الهندسة الإقليدية

على عناصر هي أساسا المنهجي للمعرفة سابقة الهندسة. تم التعرف بسرعة على تحسنه مقارنة بالعلاجات السابقة ، مما أدى إلى عدم وجود اهتمام كبير بالحفاظ على العلاجات السابقة ، وفقدوا جميعًا الآن تقريبًا.

يوجد 13 كتابًا في العناصر :

تناقش الكتب من الأول إلى الرابع والسادس الهندسة المستوية. تم إثبات العديد من النتائج حول الأشكال المستوية ، على سبيل المثال ، "في أي مثلث ، تكون زاويتان إذا تم جمعهما معًا بأي طريقة أقل من زاويتين قائمتين." (الكتاب الأول اقتراح 17) ونظرية فيثاغورس "في المثلثات القائمة الزاوية ، يكون المربع الموجود على الجانب المقابل للزاوية القائمة يساوي المربعات الموجودة على الجانبين التي تحتوي على الزاوية القائمة". (الكتاب الأول ، الاقتراح 47)

يتعامل الكتابان الخامس والسابع والعاشر مع نظرية الأعداد ، حيث يتم التعامل مع الأرقام هندسيًا على أنها أطوال مقاطع الخط أو مناطق المناطق. مفاهيم مثل الأعداد الأولية و عقلانية و أرقام غير منطقية يتم تقديمها. ثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية.

تتعلق الكتب الحادي عشر والثالث عشر بالهندسة الصلبة . النتيجة النموذجية هي النسبة 1: 3 بين حجم مخروط وأسطوانة بنفس الارتفاع والقاعدة. و المواد الصلبة الأفلاطونية هي التي شيدت.

البديهيات

الافتراض المتوازي (افترض 5): إذا تقاطع خطان مع خط ثالث بحيث يكون مجموع الزوايا الداخلية على جانب واحد أقل من زاويتين قائمتين ، فيجب أن يتقاطع الخطان حتمًا على هذا الجانب إذا امتد بعيدًا كافية.

الهندسة الإقليدية هي نظام بديهي ، حيث يتم اشتقاق جميع النظريات ("العبارات الحقيقية") من عدد صغير من البديهيات البسيطة. حتى ظهور الهندسة غير الإقليدية ، كانت هذه البديهيات تعتبر صحيحة بشكل واضح في العالم المادي ، بحيث تكون جميع النظريات صحيحة بشكل متساوٍ. ومع ذلك ، فإن منطق إقليدس من الافتراضات إلى الاستنتاجات يظل صالحًا بشكل مستقل عن واقعهم المادي. ^[4]

بالقرب من بداية الكتاب الأول للعناصر ، يقدم إقليدس خمس افتراضات (مسلمات) للهندسة المستوية ، مذكورة من حيث التركيبات (كما ترجمها توماس هيث): ^[5]

دع ما يلي يفترض:

1. لرسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة.
2. لإنتاج (تمديد) خط مستقيم محدود بشكل مستمر في خط مستقيم.
3. لوصف دائرة بأي مركز ومسافة (نصف قطر).
4. أن جميع الزوايا القائمة متساوية مع بعضها البعض.
5. [ الافتراض المتوازي ]: إذا كان خط مستقيم يقع على خطين مستقيمين يجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين ، فإن الخطين المستقيمين ، إذا تم إنتاجهما إلى أجل غير مسمى ، يلتقيان في ذلك الجانب حيث تكون الزوايا أقل من زاويتين قائمتين.

على الرغم من أن إقليدس يؤكد صراحةً فقط على وجود الكائنات المُنشأة ، إلا أنه في تفكيره يُفترض ضمنيًا أنها فريدة من نوعها.

تتضمن العناصر أيضًا "المفاهيم المشتركة" الخمسة التالية:

1. الأشياء التي هي مساوية لنفس الشيء أيضا يساوي واحد آخر ( الملكية متعدية ل علاقة الإقليدية ).
2. إذا تمت إضافة يساوي إلى يساوي ، ثم أجمعين متساوية (إضافة خاصية المساواة).
3. إذا تم طرح تساوي من يساوي ، فإن الاختلافات متساوية (خاصية الطرح للمساواة).
4. الأشياء التي تتطابق مع بعضها البعض تساوي بعضها البعض (خاصية انعكاسية).
5. الكل أكبر من الجزء.

يتفق العلماء المعاصرون على أن افتراضات إقليدس لا توفر الأساس المنطقي الكامل الذي طلبه إقليدس لعرضه. ^[6] تستخدم العلاجات الحديثة مجموعات أكثر شمولاً وكاملة من البديهيات.

مسلمة موازية

بالنسبة للقدماء ، بدت الفرضية الموازية أقل وضوحًا من غيرها. لقد تطلعوا إلى إنشاء نظام من الافتراضات المؤكدة تمامًا ، وبدا لهم كما لو أن افتراض الخط الموازي يتطلب إثباتًا من عبارات أبسط. من المعروف الآن أن مثل هذا الإثبات مستحيل ، حيث يمكن للمرء أن يبني أنظمة هندسية متسقة (طاعة البديهيات الأخرى) يكون فيها الفرضية الموازية صحيحة ، وأنظمة أخرى تكون خاطئة فيها. ^[7] يبدو أن إقليدس نفسه قد اعتبر الأمر مختلفًا نوعياً عن الآخرين ، كما يتضح من تنظيم العناصر : أول 28 افتراضات له هي تلك التي يمكن إثباتها بدونها.

