الشكل البيضاوي

القطع الناقص: التعريف بمجموع المسافات إلى البؤر

القطع الناقص: التعريف بالتركيز والدليل الدائري

يمكن تعريف القطع الناقص هندسيًا كمجموعة أو موضع نقاط في المستوى الإقليدي:

معطى نقطتين ثابتتين ${\ displaystyle F_ {1} ، F_ {2}}$ تسمى البؤر والمسافة ${\ displaystyle 2a}$ وهو أكبر من المسافة بين البؤر ، والقطع الناقص هو مجموعة من النقاط ${\ displaystyle P}$ بحيث يكون مجموع المسافات ${\ displaystyle | PF_ {1} | ، \ | PF_ {2} |}$ يساوي ${\ displaystyle 2a}$: ${\ displaystyle E = \ {P \ in \ mathbb {R} ^ {2} \، \ mid \، | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a \} \.}$

المنتصف ${\ displaystyle C}$يسمى الجزء المستقيم الذي يربط البؤر بمركز القطع الناقص. يسمى الخط عبر البؤر المحور الرئيسي ، والخط المتعامد عليه من خلال المركز هو المحور الثانوي .يتقاطع المحور الرئيسي مع القطع الناقص عند رأسين ${\ displaystyle V_ {1} ، V_ {2}}$التي لها مسافة ${\ displaystyle a}$للمركز. المسافة${\ displaystyle c}$من البؤر إلى المركز تسمى المسافة البؤرية أو الانحراف الخطي. الحاصل${\ displaystyle e = {\ tfrac {c} {a}}}$هو اللامركزية .

القضية ${\ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}$ ينتج دائرة ويتم تضمينه كنوع خاص من القطع الناقص.

المعادلة ${\ displaystyle | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a}$ يمكن رؤيتها بطريقة مختلفة (انظر الشكل):

إذا ${\ displaystyle c_ {2}}$ هي الدائرة مع نقطة المنتصف ${\ displaystyle F_ {2}}$ ونصف القطر ${\ displaystyle 2a}$، ثم مسافة النقطة ${\ displaystyle P}$ إلى الدائرة ${\ displaystyle c_ {2}}$ يساوي المسافة إلى البؤرة ${\ displaystyle F_ {1}}$:

${\ displaystyle | PF_ {1} | = | Pc_ {2} |.}$

${\ displaystyle c_ {2}}$يسمى الدليل الدائري (المرتبط بالتركيز${\ displaystyle F_ {2}}$) من القطع الناقص. ^{[1] [2]} لا ينبغي الخلط بين هذه الخاصية وبين تعريف القطع الناقص باستخدام خط دليل أدناه.

باستخدام كرات Dandelin ، يمكن للمرء أن يثبت أن أي جزء مستوٍ من مخروط به مستو هو قطع ناقص ، بافتراض أن المستوى لا يحتوي على القمة وأن ميله أقل من الخطوط الموجودة على المخروط .

معلمات الشكل:

• أ : المحور شبه الرئيسي ،
• ب : محور شبه صغير ،
• ج : الانحراف الخطي ،
• ع : المستقيم شبه العريض (عادة${\ displaystyle \ ell}$).

معادلة قياسية

النموذج القياسي من القطع الناقص في الإحداثيات الديكارتية يفترض أن الأصل هو مركز القطع الناقص، و س -axis هو المحور الرئيسي، و:

البؤر هي النقاط ${\ displaystyle F_ {1} = (c، \، 0)، \ F_ {2} = (- c، \، 0)}$و

القمم ${\ displaystyle V_ {1} = (a، \، 0)، \ V_ {2} = (- a، \، 0)}$.

