التضمين

الطوبولوجيا العامة

في الطوبولوجيا العامة ، يعتبر التضمين تماثل الشكل على صورته. ^[3] بشكل أكثر وضوحًا ، خريطة مستمرة عن طريق الحقن${\ displaystyle f: X \ to Y}$بين المساحات الطوبولوجية ${\ displaystyle X}$ و ${\ displaystyle Y}$هو تضمين طوبولوجي إذا${\ displaystyle f}$ ينتج عنه تماثل بين ${\ displaystyle X}$ و ${\ displaystyle f (X)}$ (أين ${\ displaystyle f (X)}$يحمل طوبولوجيا الفضاء الجزئي الموروثة من${\ displaystyle Y}$). ثم بشكل حدسي ، التضمين${\ displaystyle f: X \ to Y}$ يتيح لنا العلاج ${\ displaystyle X}$كما فضاء جزئي من${\ displaystyle Y}$. كل تضمين هو عن طريق الحقن ومستمر . كل خريطة حقنة ومستمرة ومفتوحة أو مغلقة هي تضمين ؛ ومع ذلك ، هناك أيضًا حفلات زفاف ليست مفتوحة ولا مغلقة. هذا الأخير يحدث إذا كانت الصورة${\ displaystyle f (X)}$ليست ل مجموعة مفتوحة ولا مجموعة مغلقة في${\ displaystyle Y}$.

لمساحة معينة ${\ displaystyle Y}$، وجود التضمين ${\ displaystyle X \ to Y}$هو ثابتة الطوبوغرافية لل${\ displaystyle X}$. يسمح هذا بتمييز مسافتين إذا كان أحدهما قادرًا على التضمين في مساحة بينما لا يتم تضمين الآخر.

الطوبولوجيا التفاضلية

في الطوبولوجيا التفاضلية : Let${\ displaystyle M}$ و ${\ displaystyle N}$تكون متشعبات سلسة و${\ displaystyle f: M \ to N}$تكون خريطة سلسة. ثم${\ displaystyle f}$يسمى الغمر إذا كان مشتقه عن طريق الحقن في كل مكان. و التضمين ، أو التضمين على نحو سلس ، ويعرف أن يكون الغمر injective وهو التضمين بمعنى الطوبوغرافية المذكورة أعلاه (أي التشابه على صورته). ^[4]

بعبارة أخرى ، يكون مجال التضمين مختلفًا عن صورته ، وعلى وجه الخصوص ، يجب أن تكون صورة التضمين عديدات أضعاف فرعية . الغمر هو على وجه التحديد تضمين محلي ، أي لأي نقطة${\ displaystyle x \ in M}$ يوجد حي ${\ displaystyle x \ in U \ subset M}$ مثل ذلك ${\ displaystyle f: U \ to N}$ هو تضمين.

عندما يكون متشعب المجال مضغوطًا ، فإن فكرة التضمين السلس تعادل مفهوم الانغماس بالحقن.

حالة مهمة هي ${\ displaystyle N = \ mathbb {R} ^ {n}}$. الاهتمام هنا هو مدى ضخامة${\ displaystyle n}$ يجب أن يكون للتضمين ، من حيث البعد ${\ displaystyle m}$ من ${\ displaystyle M}$. ل يتني تضمين نظرية ^[5] الدول التي${\ displaystyle n = 2m}$يكفي ، وهو أفضل حد خطي ممكن. على سبيل المثال ، المساحة الإسقاطية الحقيقية RP ^m من البعد${\ displaystyle m}$، أين ${\ displaystyle m}$ هي قوة اثنين ، تتطلب ${\ displaystyle n = 2m}$للتضمين. ومع ذلك ، هذا لا ينطبق على الانغماس ؛ على سبيل المثال ، يمكن غمر RP ² في${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$كما هو موضح صراحة من خلال سطح الصبي - الذي يحتوي على تقاطعات ذاتية. على سطح الروماني فشل أن يكون الغمر كما أنه يحتوي على عبر القبعات .