يمكن صياغة العديد من البديهيات البديلة التي تعادل منطقيًا الافتراض الموازي (في سياق البديهيات الأخرى). على سبيل المثال ، تنص بديهية Playfair على ما يلي:

في المستوى ، من خلال نقطة ليست على خط مستقيم معين ، يمكن رسم خط واحد على الأكثر لا يلتقي أبدًا بالخط المعين.

إن عبارة "على الأكثر" هي كل ما هو مطلوب حيث يمكن إثبات وجود خط متوازي واحد على الأقل من المسلمات المتبقية.

دليل من عناصر إقليدس على أنه ، بالنظر إلى قطعة مستقيمة ، يمكن للمرء إنشاء مثلث متساوي الأضلاع يتضمن المقطع كأحد أضلاعه: مثلث متساوي الأضلاع يتكون من رسم دوائر Δ و تتمحور حول النقطتين Α و ، وأخذ تقاطع واحد من الدوائر هو الرأس الثالث للمثلث.

الهندسة الإقليدية بناءة . تؤكد الافتراضات 1 و 2 و 3 و 5 على وجود وتفرد بعض الأشكال الهندسية ، وهذه التأكيدات ذات طبيعة بناءة: أي أنه لم يتم إخبارنا فقط بوجود أشياء معينة ، ولكن تم إعطاؤنا أيضًا طرقًا لخلقها باستخدام ليس أكثر من بوصلة ومسطرة لا تحمل علامات . ^[8] وبهذا المعنى ، فإن الهندسة الإقليدية أكثر واقعية من العديد من الأنظمة البديهية الحديثة مثل نظرية المجموعات ، والتي تؤكد في كثير من الأحيان على وجود الأشياء دون توضيح كيفية بنائها ، أو حتى التأكيد على وجود أشياء لا يمكن بناؤها ضمن النظرية . ^[9] بالمعنى الدقيق للكلمة ، فإن الخطوط الموجودة على الورق هي نماذج للأشياء المحددة في النظام الرسمي ، وليست أمثلة لتلك الأشياء. على سبيل المثال ، الخط المستقيم الإقليدي ليس له عرض ، لكن أي خط مرسوم حقيقي سيكون كذلك. على الرغم من أن جميع علماء الرياضيات الحديثين تقريبًا يعتبرون الأساليب غير البناءة سليمة مثل الأساليب البناءة ، غالبًا ما حلت البراهين البناءة لإقليدس محل البراهين غير البناءة الخاطئة - على سبيل المثال ، بعض البراهين فيثاغورس التي تضمنت أرقامًا غير منطقية ، والتي تتطلب عادةً بيانًا مثل "اعثر على أكبر مقياس مشترك من ... " ^[10]

غالبًا ما يستخدم إقليدس الدليل بالتناقض . تسمح الهندسة الإقليدية أيضًا بطريقة التراكب ، حيث يتم نقل الشكل إلى نقطة أخرى في الفضاء. على سبيل المثال ، الاقتراح I.4 ، تطابق المثلث الضلع والزاوية ، تم إثباته عن طريق تحريك أحد المثلثين بحيث يتطابق أحد أضلاعه مع الضلع المتساوي للمثلث الآخر ، ثم إثبات تطابق الأضلاع الأخرى أيضًا . تضيف بعض العلاجات الحديثة الافتراض السادس ، وهو صلابة المثلث ، والتي يمكن استخدامها كبديل للتراكب. ^[11]

الهندسة الإقليدية على نوعين الأساسية للقياسات: زاوية و مسافة . مقياس الزاوية مطلق ، ويستخدم إقليدس الزاوية اليمنى كوحدته الأساسية ، بحيث يُشار ، على سبيل المثال ، إلى زاوية 45 درجة على أنها نصف زاوية قائمة. مقياس المسافة نسبي ؛ يختار المرء بشكل تعسفي مقطعًا خطيًا بطول معين غير صفري كوحدة ، ويتم التعبير عن المسافات الأخرى فيما يتعلق به. يتم تمثيل إضافة المسافات ببناء يتم فيه نسخ جزء خطي واحد إلى نهاية مقطع خط آخر لتمديد طوله ، وبالمثل للطرح.

قياسات المنطقة و حجم مستمدة من المسافات. على سبيل المثال ، مستطيل بعرض 3 وطوله 4 له مساحة تمثل المنتج ، 12. نظرًا لأن هذا التفسير الهندسي للضرب كان مقتصرًا على ثلاثة أبعاد ، لم تكن هناك طريقة مباشرة لتفسير حاصل ضرب أربعة أو أكثر الأرقام ، وتجنب إقليدس مثل هذه المنتجات ، على الرغم من أنها ضمنية ، على سبيل المثال في إثبات الكتاب التاسع ، الاقتراح 20.

مثال على التطابق. الشكلان الموجودان على اليسار متطابقان ، في حين أن الشكل الثالث مشابه لهما. الرقم الأخير ليس أي منهما. Congruences يغير بعض الخصائص، مثل الموقع والتوجه، ولكن ترك الآخرين دون تغيير، مثل المسافة و الزوايا . النوع الأخير من الخصائص يسمى الثوابت ودراستها هو جوهر الهندسة.

يشير إقليدس إلى زوج من الخطوط ، أو زوج من الأشكال المستوية أو الصلبة ، على أنها "متساوية" () إذا كانت أطوالها أو مساحتها أو أحجامها متساوية على التوالي ، وبالمثل بالنسبة للزوايا. يشير المصطلح الأقوى " المتطابق " إلى فكرة أن الشكل بأكمله له نفس الحجم والشكل كشكل آخر. بدلاً من ذلك ، يتطابق شكلان إذا أمكن تحريك أحدهما فوق الآخر بحيث يتطابق معه تمامًا. (يُسمح بقلبها.) وهكذا ، على سبيل المثال ، مستطيل 2 × 6 ومستطيل 3 × 4 متساويان ولكنهما غير متطابقين ، والحرف R مطابق لصورته المعكوسة. يشار إلى الأرقام التي ستكون متطابقة باستثناء أحجامها المختلفة على أنها متشابهة . الزوايا المتناظرة في زوج من الأشكال المتشابهة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة مع بعضها البعض.