لنقطة تعسفية ${\ displaystyle (x، y)}$ المسافة إلى التركيز ${\ displaystyle (c، 0)}$ هو ${\ displaystyle {\ sqrt {(xc) ^ {2} + y ^ {2}}}}$ وإلى التركيز الآخر ${\ displaystyle {\ sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}}}$. ومن هنا كانت النقطة${\ displaystyle (x، \، y)}$ يكون على القطع الناقص عندما:

${\ displaystyle {\ sqrt {(xc) ^ {2} + y ^ {2}}} + {\ sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}} = 2a \.}$

إزالة الجذور باستخدام تربيع مناسب واستخدام${\ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} -c ^ {2}}$ينتج المعادلة القياسية للقطع الناقص: ^[3]

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1،}$

أو تم حلها من أجل y:

${\ displaystyle y = \ pm {\ frac {b} {a}} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} = \ pm {\ sqrt {\ left (a ^ {2} - x ^ {2} \ right) \ left (1-e ^ {2} \ right)}}.}$

معلمات العرض والارتفاع ${\ displaystyle a، \؛ b}$تسمى المحاور شبه الرئيسية وشبه الصغرى . النقاط العليا والسفلى${\ displaystyle V_ {3} = (0، \، b)، \؛ V_ {4} = (0، \، - b)}$هي الرؤوس المشتركة . المسافات من نقطة${\ displaystyle (x، \، y)}$ على القطع الناقص إلى البؤرتين اليمنى واليسرى ${\ displaystyle a + ex}$ و ${\ displaystyle a-ex}$.

ويترتب على المعادلة أن القطع الناقص متماثل فيما يتعلق بمحاور الإحداثيات وبالتالي فيما يتعلق بالأصل.

المعلمات

المحاور الرئيسية

في جميع أنحاء هذه المقالة ، يتم الإشارة إلى المحاور شبه الرئيسية وشبه الصغرى${\ displaystyle a}$ و ${\ displaystyle b}$، على التوالي ، أي ${\ displaystyle a \ geq b> 0 \.}$

من حيث المبدأ ، معادلة القطع الناقص المتعارف عليها ${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ قد يملك ${\ displaystyle a$(ومن ثم فإن القطع الناقص سيكون أطول من عرضه). يمكن تحويل هذا النموذج إلى النموذج القياسي عن طريق نقل أسماء المتغيرات${\ displaystyle x}$ و ${\ displaystyle y}$ وأسماء المعلمات ${\ displaystyle a}$ و ${\ displaystyle b.}$

الانحراف الخطي

هذه هي المسافة من المركز إلى البؤرة: ${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$.

غرابة

يمكن التعبير عن الانحراف على النحو التالي:

${\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {b} {a}} \ right) ^ {2}}}}$و

افتراض ${\ displaystyle a> b.}$ قطع ناقص بمحاور متساوية (${\ displaystyle a = b}$) ليس لديها انحراف مركزي ، وهي دائرة.

المستقيم شبه العريض

يُطلق على طول الوتر من خلال تركيز واحد ، عموديًا على المحور الرئيسي ، اسم المستقيم العريض . نصفها هو المستقيم شبه العريض ${\ displaystyle \ ell}$. يظهر الحساب:

${\ displaystyle \ ell = {\ frac {b ^ {2}} {a}} = a \ left (1-e ^ {2} \ right).}$^[4]

المستقيم شبه العريض ${\ displaystyle \ ell}$يساوي نصف قطر الانحناء عند الرؤوس (انظر قسم الانحناء ).

الظل

خط تعسفي ${\ displaystyle g}$ يتقاطع مع القطع الناقص في ${\ displaystyle 0}$و ${\ displaystyle 1}$، أو ${\ displaystyle 2}$نقاط، ودعا على التوالي على خط خارجي ، المماس و القاطع . من خلال أي نقطة من القطع الناقص يوجد ظل فريد. الظل عند نقطة${\ displaystyle (x_ {1}، \، y_ {1})}$ من القطع الناقص ${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ لديه معادلة إحداثيات:

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + {\ frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} y = 1.}$

المعادلة البارامترية المتجهة للماس هي:

${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ y_ {1} \ end {pmatrix}} + s {\ begin {pmatrix} \؛ \! - y_ {1} أ ^ {2} \\\؛ \ \ \ x_ {1} b ^ {2} \ end {pmatrix}} \}$ مع ${\ displaystyle \ s \ in \ mathbb {R} \.}$