يعتبر التضمين مناسبًا إذا كان يتصرف جيدًا فيما يتعلق بالحدود : يتطلب المرء الخريطة${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$ أن تكون هكذا

• ${displaystyle f (جزئي X) = f (X) cap جزئي Y}$، و
• ${\ displaystyle f (X)}$غير عرضية ل${\ displaystyle \ جزئي Y}$ في أي نقطة من ${\ displaystyle f (\ جزئي X)}$.

الشرط الأول يعادل وجود ${\ displaystyle f (\ جزئي X) \ subseteq \ جزئي Y}$ و ${\ displaystyle f (X \ setminus \ جزئي X) \ subseteq Y \ setminus \ جزئي Y}$. الشرط الثاني، تحدث تقريبا، ويقول ان و ( X ) ليست الظل الى حدود Y .

الهندسة الريمانية والزائفة الريمانية

في الهندسة الريمانية والهندسة الريمانية الزائفة: دع ( M ، g ) و ( N ، h ) يكونان متشعبان ريمانيان أو بشكل عام مشعبات ريمانانية زائفة . ل تضمين متساوي القياس هو السلس التضمين و  : M → N الذي يحافظ على (الزائفة) متري بمعنى ز يساوي الانسحاب من ساعة من قبل و ، أي ز = و * ح . صراحة ، لأي متجهين مماسين${\ displaystyle v، w \ in T_ {x} (M)}$ نحن لدينا

${displaystyle g (v، w) = h (df (v)، df (w)).}$

وبالمثل ، فإن الانغماس متساوي القياس هو انغماس بين (الزائفة) -Riemannian manifolds الذي يحافظ على المقاييس (الزائفة) -Riemannian.

بالتساوي ، في الهندسة الريمانية ، التضمين متساوي القياس (الغمر) هو دمج سلس (غمر) يحافظ على طول المنحنيات (راجع نظرية تضمين ناش ). ^[6]

بشكل عام، ل فئة جبري C ، والتضمين بين اثنين C الهياكل -algebraic X و Y هو C -morphism البريد  : X → Y الذي هو injective.

نظرية المجال

في نظرية المجال ، و التضمين من الحقل E في حقل F هو حلقة مفهوم التشاكل σ  : E → F .

و نواة ل σ هو المثل الأعلى لل E الذي لا يمكن أن يكون الحقل بالكامل E ، بسبب حالة σ (1) = 1 . علاوة على ذلك ، من الخصائص المعروفة للحقول أن مُثُلها الوحيدة هي الصفر المثالي والحقل بأكمله. لذلك ، فإن النواة تساوي 0 ، لذا فإن أي تضمين للحقول هو أحادي الشكل . وبالتالي، E هو تماثلية إلى الحقل الفرعي σ ( E ) من F . هذا يبرر تضمين الاسم لتشابه تعسفي للحقول.

الجبر العالمي ونظرية النموذج

إذا كان σ هو توقيع و${\ displaystyle A، B}$هي هياكل σ- (تسمى أيضًا-algebras في الجبر الشامل أو نماذج في نظرية النموذج ) ، ثم خريطة${\ displaystyle h: A \ to B}$عبارة عن تضمين σ إذا كان كل من عمليات التعليق التالية:

• ${\ displaystyle h}$ عن طريق الحقن ،
• لكل ${\ displaystyle n}$-رمز الوظيفة ${\ displaystyle f \ in \ sigma}$ و ${\ displaystyle a_ {1}، \ ldots، a_ {n} \ in A ^ {n}،}$ نحن لدينا ${\ displaystyle h (f ^ {A} (a_ {1}، \ ldots، a_ {n})) = f ^ {B} (h (a_ {1})، ldots، h (a_ {n}) )}$و
• لكل ${\ displaystyle n}$-رمز العلاقة ${\ displaystyle R \ in \ sigma}$ و ${\ displaystyle a_ {1}، \ ldots، a_ {n} \ in A ^ {n}،}$ نحن لدينا ${\ displaystyle A \ Models R (a_ {1}، \ ldots، a_ {n})}$ iff ${\ displaystyle B \ Models R (h (a_ {1})، ldots، h (a_ {n})).}$

هنا ${\ displaystyle A \ Models R (a_ {1}، \ ldots، a_ {n})}$ هو نموذج تدوين نظري يعادل ${\ displaystyle (a_ {1}، \ ldots، a_ {n}) \ in R ^ {A}}$. في نظرية النموذج ، هناك أيضًا فكرة أقوى عن التضمين الأولي .

في نظرية الترتيب ، يعتبر تضمين مجموعات مرتبة جزئيًا دالة F بين المجموعات المرتبة جزئيًا X و Y مثل ذلك

${\ displaystyle \ forall x_ {1}، x_ {2} \ in X: x_ {1} \ leq x_ {2} \ iff F (x_ {1}) \ leq F (x_ {2}).}$

تتبع حقن F بسرعة من هذا التعريف. في نظرية المجال ، هناك مطلب إضافي هو ذلك

${\ displaystyle \ forall y \ in Y: {x \ mid F (x) \ leq y \}}$و توجه .

رسم الخرائط ${\ displaystyle \ phi: X \ to Y}$من الفضاءات المترية ويسمى التضمين (مع تحريف ${\ displaystyle C> 0}$) إذا

${\ displaystyle Ld_ {X} (x، y) \ leq d_ {Y} (\ phi (x)، \ phi (y)) \ leq CLd_ {X} (x، y)}$

لبعض الثوابت ${\ displaystyle L> 0}$.

المساحات المعيارية

حالة خاصة مهمة هي تلك الخاصة بالمساحات المعيارية ؛ في هذه الحالة ، من الطبيعي النظر في الزخارف الخطية.

أحد الأسئلة الأساسية التي يمكن طرحها حول الفضاء المعياري ذي الأبعاد المحدودة ${\ displaystyle (X، | \ cdot \ |)}$هو ، ما هو البعد الأقصى${\ displaystyle k}$مثل مساحة هلبرت ${\ displaystyle \ ell _ {2} ^ {k}}$ يمكن تضمينها خطيًا في ${\ displaystyle X}$ مع تشويه مستمر؟

الإجابة مقدمة من نظرية دفوريتزكي .

في نظرية الفئة ، لا يوجد تعريف مرضٍ ومقبول عمومًا لحفلات الزفاف يمكن تطبيقه في جميع الفئات. قد يتوقع المرء أن تكون جميع الأشكال المتشابهة وجميع تركيبات حفلات الزفاف عبارة عن حفلات زفاف ، وأن جميع حفلات الزفاف هي أشكال أحادية الشكل. المتطلبات النموذجية الأخرى هي: أي monomorphism المتطرف هو التضمين وحفلات الزفاف مستقرة تحت الانسحاب .

من الناحية المثالية ، يجب أن تكون فئة جميع الكائنات الفرعية المضمنة لكائن معين ، حتى التماثل ، صغيرة أيضًا ، وبالتالي مجموعة مرتبة . في هذه الحالة ، يُقال أن الفئة تعمل جيدًا فيما يتعلق بفئة حفلات الزفاف. يسمح هذا بتحديد الهياكل المحلية الجديدة في الفئة (مثل عامل الإغلاق ).

في فئة محددة ، التضمين هو التشكل ƒ :  A  →  B وهي وظيفة حقنة من المجموعة الأساسية لـ A إلى المجموعة الأساسية لـ B وهي أيضًا شكل أولي بالمعنى التالي: إذا كانت g دالة من مجموعة أساسية من كائن C للمجموعة الأساسية من A ، وإذا كان تكوينه مع ƒ عبارة عن شكل ƒg :  C  →  B ، فإن g نفسها هي شكل.

يؤدي نظام التحليل لفئة ما أيضًا إلى ظهور فكرة التضمين. إذا ( E ،  M ) هو نظام التعميل، ثم morphisms في M يمكن اعتباره والتضمينات، وخصوصا عندما الفئة هو مدعوم بشكل جيد فيما يتعلق  M . غالبًا ما تحتوي النظريات الملموسة على نظام عامل يتكون فيه M من حفلات الزفاف بالمعنى السابق. هذه هي حالة غالبية الأمثلة الواردة في هذه المقالة.

كالعادة في نظرية الفئة ، هناك مفهوم مزدوج يعرف باسم حاصل القسمة. يمكن ازدواج جميع الخصائص السابقة.

يمكن أن يشير التضمين أيضًا إلى وظيفة التضمين .

• غمر مغلق
• غطاء، يغطي
• تقليل الأبعاد
• غمر
• جونسون - ليندنشتراوس ليما
• عديدات الطيات الجزئية
• الفضاء الجزئي
• مساحة عالمية

• الأسقف ريتشارد لورانس ؛ كريتندن ، ريتشارد ج. (1964). هندسة الفتحات . نيويورك: مطبعة أكاديمية. رقم ISBN 978-0-8218-2923-3.
• الأسقف ريتشارد لورانس ؛ غولدبرغ ، صموئيل ايرفينغ (1968). تحليل الموتر على الفتحات (First Dover 1980 ed.). شركة ماكميلان. رقم ISBN 0-486-64039-6.
• كرامبين ، مايكل ؛ بيراني ، فيليكس أرنولد إدوارد (1994). الهندسة التفاضلية القابلة للتطبيق . كامبريدج ، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-23190-9.
• دو كارمو ، مانفريدو بيرديجاو (1994). الهندسة الريمانية . رقم ISBN 978-0-8176-3490-2.
• فلاندرز ، هارلي (1989). الأشكال التفاضلية مع تطبيقات في العلوم الفيزيائية . دوفر. رقم ISBN 978-0-486-66169-8.
• جالوت ، سيلفستر. هولين ، دومينيك ؛ لافونتين ، جاك (2004). الهندسة الريمانية (الطبعة الثالثة). برلين ، نيويورك: Springer-Verlag . رقم ISBN 978-3-540-20493-0.
• هوكينغ ، جون جيلبرت ؛ يونغ ، جيل سيلرز (1988) [1961]. الطوبولوجيا . دوفر. رقم ISBN 0-486-65676-4.
• كوسينسكي ، أنتوني ألبرت (2007) [1993]. الفتحات التفاضلية . مينيولا ، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-46244-8.
• لانج ، سيرج (1999). أساسيات الهندسة التفاضلية . نصوص التخرج في الرياضيات. نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-98593-0.
• كوباياشي ، شوشيشي ؛ نوميزو ، كاتسومي (1963). أسس الهندسة التفاضلية ، المجلد الأول . نيويورك: Wiley-Interscience.
• لي ، جون مارشال (1997). الفتحات الريمانية . سبرينغر فيرلاغ. رقم ISBN 978-0-387-98322-6.
• شارب ، RW (1997). الهندسة التفاضلية: تعميم كارتان لبرنامج كلاين إرلانجن . Springer-Verlag ، نيويورك. رقم ISBN 0-387-94732-9..
• سبيفاك ، مايكل (1999) [1970]. مقدمة شاملة عن الهندسة التفاضلية (المجلد الأول) . نشر أو الموت. رقم ISBN 0-914098-70-5.
• وارنر ، فرانك ويلسون (1983). أسس المتشعبات المختلفة ومجموعات الكذب . Springer-Verlag ، نيويورك. رقم ISBN 0-387-90894-3..

• Adámek ، Jiří ؛ هورست هيرليش جورج ستريكر (2006). تصنيفات مجردة وملموسة (فرحة القطط) .
• تضمين الفتحات على أطلس متعدد الطيات

تتضمن هذه المقالة قائمة بالعناصر ذات الصلة التي تشترك في نفس الاسم (أو أسماء مشابهة).
إذا قادك رابط داخلي بشكل غير صحيح إلى هنا ، فقد ترغب في تغيير الرابط للإشارة مباشرة إلى المقالة المقصودة.