تسمية النقاط والأرقام

تتم تسمية النقاط عادةً باستخدام الأحرف الكبيرة من الأبجدية. تتم تسمية الأشكال الأخرى ، مثل الخطوط أو المثلثات أو الدوائر ، من خلال سرد عدد كافٍ من النقاط لاختيارها بشكل لا لبس فيه من الشكل ذي الصلة ، على سبيل المثال ، سيكون المثلث ABC عادةً مثلثًا برؤوسه عند النقاط A و B و C .

الزوايا التكميلية والتكميلية

تسمى الزوايا التي يكون مجموعها زاوية قائمة مكملة . تتشكل الزوايا التكميلية عندما يشترك شعاع في نفس الرأس ويتم توجيهه في اتجاه يقع بين الشعاعين الأصليين اللذين يشكلان الزاوية اليمنى. عدد الأشعة بين الشعاعين الأصليين لانهائي.

الزوايا التي مجموعها زاوية مستقيمة هي الزوايا التكميلية . تتشكل الزوايا التكميلية عندما يشترك شعاع في نفس الرأس ويتم توجيهه في اتجاه يقع بين الشعاعين الأصليين اللذين يشكلان الزاوية المستقيمة (زاوية 180 درجة). عدد الأشعة بين الشعاعين الأصليين لانهائي.

الإصدارات الحديثة من تدوين إقليدس

في المصطلحات الحديثة ، تُقاس الزوايا عادةً بالدرجات أو بالراديان .

غالبًا ما تحدد الكتب المدرسية الحديثة أشكالًا منفصلة تسمى الخطوط (لانهائية) والأشعة (شبه اللانهائية) ومقاطع الخط (ذات الطول المحدد). إقليدس ، بدلاً من مناقشة الشعاع ككائن يمتد إلى ما لا نهاية في اتجاه واحد ، يستخدم عادةً مواضع مثل "إذا تم تمديد الخط إلى طول كافٍ" ، على الرغم من أنه أشار أحيانًا إلى "الخطوط اللانهائية". يمكن أن يكون "الخط" في إقليدس إما مستقيمًا أو منحنيًا ، وقد استخدم المصطلح الأكثر تحديدًا "الخط المستقيم" عند الضرورة.

• 

  و بونس asinorum أو جسر تقويم نظرية " الدول التي في متساوي الساقين مثلث، α = β وγ = δ.

• 

  في زاوية مثلث مبلغ نظرية تنص على أن مجموع زوايا ثلاث من أي مثلث، في هذه الحالة زوايا α، β، γ و، ودائما يساوي 180 درجة.

• 

  و نظرية فيثاغورس الدول أن مجموع مناطق الساحات اثنين على الساقين ( و و ب ) من مثلث قائم الزاوية يساوي مساحة المربع على وتر ( ج ).

• 

  تنص نظرية طاليس على أنه إذا كان AC قطرًا ، فإن الزاوية عند B هي الزاوية القائمة.

بونس أسينوروم

ينص pons asinorum ( جسر الحمير ) على أنه في المثلثات متساوية الساقين ، تكون الزوايا عند القاعدة متساوية مع بعضها البعض ، وإذا تم إنتاج الخطوط المستقيمة المتساوية أكثر ، فإن الزوايا الموجودة أسفل القاعدة تتساوى مع بعضها البعض. ^[12] قد يُعزى اسمها إلى دورها المتكرر كأول اختبار حقيقي في عناصر ذكاء القارئ وكجسر إلى الافتراضات الأصعب التي تلت ذلك. قد يتم تسميته أيضًا بسبب تشابه الشكل الهندسي مع جسر شديد الانحدار لا يستطيع عبوره إلا حمار مؤكد القدم. ^[13]

تطابق المثلثات

يتم تحديد تطابق المثلثات من خلال تحديد جانبين والزاوية بينهما (SAS) وزاويتين والجانب بينهما (ASA) أو زاويتين وجانب مجاور مناظر (AAS). ومع ذلك ، فإن تحديد جانبين وزاوية مجاورة (SSA) يمكن أن يؤدي إلى مثلثين ممكنين مميزين ما لم تكن الزاوية المحددة هي الزاوية اليمنى.

تكون المثلثات متطابقة إذا كانت الأضلاع الثلاثة متساوية (SSS) ، والجانبان والزاوية بينهما متساوية (SAS) ، أو زاويتان وجانب متساوٍ (ASA) (الكتاب الأول ، المقترحات 4 و 8 و 26). المثلثات ذات الزوايا الثلاث المتساوية (AAA) متشابهة ولكنها ليست بالضرورة متطابقة. أيضًا ، المثلثات التي لها ضلعان متساويان وزاوية مجاورة ليست بالضرورة متساوية أو متطابقة.

مجموع زاوية المثلث

مجموع زوايا المثلث يساوي زاوية مستقيمة (180 درجة). ^[14] يؤدي هذا إلى جعل المثلث متساوي الأضلاع ثلاث زوايا داخلية قياسها 60 درجة. كما أنه يتسبب في احتواء كل مثلث على زاويتين حادتين على الأقل وحتى زاوية منفرجة واحدة أو زاوية قائمة .