دليل: دع${\ displaystyle (x_ {1}، \، y_ {1})}$ تكون نقطة على القطع الناقص و ${\ textstyle {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ y_ {1} \ end {pmatrix}} + s {\ begin {pmatrix} u \\ v \ end {pmatrix} }}$ تكون معادلة أي خط ${\ displaystyle g}$ تحتوي ${\ displaystyle (x_ {1}، \، y_ {1})}$. إدخال معادلة الخط في معادلة القطع الناقص والاحترام${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y_ {1} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ عائدات:

${\ displaystyle {\ frac {\ left (x_ {1} + su \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {\ left (y_ {1} + sv \ right) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \ \ quad \ Longrightarrow \ quad 2s \ left ({\ frac {x_ {1} u} {a ^ {2}}} + {\ frac {y_ { 1} v} {b ^ {2}}} \ right) + s ^ {2} \ left ({\ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} \ right) = 0 \.}$

ثم هناك حالات:

1. ${\ displaystyle {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + {\ frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} v = 0.}$ ثم خط ${\ displaystyle g}$ والقطع الناقص لهما نقطة فقط ${\ displaystyle (x_ {1}، \، y_ {1})}$ مشترك ، و ${\ displaystyle g}$ظل. الاتجاه المماس له متجه عمودي ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} & {\ frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} \ end {pmatrix}} }$، لذلك فإن خط الظل له معادلة ${\ textstyle {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + {\ tfrac {y_ {1}} {b ^ {2}}} y = k}$ بالنسبة للبعض ${\ displaystyle k}$. لأن${\ displaystyle (x_ {1}، \، y_ {1})}$ على الظل والقطع الناقص ، يحصل المرء ${\ displaystyle k = 1}$.
2. ${\ displaystyle {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + {\ frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} v \ neq 0.}$ ثم خط ${\ displaystyle g}$ نقطة ثانية مشتركة مع القطع الناقص ، وهي قاطعة.

باستخدام (1) يجد المرء ذلك ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -y_ {1} a ^ {2} & x_ {1} b ^ {2} \ end {pmatrix}}}$ هو ناقل ظل عند النقطة ${\ displaystyle (x_ {1}، \، y_ {1})}$، مما يثبت معادلة المتجه.

إذا ${\ displaystyle (x_ {1}، y_ {1})}$ و ${displaystyle (u، v)}$ نقطتان من القطع الناقص من هذا القبيل ${\ textstyle {\ frac {x_ {1} u} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y_ {1} v} {b ^ {2}}} = 0}$، ثم تقع النقاط على قطرين مترافقين (انظر أدناه ). (إذا${\ displaystyle a = b}$، فإن القطع الناقص عبارة عن دائرة و "المرافق" تعني "متعامد".)

القطع الناقص المنقول

إذا تم تحويل القطع الناقص القياسي إلى المركز ${\ displaystyle \ left (x _ {\ circ}، \، y _ {\ circ} \ right)}$، معادلتها هي

${\ displaystyle {\ frac {\ left (x-x _ {\ circ} \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {\ left (y-y _ {\ circ} \ right ) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \.}$

لا تزال المحاور موازية لمحوري x و y.

القطع الناقص العام

في الهندسة التحليلية ، يتم تعريف القطع الناقص على أنه تربيعي : مجموعة النقاط${\ displaystyle (X، \، Y)}$المستوى الديكارتي الذي ، في الحالات غير المنحلة ، يفي بالمعادلة الضمنية ^{[5] [6]}

${\ displaystyle AX ^ {2} + BXY + CY ^ {2} + DX + EY + F = 0}$

قدمت ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC <0.}$

لتمييز الحالات المتدهورة عن الحالة غير المتدهورة ، دع ∆ يكون المحدد

${\ displaystyle \ Delta = {\ begin {vmatrix} A & {\ frac {1} {2}} B & {\ frac {1} {2}} D \\ {\ frac {1} {2}} B&C & {\ frac {1} {2}} E \\ {\ frac {1} {2}} D & {\ frac {1} {2}} E&F \ end {vmatrix}} = \ left (AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}} \ right) F + {\ frac {BED} {4}} - {\ frac {CD ^ {2}} {4}} - {\ frac {AE ^ {2}} { 4}}.}$

