حيث التسطيح f (يُعرّف على أنه المحور شبه الرئيسي أ والمحور شبه المحوري ب ):${\displaystyle f=1-b/a}$

${\displaystyle e={\sqrt {f(2-f)}}.}$

(قد يتم الإشارة إلى التسطيح بواسطة g في بعض مجالات الموضوعات إذا كانت f هي الانحراف الخطي.)

تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى كعبرة و كحد أقصى وأدنى المسافات إما من التركيز على القطع الناقص (أي، المسافات إما من التركيز إلى طرفي المحور الرئيسي). ثم مع المحور أ شبه الرئيسي ، يتم إعطاء الانحراف عن طريق${\displaystyle r_{\text{max}}}$${\displaystyle r_{\text{min}}}$

${\displaystyle e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},}$

وهي المسافة بين البؤر مقسومة على طول المحور الرئيسي.

القطوع الزائدة [ تحرير ]

يمكن أن يكون الانحراف اللامركزي للقطع الزائد أي رقم حقيقي أكبر من 1 ، بدون حد أعلى. الانحراف اللامركزي للقطع الزائد المستطيل هو .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

الرباعية [ تحرير ]

الانحراف اللامركزي للرباعي ثلاثي الأبعاد هو غرابة قسم معين منه. على سبيل المثال ، على شكل إهليلجي ثلاثي المحاور ، الانحراف الزوالي هو انحراف الشكل الناقص الذي يتكون من قسم يحتوي على كل من المحاور الأطول والأقصر (أحدهما سيكون المحور القطبي) ، والانحراف الاستوائي هو الانحراف المركزي للقطع الناقص المتشكل بقسم من خلال المركز ، عمودي على المحور القطبي (أي في المستوى الاستوائي). لكن: قد تحدث المقاطع المخروطية على الأسطح ذات الترتيب الأعلى أيضًا (انظر الصورة).

ميكانيكا سماوية [ عدل ]

في الميكانيكا السماوية ، بالنسبة للمدارات المقيدة في جهد كروي ، فإن التعريف أعلاه معمم بشكل غير رسمي. عندما apocenter مسافة قريبة من pericenter بعد، ويقال المدار أن يكون الانحراف منخفضة؛ عندما تكون مختلفة تمامًا ، يُقال أن المدار غريب الأطوار أو لديه شذوذ بالقرب من الوحدة. يتطابق هذا التعريف مع التعريف الرياضي للانحراف المركزي للأشكال الناقصة ، في Keplerian ، أي الكمون .${\displaystyle 1/r}$

التصنيفات المماثلة [ عدل ]

يستخدم عدد من التصنيفات في الرياضيات المصطلحات المشتقة من تصنيف الأقسام المخروطية حسب الغرابة:

• تصنيف العناصر من SL 2 (R) كما بيضاوي الشكل، مكافئ، والقطعي - وعلى نحو مماثل ل تصنيف العناصر من PSL ₂ (R)، والحقيقية التحولات موبيوس .
• تصنيف التوزيعات المنفصلة حسب نسبة التباين إلى المتوسط ؛ انظر تراكمات بعض التوزيعات الاحتمالية المنفصلة للحصول على التفاصيل.
• يتم تصنيف المعادلات التفاضلية الجزئية عن طريق القياس مع تصنيف المقاطع المخروطية ؛ رؤية بيضاوي الشكل ، مكافئ و القطعي المعادلات التفاضلية الجزئية. ^[3]

انظر أيضا [ تحرير ]

• مدارات كبلر
• ناقل الانحراف
• الانحراف المداري
• استدارة (كائن)
• ثابت مخروطي

المراجع [ عدل ]

روابط خارجية [ تحرير ]

ويكيميديا ​​كومنز لديها وسائل الإعلام المتعلقة باللامركزية .

• MathWorld: الانحراف