نظرية فيثاغورس

تنص نظرية فيثاغورس المشهورة (الكتاب الأول ، الاقتراح 47) على أنه في أي مثلث قائم الزاوية ، تكون مساحة المربع الذي يكون جانبه هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) مساويًا لمجموع مناطق المربعات التي تكون جوانبها الساقان (الجانبان اللذان يلتقيان بزاوية قائمة).

نظرية طاليس

تنص نظرية طاليس ، التي سميت على اسم تاليس من ميليتس ، على أنه إذا كانت A و B و C نقاطًا على دائرة حيث يكون الخط AC هو قطر الدائرة ، فإن الزاوية ABC هي الزاوية القائمة. افترض كانتور أن طاليس أثبت نظريته عن طريق إقليدس الكتاب الأول ، الاقتراح 32 بعد أسلوب إقليدس الكتاب الثالث ، العرض 31. ^{[15] [16]}

تحجيم المساحة والحجم

في المصطلحات الحديثة ، تتناسب مساحة الشكل المستوي مع مربع أي من أبعاده الخطية ، ${\ displaystyle A \ propto L ^ {2}}$، وحجم مادة صلبة للمكعب ، ${\ displaystyle V \ propto L ^ {3}}$. أثبت إقليدس هذه النتائج في حالات خاصة مختلفة مثل مساحة الدائرة ^[17] وحجم المادة الصلبة المتوازية السطوح. ^[18] حدد إقليدس بعض ، وليس كل ، ثوابت التناسب ذات الصلة. على سبيل المثال ، كان خليفته أرخميدس هو الذي أثبت أن الكرة بها ثلثي حجم الأسطوانة المحيطة. ^[19]

بسبب الوضع الأساسي للهندسة الإقليدية في الرياضيات ، من غير العملي إعطاء أكثر من عينة تمثيلية من التطبيقات هنا.

• 

  مساح يستخدم المستوى

• 

  تنطبق التعبئة الكروية على كومة من البرتقال .

• 

  المرآة المكافئة تسلط الضوء على أشعة الضوء المتوازية.

كما هو مقترح في أصل الكلمة ، كان المسح هو أحد الأسباب المبكرة للاهتمام بالهندسة ، ^[20] وتم استخدام بعض النتائج العملية من الهندسة الإقليدية ، مثل خاصية الزاوية اليمنى للمثلث 3-4-5 ، قبل فترة طويلة من إثباتها رسميًا. ^[21] الأنواع الأساسية للقياسات في الهندسة الإقليدية هي المسافات والزوايا ، وكلاهما يمكن قياسه مباشرة بواسطة مساح. تاريخيًا ، كانت المسافات تُقاس غالبًا بالسلاسل ، مثل سلسلة غونتر ، والزوايا باستخدام الدوائر المتدرجة ، وبعد ذلك ، المزواة .

تطبيق الهندسة الصلبة الإقليدية هو تحديد ترتيبات التعبئة ، مثل مشكلة إيجاد التعبئة الأكثر كفاءة للمجالات في أبعاد n. هذه المشكلة لها تطبيقات في اكتشاف الأخطاء وتصحيحها .

تستخدم البصريات الهندسية الهندسة الإقليدية لتحليل تركيز الضوء بواسطة العدسات والمرايا.

• 

  تستخدم الهندسة في الفن والعمارة.

• 

  يتكون برج الماء من مخروط واسطوانة ونصف كروي. يمكن حساب حجمه باستخدام الهندسة الصلبة.

• 

  يمكن استخدام الهندسة لتصميم الأوريغامي.

تستخدم الهندسة على نطاق واسع في الهندسة المعمارية .

يمكن استخدام الهندسة لتصميم الأوريغامي . بعض مشاكل البناء الكلاسيكية للهندسة مستحيلة باستخدام البوصلة والمسطرة ، ولكن يمكن حلها باستخدام الأوريجامي . ^[22]

يعتمد الكثير من CAD (التصميم بمساعدة الكمبيوتر) و CAM (التصنيع بمساعدة الكمبيوتر) على الهندسة الإقليدية. تتكون هندسة التصميم عادةً من أشكال تحدها الطائرات ، والأسطوانات ، والأقماع ، والتوري ، وما إلى ذلك. في الوقت الحاضر ، يعد CAD / CAM ضروريًا في تصميم كل شيء تقريبًا ، بما في ذلك السيارات والطائرات والسفن والهواتف الذكية. قبل بضعة عقود ، تعلم الرسامون المحنكون بعض الهندسة الإقليدية المتقدمة إلى حد ما ، بما في ذلك أشياء مثل نظرية باسكال ونظرية بريانشون. لكنهم الآن ليسوا مضطرين لذلك ، لأن الإنشاءات الهندسية تتم بواسطة برامج CAD.

يعتقد إقليدس أن بديهياته كانت تصريحات بديهية عن الواقع المادي. تعتمد براهين إقليدس على افتراضات ربما لم تكن واضحة في البديهيات الأساسية لإقليدس ، ^{[23] على} وجه الخصوص أن حركات معينة للأشكال لا تغير خصائصها الهندسية مثل أطوال الأضلاع والزوايا الداخلية ، ما يسمى بالحركات الإقليدية ، والتي تتضمن الترجمات ، تأملات وتناوب الأرقام. ^[24] يؤخذ على أنه وصف مادي للفضاء ، افترض 2 (تمديد خط) يؤكد أن الفضاء ليس به ثقوب أو حدود ؛ افتراض 4 (تساوي الزوايا اليمنى) يقول أن الفضاء متناحي الخواص ويمكن نقل الأشكال إلى أي مكان مع الحفاظ على التطابق ؛ وافترض 5 ( الافتراض الموازي ) أن الفضاء مسطح (ليس له انحناء جوهري ). ^[25]

كما نوقش بمزيد من التفصيل أدناه ، فإن نظرية النسبية لألبرت أينشتاين تعدل بشكل كبير وجهة النظر هذه.

إن الطابع الغامض للبديهيات كما صاغها في الأصل إقليدس يجعل من الممكن للمعلقين المختلفين الاختلاف حول بعض مضامينها الأخرى على بنية الفضاء ، مثل ما إذا كان لا نهائيًا أم لا ^[26] (انظر أدناه) وماهي طوبولوجيته هو. تهدف عمليات إعادة الصياغة الحديثة والأكثر صرامة للنظام ^[27] عادةً إلى فصل أنظف لهذه القضايا. عند تفسير بديهيات إقليدس بروح هذا النهج الأكثر حداثة ، تتوافق البديهيات 1-4 مع الفضاء اللانهائي أو المحدود (كما هو الحال في الهندسة الإهليلجية ) ، وجميع البديهيات الخمس متوافقة مع مجموعة متنوعة من الطوبولوجيا (على سبيل المثال ، مستوي ، أسطوانة ، أو طارة للهندسة الإقليدية ثنائية الأبعاد).

أرخميدس وأبولونيوس

كرة لها ثلثي حجم ومساحة أسطوانة المحيط بها. تم وضع كرة وأسطوانة على قبر أرخميدس بناءً على طلبه.

يُذكر أرخميدس (حوالي 287 قبل الميلاد - 212 قبل الميلاد) ، وهو شخصية ملونة تم تسجيل العديد من الحكايات التاريخية عنها ، جنبًا إلى جنب مع إقليدس كواحد من أعظم علماء الرياضيات القدامى. على الرغم من أن إقليدس وضع أسس عمله ، إلا أنه يُعتقد أن عمله كان أصليًا تمامًا على عكس عمل إقليدس. ^[28] أثبت معادلات لأحجام ومساحات الأشكال المختلفة في بعدين وثلاثة أبعاد ، وأعلن خاصية أرخميدس للأعداد المحدودة.

Apollonius of Perga (حوالي 262 قبل الميلاد - حوالي 190 قبل الميلاد) معروف بشكل أساسي بتحقيقه في المقاطع المخروطية.

ديكارت رينيه. بورتريه بعد فرانس هالس ، ١٦٤٨.

القرن السابع عشر: ديكارت

طور رينيه ديكارت (1596-1650) الهندسة التحليلية ، وهي طريقة بديلة لإضفاء الطابع الرسمي على الهندسة التي ركزت على تحويل الهندسة إلى جبر. ^[29]

في هذا النهج ، يتم تمثيل نقطة على مستوى بإحداثياتها الديكارتية ( س ، ص ) ، ويتم تمثيل الخط بمعادلته ، وهكذا.

في النهج الأصلي لإقليدس ، تتبع نظرية فيثاغورس من بديهيات إقليدس. في النهج الديكارتي ، البديهيات هي بديهيات الجبر ، والمعادلة التي تعبر عن نظرية فيثاغورس هي بعد ذلك تعريف لأحد المصطلحات في بديهيات إقليدس ، والتي تعتبر الآن نظريات.

المعادلة

${\ displaystyle | PQ | = {\ sqrt {(p_ {x} -q_ {x}) ^ {2} + (p_ {y} -q_ {y}) ^ {2}}} \،}$

يُعرف بعد ذلك تحديد المسافة بين نقطتين P = ( p _x ، p _y ) و Q = ( q _x ، q _y ) بالمقياس الإقليدي ، وتحدد المقاييس الأخرى الأشكال الهندسية غير الإقليدية .

فيما يتعلق بالهندسة التحليلية ، فإن تقييد الهندسة الكلاسيكية على إنشاءات البوصلة والمسطرة يعني تقييدًا للمعادلات من الدرجة الأولى والثانية ، على سبيل المثال ، y = 2 x + 1 (a line) ، أو x ² + y ² = 7 ( دائرة).

أيضًا في القرن السابع عشر ، قدم جيرارد ديسارغ ، بدافع من نظرية المنظور ، مفهوم النقاط والخطوط والمستويات المثالية في اللانهاية. يمكن اعتبار النتيجة نوعًا من الهندسة المعممة ، والهندسة الإسقاطية ، ولكن يمكن أيضًا استخدامها لإنتاج البراهين في الهندسة الإقليدية العادية التي يتم فيها تقليل عدد الحالات الخاصة. ^[30]

تربيع الدائرة: مساحتا هذا المربع وهذه الدائرة متساويتان. في عام 1882 ، ثبت أن هذا الرقم لا يمكن بناؤه في عدد محدود من الخطوات باستخدام بوصلة مثالية واستقامة .

القرن ال 18

كافحت مقاييس القرن الثامن عشر لتحديد حدود النظام الإقليدي. حاول الكثيرون دون جدوى إثبات الافتراض الخامس من الأربعة الأولى. بحلول عام 1763 ، تم نشر ما لا يقل عن 28 دليلًا مختلفًا ، ولكن تم العثور على جميع الأدلة غير صحيحة. ^[31]

في الفترة التي سبقت هذه الفترة ، حاولت المقاييس الهندسية أيضًا تحديد الإنشاءات التي يمكن إنجازها في الهندسة الإقليدية. على سبيل المثال ، مشكلة تثليث الزاوية بالبوصلة والاستقامة هي مشكلة تحدث بشكل طبيعي داخل النظرية ، حيث تشير البديهيات إلى عمليات بناءة يمكن تنفيذها باستخدام تلك الأدوات. ومع ذلك ، فشلت قرون من الجهود في إيجاد حل لهذه المشكلة ، حتى نشر بيير وانتزل دليلاً في عام 1837 على أن مثل هذا البناء كان مستحيلاً. وتشمل المنشآت الأخرى التي ثبت المستحيل مضاعفة المكعب و تربيع الدائرة . في حالة مضاعفة المكعب ، تنشأ استحالة البناء من حقيقة أن طريقة البوصلة والتسوية تتضمن معادلات يكون ترتيبها قوة تكاملية لاثنين ، ^[32] بينما تتطلب مضاعفة مكعب حل معادلة من الدرجة الثالثة .

ناقش أويلر تعميمًا للهندسة الإقليدية المسمى الهندسة الأفينية ، والتي تحتفظ بالفرضية الخامسة غير المعدلة مع إضعاف الافتراضات الثلاثة والرابعة بطريقة تلغي مفاهيم الزاوية (حيث تصبح المثلثات اليمنى بلا معنى) والمساواة في طول مقاطع الخط بشكل عام ( من أين تصبح الدوائر بلا معنى) مع الاحتفاظ بمفاهيم التوازي كعلاقة تكافؤ بين الخطوط ، والمساواة في طول مقاطع الخطوط المتوازية (لذلك تستمر مقاطع الخط في الحصول على نقطة وسط).

القرن التاسع عشر والهندسة غير الإقليدية

مقارنة بين الأشكال الهندسية البيضاوية والإقليدية والزائدية في بعدين

في القرن 19 في وقت مبكر، كارنو و موبيوس وضعت منهجية استخدام زوايا وقعت وشرائح الخط كوسيلة لتبسيط وتوحيد النتائج. ^[33]

حدث تطور في القرن الأكثر أهمية في الهندسة عند حوالي 1830، يانوس بولياي و نيكولاي وباتشيفسكي نشرت منفصلة العمل في الهندسة غير الإقليدية ، حيث مسلمة موازية غير صالح. ^[34] نظرًا لأن الهندسة غير الإقليدية متوافقة نسبيًا مع الهندسة الإقليدية ، فلا يمكن إثبات الافتراض الموازي من الافتراضات الأخرى.

في القرن التاسع عشر ، تم إدراك أن بديهيات إقليدس العشر والمفاهيم الشائعة لا تكفي لإثبات جميع النظريات المذكورة في العناصر . على سبيل المثال ، افترض إقليدس ضمنيًا أن أي سطر يحتوي على نقطتين على الأقل ، لكن هذا الافتراض لا يمكن إثباته من البديهيات الأخرى ، وبالتالي يجب أن يكون بديهيًا بحد ذاته. أول دليل هندسي في العناصر ، كما هو موضح في الشكل أعلاه ، هو أن أي قطعة مستقيمة هي جزء من مثلث ؛ يبني إقليدس هذا بالطريقة المعتادة ، عن طريق رسم دوائر حول كلتا نقطتي النهاية وأخذ تقاطعهما كرأس ثالث . ومع ذلك ، فإن بديهياته لا تضمن أن الدوائر تتقاطع فعليًا ، لأنها لا تؤكد الخاصية الهندسية للاستمرارية ، والتي تعادل في المصطلحات الديكارتية خاصية الاكتمال للأرقام الحقيقية. بدءا موريتز باش في عام 1882، وقد اقترح العديد من الأنظمة البديهي محسنة للهندسة، أشهرها يجري تلك هلبرت ، ^[35] جورج Birkhoff ، ^[36] و Tarski . ^[37]

القرن العشرين والنسبية

دحض للهندسة الإقليدية كوصف للفضاء المادي. في اختبار عام 1919 للنظرية النسبية العامة ، تم تصوير النجوم (المميزة بخطوط أفقية قصيرة) أثناء كسوف الشمس . انعكست أشعة ضوء النجوم بفعل جاذبية الشمس في طريقها إلى الأرض. يتم تفسير هذا كدليل لصالح تنبؤ أينشتاين بأن الجاذبية ستسبب انحرافات عن الهندسة الإقليدية.

آينشتاين نظرية النسبية الخاصة ينطوي على رباعي الأبعاد الزمكان ، و فضاء مينكوفسكي ، وهو غير الإقليدية . يوضح هذا أن الأشكال الهندسية غير الإقليدية ، التي تم تقديمها قبل بضع سنوات لإثبات أنه لا يمكن إثبات الفرضية الموازية ، مفيدة أيضًا لوصف العالم المادي.

ومع ذلك ، فإن "الجزء الفضائي" ثلاثي الأبعاد من فضاء مينكوفسكي يظل فضاء الهندسة الإقليدية. ليس هذا هو الحال مع النسبية العامة ، حيث أن هندسة الجزء المكاني من الزمكان ليست هندسة إقليدية. ^[38] على سبيل المثال ، إذا تم إنشاء المثلث من ثلاثة أشعة ضوئية ، فإن الزوايا الداخلية عمومًا لا تساوي 180 درجة بسبب الجاذبية. يتم تمثيل مجال الجاذبية الضعيف نسبيًا ، مثل مجال الأرض أو الشمس ، بمقياس يكون تقريبًا إقليديًا ، ولكن ليس تمامًا. حتى القرن العشرين ، لم تكن هناك تقنية قادرة على اكتشاف الانحرافات عن الهندسة الإقليدية ، لكن أينشتاين تنبأ بوجود مثل هذه الانحرافات. تم التحقق منها لاحقًا من خلال ملاحظات مثل الانحناء الطفيف لضوء النجوم بواسطة الشمس خلال كسوف الشمس في عام 1919 ، وهذه الاعتبارات هي الآن جزء لا يتجزأ من البرنامج الذي يدير نظام GPS . ^[39]

كائنات لانهائية

يميز إقليدس أحيانًا صراحةً بين "الخطوط المحدودة" (على سبيل المثال ، افترض 2) و " الخطوط اللانهائية " (الكتاب الأول ، الاقتراح 12). ومع ذلك ، فهو عادة لا يقوم بمثل هذه الفروق إلا إذا كانت ضرورية. لا تشير المسلمات صراحةً إلى الخطوط اللانهائية ، على الرغم من أن بعض المعلقين على سبيل المثال يفسرون الافتراض 3 ، وجود دائرة بأي نصف قطر ، على أنه يعني ضمناً أن الفضاء غير محدود. ^[26]

سبق أن نوقشت فكرة الكميات المتناهية الصغر على نطاق واسع من قبل المدرسة الإيلية ، لكن لم يتمكن أحد من وضعها على أساس منطقي ثابت ، مع وجود مفارقات مثل مفارقة زينو التي لم يتم حلها بشكل يرضي الجميع. استخدم إقليدس طريقة الإنهاك بدلاً من اللامتناهيات في الصغر. ^[40]

في وقت لاحق من المعلقين القديمة، مثل بروكلوس (410-485 م)، عالج العديد من الأسئلة حول ما لا نهاية كما مسائل تتطلب دليلا و، على سبيل المثال، ادعى بروكلوس لإثبات القسمة لا حصر له من خط، على أساس البرهان بالتناقض الذي اعتبره الحالات من الأعداد الزوجية والفردية من النقاط التي تشكلها. ^[41]

في مطلع القرن 20، أوتو ستولتز ، بول دو بوا-ريمون ، جوزيبي نضرة ، وغيرها إنتاج العمل المثير للجدل على غير أرخميدس نماذج من الهندسة الإقليدية، حيث المسافة بين نقطتين قد يكون بلا حدود أو متناهية الصغر، في نيوتن - حاسة لايبنيز . ^{[42] بعد} خمسين عامًا ، قدم أبراهام روبنسون أساسًا منطقيًا صارمًا لعمل فيرونيز. ^[43]

عمليات لا حصر لها

أحد الأسباب التي دفعت القدماء إلى التعامل مع الفرضية الموازية على أنها أقل تأكيدًا من الآخرين هو أن التحقق من ذلك فعليًا يتطلب منا فحص سطرين للتحقق من عدم تقاطعهما أبدًا ، حتى في نقطة بعيدة جدًا ، وقد يستغرق هذا الفحص قدرًا لا نهائيًا من الوقت. ^[44]

لم يتم تطوير الصياغة الحديثة للإثبات عن طريق الاستقراء حتى القرن السابع عشر ، لكن بعض المعلقين اللاحقين يعتبرونها ضمنية في بعض براهين إقليدس ، على سبيل المثال ، إثبات اللانهائية للأعداد الأولية. ^[45]

المفارقات المفترضة التي تنطوي على سلسلة لا نهائية ، مثل مفارقة زينو ، سبقت إقليدس. تجنب إقليدس مثل هذه المناقشات ، حيث أعطى ، على سبيل المثال ، التعبير عن المبالغ الجزئية للسلسلة الهندسية في IX.35 دون التعليق على إمكانية ترك عدد المصطلحات يصبح غير محدود.

المنطق الكلاسيكي

استخدم إقليدس بشكل متكرر طريقة الإثبات بالتناقض ، وبالتالي فإن العرض التقليدي للهندسة الإقليدية يفترض المنطق الكلاسيكي ، حيث يكون كل اقتراح إما صحيحًا أو خاطئًا ، أي بالنسبة لأي اقتراح P ، يكون الاقتراح "P أو ليس P" صحيحًا تلقائيًا .

المعايير الحديثة للصرامة

كان وضع الهندسة الإقليدية على أساس بديهي صلب هو الشغل الشاغل لعلماء الرياضيات لعدة قرون. ^[46] دور المفاهيم البدائية ، أو المفاهيم غير المحددة ، تم طرحه بوضوح من قبل أليساندرو بادوا من وفد بيانو في مؤتمر باريس عام 1900: ^{[46] [47]}

... عندما نبدأ في صياغة النظرية ، يمكننا أن نتخيل أن الرموز غير المحددة خالية تمامًا من المعنى وأن الافتراضات غير المثبتة هي ببساطة شروط مفروضة على الرموز غير المحددة.

ومن ثم ، فإن نظام الأفكار الذي اخترناه في البداية هو مجرد تفسير واحد للرموز غير المحددة ؛ لكن .. هذا التفسير يمكن أن يتجاهله القارئ ، الذي له الحرية في استبداله في عقله بتفسير آخر .. يفي بالشروط ...

وهكذا تصبح الأسئلة المنطقية مستقلة تمامًا عن الأسئلة التجريبية أو النفسية ...

يمكن بعد ذلك اعتبار نظام الرموز غير المحددة بمثابة تجريد تم الحصول عليه من النظريات المتخصصة التي تنتج عندما ... يتم استبدال نظام الرموز غير المحددة على التوالي بكل من التفسيرات ...

-  Padoa، Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers، avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconque

بمعنى أن الرياضيات هي معرفة مستقلة عن السياق ضمن إطار هرمي. كما قال برتراند راسل : ^[48]

إذا كانت فرضيتنا تدور حول أي شيء ، ولا تتعلق بشيء معين أو أكثر ، فإن استنتاجاتنا تشكل رياضيات. وبالتالي ، يمكن تعريف الرياضيات على أنها الموضوع الذي لا نعرف فيه أبدًا ما نتحدث عنه ، ولا ما إذا كان ما نقوله صحيحًا.

-  برتراند راسل ، الرياضيات والميتافيزيقيين

وتتراوح هذه النهج التأسيسية بين foundationalism و الشكلية .

تركيبات بديهية

الهندسة هي علم التفكير الصحيح للأرقام غير الصحيحة.

-  جورج بوليا ، كيفية حلها ، ص. 208

• بديهيات إقليدس: في رسالته إلى كلية ترينيتي ، كامبريدج ، لخص برتراند راسل الدور المتغير لهندسة إقليدس في أذهان الفلاسفة حتى ذلك الوقت. ^[49] لقد كان تعارضًا بين معرفة معينة ، مستقلة عن التجربة ، والتجريبية ، تتطلب مدخلات تجريبية. أصبحت هذه المسألة واضحة عندما تم اكتشاف أن الفرضية الموازية لم تكن بالضرورة صالحة وأن قابليتها للتطبيق كانت مسألة تجريبية ، وتحديد ما إذا كانت الهندسة القابلة للتطبيق إقليدية أم غير إقليدية .
• بديهيات هلبرت : بديهيات هلبرت كان الهدف من تحديد و بسيط و كامل مجموعة من المستقلين البديهيات التي يمكن استنتاجها النظريات الهندسية الأكثر أهمية. كانت الأهداف البارزة هي جعل الهندسة الإقليدية صارمة (تجنب الافتراضات الخفية) وتوضيح تداعيات الافتراض الموازي.
• بديهيات بيركوف: اقترح بيركوف أربعة افتراضات للهندسة الإقليدية التي يمكن تأكيدها تجريبيًا باستخدام المقياس والمنقلة. يعتمد هذا النظام بشكل كبير على خصائص الأعداد الحقيقية . ^{[50] [51] [52]} ومفاهيم زاوية و مسافة تصبح المفاهيم البدائية. ^[53]
• بديهيات تارسكي : عرّف ألفريد تارسكي (1902-1983) وطلابه الهندسة الإقليدية الأولية على أنها الهندسة التي يمكن التعبير عنها بمنطق من الدرجة الأولى ولا تعتمد على نظرية المجموعة لأساسها المنطقي ، ^{[54] على} النقيض من بديهيات هيلبرت ، التي تتضمن مجموعات النقاط. ^[55] أثبت تارسكي أن صياغته البديهية للهندسة الإقليدية الأولية متسقة وكاملة بمعنى معين : هناك خوارزمية يمكن إظهارها ، لكل اقتراح ، إما صحيحة أو خاطئة. ^[37] (هذا لا ينتهك نظرية جودل ، لأن الهندسة الإقليدية لا تستطيع وصف قدر كافٍ من الحساب لتطبيق النظرية. ^[56] ) وهذا يعادل إمكانية تقرير الحقول المغلقة الحقيقية ، والتي تعتبر الهندسة الإقليدية الأولية منها نموذج.

• الهندسة المطلقة
• الهندسة التحليلية
• بديهيات بيركوف
• نظام الإحداثيات الديكارتية
• بديهيات هلبرت
• هندسة الوقوع
• قائمة برامج الهندسة التفاعلية
• مساحة مترية
• الهندسة غير الإقليدية
• الهندسة مرتبة
• مسلمة موازية
• نظرية النوع

النظريات الكلاسيكية

• نظرية منصف الزاوية
• نظرية الفراشة
• نظرية سيفا
• صيغة هيرون
• نظرية مينيلوس
• دائرة من تسع نقاط
• نظرية فيثاغورس

• الكرة ، دبليو دبليو روس (1960). حساب قصير لتاريخ الرياضيات (الطبعة الرابعة. [إعادة طبع. المنشور الأصلي: لندن: ماكميلان وشركاه ، 1908] طبعة). نيويورك: منشورات دوفر. ص 50 -  62 . رقم ISBN 0-486-20630-0.
• كوكستر ، HSM (1961). مقدمة في الهندسة . نيويورك: وايلي.
• إيفز ، هوارد (1963). مسح للهندسة (المجلد الأول) . ألين وبيكون.
• هيث ، توماس ل. (1956). ثلاثة عشر كتابًا عن عناصر إقليدس (الطبعة الثانية. [فاكس. المنشور الأصلي: مطبعة جامعة كامبريدج ، 1925] طبعة). نيويورك: منشورات دوفر.في 3 مجلدات: المجلد. 1 ISBN  0-486-60088-2 ، المجلد. 2 ISBN  0-486-60089-0 ، المجلد. 3 ردمك  0-486-60090-4 . ترجمة هيث الموثوقة لعناصر إقليدس ، بالإضافة إلى بحثه التاريخي الشامل وتعليقه المفصل في جميع أنحاء النص.
• ميسنر ، تشارلز و . ثورن ، كيب س . ويلر ، جون أرشيبالد (1973). الجاذبية . WH فريمان.
• ملودينو (2001). نافذة إقليدس . الصحافة الحرة.
• ناجل ، إي. نيومان ، جيه آر (1958). دليل جودل . مطبعة جامعة نيويورك.
• تارسكي ، ألفريد (1951). طريقة القرار في الجبر والهندسة الابتدائية . جامعة. مطبعة كاليفورنيا.

• "الهندسة الإقليدية" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]
• "علم المثلثات المستوي" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]
• كيران كيدلايا ، Geometry Unbound (علاج باستخدام الهندسة التحليلية ؛ تنسيق PDF ، مرخص من GFDL)