ثم القطع الناقص هو القطع الناقص الحقيقي غير تتدهور إذا وفقط إذا CΔ <0. إذا CΔ > 0، لدينا القطع الناقص وهمي، وإذا Δ = 0، لدينا قطع ناقص نقطة. ^{[7] : ص 63}

يمكن الحصول على معاملات المعادلة العامة من المحور شبه الرئيسي المعروف ${\ displaystyle a}$، محور شبه ثانوي ${\ displaystyle b}$، إحداثيات المركز ${\ displaystyle \ left (x _ {\ circ}، \، y _ {\ circ} \ right)}$وزاوية الدوران ${\ displaystyle \ theta}$ (الزاوية من المحور الأفقي الموجب إلى المحور الرئيسي للقطع الناقص) باستخدام الصيغ:

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + b ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta \\ B & = 2 \ left (b ^ {2 } -a ^ {2} \ right) \ sin \ theta \ cos \ theta \\ C & = a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ \ D & = - 2Ax _ {\ circ} -By _ {\ circ} \\ E & = - Bx _ {\ circ} -2Cy _ {\ circ} \\ F & = Ax _ {\ circ} ^ {2} + Bx _ {\ circ} y _ {\ circ} + Cy _ {\ circ} ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2}. \ end {align}}}$

يمكن اشتقاق هذه التعبيرات من المعادلة الأساسية ${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ من خلال تحويل أفيني للإحداثيات ${\ displaystyle (x، \، y)}$:

${\ displaystyle {\ start {align} x & = left (X-x _ {\ circ} \ right) \ cos \ theta + \ left (Y-y _ {\ circ} \ right) \ sin \ theta \\ y & = - \ left (X-x _ {\ circ} \ right) \ sin \ theta + \ left (Y-y _ {\ circ} \ right) \ cos \ theta. \ end {align}}}$

على العكس من ذلك ، يمكن الحصول على معلمات الشكل الأساسي من معاملات الشكل العامة بواسطة المعادلات:

${\ displaystyle {\ begin {align} a، b & = {\ frac {- {\ sqrt {2 {\ Big (} AE ^ {2} + CD ^ {2} -BDE + (B ^ {2} -4AC) F {\ Big)} \ left ((A + C) \ pm {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} \ right)}}} {B ^ {2} -4AC} } \\ x _ {\ circ} & = {\ frac {2CD-BE} {B ^ {2} -4AC}} \\ [3pt] y _ {\ circ} & = {\ frac {2AE-BD} {B ^ {2} -4AC}} \\ [3pt] \ theta & = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {1} {B}} \ left (CA - {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} \ right) \ right) & {\ text {for}} B \ neq 0 \\ 0 & {\ text {for}} B = 0، \ A C \\\ end {cases}} \ end {align}}}$

بناء النقاط بناءً على المعادلة البارامترية وتفسير المعلمة t ، والتي تعود إلى de la Hire

نقاط القطع الناقص محسوبة بالتمثيل العقلاني بمعلمات متباعدة متساوية ( ${\ displaystyle \ Delta u = 0.2}$).

تمثيل معياري حدودي

باستخدام الدوال المثلثية ، تمثيل حدودي للقطع الناقص القياسي${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ هو:

${\ displaystyle (x، \، y) = (a \ cos t، \، b \ sin t)، \ 0 \ leq t <2 \ pi \.}$

المعلمة t (تسمى الشذوذ غريب الأطوار في علم الفلك) ليست زاوية${\ displaystyle (x (t)، y (t))}$مع المحور السيني ، ولكن لها معنى هندسي بسبب فيليب دي لا هير (انظر رسم الحذف أدناه). ^[8]

التمثيل العقلاني

مع الاستبدال ${\ textstyle u = \ tan \ left ({\ frac {t} {2}} \ right)}$ والصيغ المثلثية التي يحصل عليها المرء

${\ displaystyle \ cos t = {\ frac {1-u ^ {2}} {u ^ {2} +1}} \، \ quad \ sin t = {\ frac {2u} {u ^ {2} + 1}}}$

و عقلانية المعادلة حدودي من القطع الناقص

${\ displaystyle {\ begin {align} x (u) & = a {\ frac {1-u ^ {2}} {u ^ {2} +1}} \\ y (u) & = {\ frac { 2bu} {u ^ {2} +1}} \ end {align}} \؛، \ quad - \ infty$

الذي يغطي أي نقطة من القطع الناقص ${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ باستثناء الرأس الأيسر ${\ displaystyle (-a، \، 0)}$.

ل ${\ displaystyle u \ in [0، \، 1]،}$ تمثل هذه الصيغة الربع العلوي الأيمن من القطع الناقص الذي يتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة مع الزيادة ${\ displaystyle u.}$ الرأس الأيسر هو النهاية ${\ displaystyle \ lim _ {u \ to \ pm \ infty} (x (u)، \، y (u)) = (- a، \، 0) \ ؛.}$

تُستخدم التمثيلات المنطقية للمقاطع المخروطية بشكل شائع في التصميم بمساعدة الكمبيوتر (انظر منحنى بيزير ).

منحدر الظل كمعلمة

تمثيل حدودي يستخدم المنحدر ${\ displaystyle m}$ يمكن الحصول على الظل عند نقطة من القطع الناقص من مشتق التمثيل القياسي ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t) = (a \ cos t، \، b \ sin t) ^ {\ mathsf {T}}}$:

${\ displaystyle {\ vec {x}} '(t) = (- a \ sin t، \، b \ cos t) ^ {\ mathsf {T}} \ quad \ rightarrow \ quad m = - {\ frac { ب} {a}} \ cot t \ quad \ rightarrow \ quad \ cot t = - {\ frac {ma} {b}}.}$

بمساعدة الصيغ المثلثية يحصل المرء على:

${\ displaystyle \ cos t = {\ frac {\ cot t} {\ pm {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} t}}}} = {\ frac {-ma} {\ pm {\ sqrt { m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}} \، \ quad \ quad \ sin t = {\ frac {1} {\ pm {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2 } t}}}} = {\ frac {b} {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}}.}$

استبدال ${\ displaystyle \ cos t}$ و ${\ displaystyle \ sin t}$ من عوائد التمثيل القياسي:

${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {\ pm} (m) = \ left (- {\ frac {ma ^ {2}} {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}} ، \ ؛ {\ frac {b ^ {2}} {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}} \ right)، \، m \ in \ mathbb {R}.}$

هنا ${\ displaystyle m}$ هو منحدر الظل عند نقطة القطع الناقص المقابلة ، ${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {+}}$ هو الجزء العلوي و ${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {-}}$النصف السفلي من القطع الناقص. القمم${\ displaystyle (\ pm a، \، 0)}$، التي لها ظل عمودي ، لا يغطيها التمثيل.

معادلة الظل عند النقطة ${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {\ pm} (m)}$ لديه الشكل ${\ displaystyle y = mx + n}$. ما زال مجهولا${\ displaystyle n}$ يمكن تحديده عن طريق إدخال إحداثيات نقطة القطع الناقص المقابلة ${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {\ pm} (m)}$:

${\ displaystyle y = mx \ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}} \ ؛.}$

هذا الوصف لمظلات القطع الناقص هو أداة أساسية لتحديد تقويم البصريات للقطع الناقص. تحتوي المقالة التقويمية على دليل آخر ، بدون حساب التفاضل والتكامل والصيغ المثلثية.

القطع الناقص العام

القطع الناقص كصورة أفقية لدائرة الوحدة

تعريف آخر للقطع الناقص يستخدم التحولات الأفينية :

أي قطع ناقص هو صورة أفقية لدائرة الوحدة مع المعادلة ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$.

تمثيل حدودي

تحول أفيني للطائرة الإقليدية له الشكل ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ mapsto {\ vec {f}} \! _ {0} + A {\ vec {x}}}$، أين ${\ displaystyle A}$هو العادية مصفوفة (مع غير الصفر المحدد ) و${\ displaystyle {\ vec {f}} \! _ {0}}$هو ناقل تعسفي. إذا${\ displaystyle {\ vec {f}} \! _ {1} ، {\ vec {f}} \! _ {2}}$ هي متجهات العمود في المصفوفة ${\ displaystyle A}$، دائرة الوحدة ${displaystyle (cos (t)، sin (t))}$و ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 2 \ pi}$، على القطع الناقص: