الفضاء الإقليدي

تاريخ التعريف

قدم الإغريق القدماء الفضاء الإقليدي باعتباره تجريدًا لمساحتنا المادية. كان ابتكارهم العظيم ، الذي ظهر في عناصر إقليدس ، هو بناء وإثبات كل الهندسة من خلال البدء من بعض الخصائص الأساسية للغاية ، والتي يتم تجريدها من العالم المادي ، ولا يمكن إثباتها رياضياً بسبب نقص الأدوات الأساسية. تسمى هذه الخصائص المسلمات أو البديهيات في اللغة الحديثة. لا تزال طريقة تحديد الفضاء الإقليدي قيد الاستخدام تحت اسم الهندسة التركيبية .

في عام 1637 ، قدم رينيه ديكارت الإحداثيات الديكارتية وأظهر أن هذا يسمح بتقليل المشكلات الهندسية إلى الحسابات الجبرية بالأرقام. كان هذا التقليل من الهندسة إلى الجبر تغييرًا رئيسيًا في وجهة النظر ، لأنه حتى ذلك الحين ، تم تعريف الأعداد الحقيقية - أي الأعداد المنطقية والأعداد غير المنطقية معًا - من حيث الهندسة ، مثل الأطوال والمسافة.

لم يتم تطبيق الهندسة الإقليدية في مساحات أكثر من ثلاثة أبعاد حتى القرن التاسع عشر. قام Ludwig Schläfli بتعميم الهندسة الإقليدية على مسافات ذات أبعاد n باستخدام كل من الطرق التركيبية والجبرية ، واكتشف جميع polytopes العادية (نظائرها ذات الأبعاد الأعلى للمواد الصلبة الأفلاطونية ) الموجودة في المساحات الإقليدية من أي عدد من الأبعاد. ^[4]

على الرغم من الاستخدام الواسع لنهج ديكارت ، والذي كان يسمى الهندسة التحليلية ، ظل تعريف الفضاء الإقليدي دون تغيير حتى نهاية القرن التاسع عشر. سمح إدخال مساحات المتجهات المجردة باستخدامها في تحديد المساحات الإقليدية بتعريف جبري بحت. لقد ثبت أن هذا التعريف الجديد مكافئ للتعريف الكلاسيكي من حيث البديهيات الهندسية. هذا هو التعريف الجبري الذي يستخدم الآن في أغلب الأحيان لإدخال الفراغات الإقليدية.

الدافع للتعريف الحديث

تتمثل إحدى طرق التفكير في المستوى الإقليدي في مجموعة من النقاط التي ترضي علاقات معينة ، ويمكن التعبير عنها من حيث المسافة والزوايا. على سبيل المثال ، هناك عمليتان أساسيتان (يشار إليهما بالحركات ) على المستوى. إحداها هي الترجمة ، والتي تعني إزاحة المستوى بحيث يتم إزاحة كل نقطة في نفس الاتجاه وبنفس المسافة. والآخر هو الدوران حول نقطة ثابتة في المستوى ، حيث تدور جميع النقاط في المستوى حول تلك النقطة الثابتة من خلال نفس الزاوية. أحد المبادئ الأساسية للهندسة الإقليدية هو أن شكلين (يُعتبران عادةً مجموعات فرعية ) من المستوى يجب اعتبارهما متكافئين ( متطابقين ) إذا كان من الممكن تحويل أحدهما إلى الآخر من خلال تسلسل معين من الترجمات والدورات والانعكاسات (انظر أدناه ).

من أجل جعل كل هذا دقيقًا رياضيًا ، يجب أن تحدد النظرية بوضوح ما هو الفضاء الإقليدي ، والمفاهيم ذات الصلة للمسافة والزاوية والترجمة والدوران. حتى عند استخدامها في النظريات الفيزيائية ، فإن الفضاء الإقليدي هو تجريد منفصل عن المواقع المادية الفعلية ، والأطر المرجعية المحددة ، وأدوات القياس ، وما إلى ذلك. إن التعريف الرياضي البحت للفضاء الإقليدي يتجاهل أيضًا أسئلة وحدات الطول والأبعاد المادية الأخرى : المسافة في الفضاء "الرياضي" هي رقم ، وليس شيئًا معبرًا عنه بالبوصة أو الأمتار.

تتمثل الطريقة القياسية لتعريف الفضاء الإقليدي رياضيًا ، كما تم تنفيذه في الجزء المتبقي من هذه المقالة ، في تحديد الفضاء الإقليدي كمجموعة من النقاط التي تعمل على مساحة متجهية حقيقية ، وهي مساحة الترجمات المجهزة بمنتج داخلي . ^[1] عمل الترجمات يجعل الفضاء مساحة أفقية ، وهذا يسمح بتحديد الخطوط والمستويات والفئات الفرعية والأبعاد والتوازي . المنتج الداخلي يسمح بتحديد المسافة والزوايا.

مجموعة ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$من n -tuples من الأعداد الحقيقية المجهزة بحاصل الضرب النقطي هي مساحة إقليدية ذات أبعاد n . على العكس من ذلك، واختيار من نقطة تسمى أصل و أساس المتعامدة المعيرة للفضاء ترجمة ما يعادل مع تحديد و التماثل بين الفضاء الإقليدية البعد ن و${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ينظر إليها على أنها فضاء إقليدي.

يترتب على ذلك أن كل ما يمكن قوله عن الفضاء الإقليدي يمكن أن يقال عنه أيضًا ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ لذلك ، فإن العديد من المؤلفين ، وخاصة في المرحلة الابتدائية ، يسمعون ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$في الفضاء القياسية الإقليدية البعد ن ، ^[5] أو ببساطة في الفضاء الإقليدية البعد ن .

سبب لتقديم مثل هذا التعريف المجرد للمساحات الإقليدية ، والعمل معها بدلاً من ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$غير أنه في كثير من الأحيان أفضل من العمل الذي مجانا تنسيق، و خالية من أصل نحو (أي، دون اختيار أساس المفضل وأصل مفضل). سبب آخر هو أنه لا يوجد أصل ولا أي أساس في العالم المادي.

التعريف الفني

أ فضاء المتجه الإقليدي هو فضاء منتج داخليمحدود الأبعادفوقالأعداد الحقيقية.

A مساحة الإقليدية هو فضاء تآلفي على ريال مثل أن المساحة ناقلات يرتبط بها من فضاء متجهة. تسمى المساحات الإقليدية أحيانًا المساحات الأفينية الإقليدية لتمييزها عن المساحات المتجهية الإقليدية. ^[6]

إذا كانت E هي مساحة إقليدية ، فغالبًا ما يتم الإشارة إلى مساحة المتجه المرتبطة بها${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}.}$و البعد من الفضاء الإقليدية هو البعد من الفضاء ناقلات المرتبطة بها.

تسمى عناصر E بالنقاط وعادة ما يتم الإشارة إليها بأحرف كبيرة. عناصر${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$تسمى نواقل إقليدية أو ناقلات حرة . فهي تسمى أيضا ترجمة ، على الرغم من يتحدث بشكل صحيح، و الترجمة هي التحول الهندسي الناتجة من عمل من متجهة على مساحة الإقليدية.

يوفر إجراء الترجمة v على النقطة P نقطة تدل على P + v . يرضي هذا الإجراء

${\ displaystyle P + (v + w) = (P + v) + w}$

(ثاني + في الجانب الأيسر عبارة عن إضافة متجهية ؛ كل + الأخرى تشير إلى عمل متجه على نقطة. هذا الترميز ليس غامضًا ، لأنه للتمييز بين معني + ، يكفي النظر إليه طبيعة حجته اليسرى.)

حقيقة أن العمل هو وسيلة حرة ومتعدية أن كل زوج من نقاط ( P ، Q ) هناك بالضبط متجه واحد ضد هذا أن P + V = Q . يتم الإشارة إلى هذا المتجه v Q - P أو${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}}.}$

كما أوضحنا سابقًا ، فإن بعض الخصائص الأساسية للمساحات الإقليدية ناتجة عن بنية الفضاء الأفيني. تم وصفها في § هيكل Affine وأقسامها الفرعية. يتم شرح الخصائص الناتجة عن المنتج الداخلي في § الهيكل المتري وأقسامه الفرعية.

بالنسبة لأي فضاء متجه ، تعمل الإضافة بحرية وعابرة على مساحة المتجه نفسها. وبالتالي يمكن النظر إلى الفضاء المتجه الإقليدي على أنه مساحة إقليدية لها نفسها كمساحة ناقل مرتبطة.

الحالة النموذجية للفضاء الإقليدي المتجه هي ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ينظر إليها على أنها متجهة فراغ مجهزة المنتج دوت باعتبارها المنتج الداخلي . تكمن أهمية هذا المثال الخاص للفضاء الإقليدي في حقيقة أن كل مساحة إقليدية متشابهة بالنسبة لها. بشكل أكثر تحديدا، نظرا لمساحة الإقليدية E من البعد ن ، واختيار نقطة، ودعا إلى أصل و أساس المتعامدة المعيرة لل${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$يعرّف تماثلًا للمساحات الإقليدية من E إلى${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

بما أن كل مساحة إقليدية ذات بعد n متشابهة بالنسبة لها ، الفضاء الإقليدي${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$يُطلق عليه أحيانًا اسم الفضاء الإقليدي القياسي ذي البعد n . ^[5]

بعض الخصائص الأساسية للمساحات الإقليدية تعتمد فقط على حقيقة أن الفضاء الإقليدي هو فضاء أفيني . يطلق عليها خصائص أفيني وتشمل مفاهيم الخطوط والفواصل الفرعية والتوازي ، والتي تم تفصيلها في الأقسام الفرعية التالية.

الفراغات

دع E يكون مساحة إقليدية و${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$ الفضاء المتجه المرتبط بها.

A شقة ، فضاء جزئي الإقليدية أو أفيني فضاء جزئي من E هي مجموعة فرعية F من E بحيث

${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = \ {{\ overrightarrow {PQ}} \ mid P \ in F، Q \ in F \}}$

هي مساحة جزئية خطية من${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}.}$الفضاء الجزئي الإقليدي F هو فضاء إقليدي به${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$كمساحة متجه مرتبطة. هذا الفضاء الجزئي الخطي${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$يسمى الاتجاه من F .

إذا كانت P نقطة من F إذن

${\ displaystyle F = \ {P + v \ mid v \ in {\ overrightarrow {F}} \}.}$

على العكس من ذلك ، إذا كانت P نقطة من E و V هي فضاء فرعي خطي لـ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}،}$ ومن بعد

${\ displaystyle P + V = \ {P + v \ mid v \ in V \}}$

هو فضاء إقليدي من الاتجاه الخامس .

مساحة متجه إقليدية (أي ، مساحة إقليدية من هذا القبيل ${\ displaystyle E = {\ overrightarrow {E}}}$) نوعان من المساحات الفرعية: فضاءاته الإقليدية والفراغات الخطية. المساحات الجزئية الخطية هي فضاءات إقليدية و الفضاء الجزئي الإقليدي هو فضاء جزئي خطي إذا وفقط إذا كان يحتوي على متجه صفري.

خطوط وشرائح

في الفضاء الإقليدي ، الخط هو فضاء إقليدي من البعد الأول. نظرًا لأن مساحة متجه ذات بُعد واحد ممتدة بواسطة أي متجه غير صفري ، فإن الخط هو مجموعة من النموذج

${\ displaystyle \ {P + \ lambda {\ overrightarrow {PQ}} \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R} \}،}$

حيث P و Q نقطتان متميزتان.

ويترتب على ذلك وجود خط واحد بالضبط يمر عبر (يحتوي) على نقطتين مميزتين. هذا يعني أن خطين متميزين يتقاطعان في نقطة واحدة على الأكثر.

تمثيل أكثر تناسقًا للخط الذي يمر عبر P و Q هو

${\ displaystyle \ {O + (1- \ lambda) {\ overrightarrow {OP}} + \ lambda {\ overrightarrow {OQ}} \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R} \}،}$

حيث O هي نقطة عشوائية (ليست ضرورية على الخط).

في الفضاء المتجه الإقليدي ، عادةً ما يتم اختيار المتجه الصفري لـ O ؛ هذا يسمح بتبسيط الصيغة السابقة إلى

${\ displaystyle \ {(1- \ lambda) P + \ lambda Q \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R} \}.}$

تسمح الاتفاقية القياسية باستخدام هذه الصيغة في كل مساحة إقليدية ، انظر مساحة Affine § مجموعات Affine ومركز barycenter .

و القطعة المستقيمة ، أو ببساطة جزء ، والانضمام إلى نقطة P و Q هو فرعية من النقاط بحيث 0 ≤ λ ≤ 1 في الصيغ السابقة. يرمز إلى PQ أو QP ؛ هذا هو

${\ displaystyle PQ = QP = \ {P + \ lambda {\ overrightarrow {PQ}} \ mid 0 \ leq \ lambda \ leq 1 \}.}$

تماثل

مساحتان فرعيتان S و T لهما نفس البعد في الفضاء الإقليدي يكونان متوازيان إذا كان لهما نفس الاتجاه. ^{[أ] على قدم} المساواة ، فهي متوازية ، إذا كان هناك متجه ترجمة v يعين أحدهما للآخر:

${\ displaystyle T = S + v.}$

بالنظر إلى النقطة P والفضاء الفرعي S ، يوجد بالضبط فضاء فرعي واحد يحتوي على P وهو موازي لـ S ، وهو${\ displaystyle P + {\ overrightarrow {S}}.}$في الحالة التي تكون فيها S عبارة عن خط (فضاء فرعي للبعد الأول) ، فإن هذه الخاصية هي بديهية Playfair .

ويترتب على ذلك أنه في المستوى الإقليدي ، يلتقي خطان في نقطة واحدة أو يكونان متوازيين.

امتد مفهوم المساحات الجزئية المتوازية إلى فضاءات فرعية ذات أبعاد مختلفة: فضاءتان فرعيتان متوازيتان إذا كان اتجاه أحدهما موجودًا في الاتجاه إلى الآخر.

الفضاء المتجه ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$المرتبطة بمساحة إقليدية E هي مساحة داخلية للمنتج . هذا يعني شكل خطي متماثل

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ overrightarrow {E}} \ times {\ overrightarrow {E}} & to \ mathbb {R} \\ (x، y) & \ mapsto \ langle x، y \ rangle \ نهاية {محاذاة}}}$

هذا أمر إيجابي محدد (أي${\ displaystyle \ langle x، x \ rangle}$يكون دائمًا موجبًا لـ x ≠ 0 ).

غالبًا ما يُطلق على المنتج الداخلي لمساحة إقليدية اسم المنتج النقطي ويُشار إليه بـ x ⋅ y . هذا هو الحال بشكل خاص عندما يتم اختيار نظام الإحداثيات الديكارتية ، لأنه ، في هذه الحالة ، يكون المنتج الداخلي لمتجهين هو المنتج النقطي لمتجهات الإحداثيات الخاصة بهما . لهذا السبب ، ولأسباب تاريخية ، يتم استخدام تدوين النقطة بشكل أكثر شيوعًا من تدوين الأقواس للمنتج الداخلي للمساحات الإقليدية. هذه المقالة سوف تتبع هذا الاستخدام ؛ هذا هو${\ displaystyle \ langle x، y \ rangle}$سيتم الإشارة إلى x ⋅ y في باقي هذه المقالة.

و القاعدة الإقليدية من ناقلات س هي

${\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}$

المنتج الداخلي والقاعدة يسمح التعبير وتثبت كل متري و الطوبوغرافية خصائص الهندسة الإقليدية . ^{[ بحاجة لمصدر ]} يصف القسم الفرعي التالي الأقسام الأساسية. في هذه الأقسام الفرعية ، تشير E إلى مساحة إقليدية عشوائية ، و${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$ يشير إلى الفضاء المتجه للترجمات.

المسافة والطول

على مسافة (أكثر بالضبط المسافة الإقليدية ) بين نقطتين من مساحة الإقليدية هي المعيار للناقلات الترجمة التي تعين نقطة واحدة إلى أخرى. هذا هو

${\ displaystyle d (P، Q) = \ | {\ overrightarrow {PQ}} \ |.}$

على طول شريحة PQ هو المسافة د ( P ، Q ) بين النهاية لها. غالبا ما يشار إليه${\ displaystyle | PQ |}$.

المسافة متري ، لأنها موجبة محددة ، ومتناسقة ، وتحقق متباينة المثلث

${\ displaystyle d (P، Q) \ leq d (P، R) + d (R، Q).}$

علاوة على ذلك ، تكون المساواة صحيحة إذا وفقط إذا كانت R تنتمي إلى الجزء PQ . تعني هذه المتباينة أن طول أي حافة في مثلث أصغر من مجموع أطوال الأضلاع الأخرى. هذا هو أصل مصطلح متباينة المثلث .

مع المسافة الإقليدية ، كل مساحة إقليدية هي مساحة مترية كاملة .

التعامد

متجهان غير صفريين u و v من${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$هي عمودي أو متعامد إذا ناتجها الداخلي هو صفر:

${\ displaystyle u \ cdot v = 0}$

فضاءان فرعيان خطيان من ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$تكون متعامدة إذا كان كل متجه غير صفري للواحد الأول متعامدًا مع كل متجه غير صفري للواحد الثاني. هذا يعني أن تقاطع الفضاء الجزئي الخطي يتم تقليله إلى المتجه الصفري.

سطرين ، وبشكل أكثر عمومية ، فضاءان إقليديان متعامدان إذا كان اتجاههما متعامدًا. يُقال أن خطين متعامدين يتقاطعان متعامدين .

الجزءان AB و AC اللذان يشتركان في نقطة نهاية مشتركة متعامدين أو يشكلان زاوية قائمة إذا كان المتجهان${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}$ و ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}$ متعامدة.

إذا كان AB و AC يشكلان زاوية قائمة ، فسيكون لدى المرء

${\ displaystyle | BC | ^ {2} = | AB | ^ {2} + | AC | ^ {2}.}$

هذه هي نظرية فيثاغورس . إثباتها سهل في هذا السياق ، حيث أنه ، عند التعبير عن هذا من حيث المنتج الداخلي ، يكون لدى المرء ، باستخدام ثنائية الخطية وتماثل المنتج الداخلي:

${\ displaystyle {\ begin {align} | BC | ^ {2} & = {\ overrightarrow {BC}} \ cdot {\ overrightarrow {BC}} \\ & = \ left ({\ overrightarrow {BA}} + { \ overrightarrow {AC}} \ right) \ cdot \ left ({\ overrightarrow {BA}} + {\ overrightarrow {AC}} \ right) \\ & = {\ overrightarrow {BA}} \ cdot {\ overrightarrow {BA }} + {\ overrightarrow {AC}} \ cdot {\ overrightarrow {AC}} - 2 {\ overrightarrow {AB}} \ cdot {\ overrightarrow {AC}} \\ & = {\ overrightarrow {AB}} \ cdot {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}} \ cdot {\ overrightarrow {AC}} \\ & = | AB | ^ {2} + | AC | ^ {2}. \ end {align}} }$

زاوية

الزوايا الموجبة والسالبة على المستوى الموجه

الزاوية (غير الموجهة) θ بين متجهين غير صفريين x و y في${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$ هو

${\ displaystyle \ theta = \ arccos \ left ({\ frac {x \ cdot y} {\ | x \ | | y \ |}} \ right)}$

حيث قوس جيب تمام الزاوية هي القيمة الأساسية لل قوس جيب وظيفة. بواسطة متباينة Cauchy – Schwarz ، حجة arccosine تقع في الفترة [1 ، 1] . لذلك θ حقيقية ، و 0 θ ≤ π (أو 0 θ ≤ 180 إذا كانت الزوايا تقاس بالدرجات).

الزوايا ليست مفيدة في الخط الإقليدي ، حيث يمكن أن تكون 0 أو π فقط .

في المستوى الإقليدي الموجه ، يمكن للمرء تحديد الزاوية الموجهة لمتجهين. الزاوية الموجهة للمتجهين x و y هي إذن معاكس للزاوية الموجهة لـ y و x . في هذه الحالة ، يمكن أن تحتوي زاوية متجهين على أي قيمة مقومة لعدد صحيح مضاعف لـ 2 π . على وجه الخصوص، زاوية انعكاس π < θ <2 π تساوي زاوية سلبية - π < θ - 2 π <0 .

لا تتغير زاوية متجهين إذا تم ضربهما بأرقام موجبة. وبعبارة أدق، إذا س و ص هي متجهين، و λ و μ أعداد حقيقية، ثم

${\ displaystyle \ operatorname {angle} (\ lambda x، \ mu y) = {\ begin {cases} \ operatorname {angle} (x، y) \ qquad \ qquad {\ text {if}} \ lambda {\ text {and}} \ mu {\ text {لها نفس العلامة}} \\\ pi - \ operatorname {angle} (x، y) \ qquad {\ text {خلاف ذلك}}. \ end {cases}}}$

إذا كانت A و B و C ثلاث نقاط في الفضاء الإقليدي ، فإن زاوية المقطعين AB و AC هي زاوية المتجهات${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}$ و ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}.}$نظرًا لأن ضرب المتجهات بأرقام موجبة لا يغير الزاوية ، يمكن تحديد زاوية نصف خطين مع النقطة الأولية A : إنها زاوية المقطعين AB و AC ، حيث B و C نقطتان عشوائيتان ، واحد على كل نصف خط. على الرغم من أن هذا أقل استخدامًا ، يمكن للمرء تحديد زاوية المقاطع أو نصف الخطوط التي لا تشترك في النقاط الأولية بشكل مشابه.

يتم تحديد زاوية الخطين على النحو التالي. إذا كانت θ هي زاوية جزأين ، واحد على كل خط ، فإن زاوية أي جزئين آخرين ، واحد في كل سطر ، تكون إما θ أو π - θ . واحدة من هذه الزوايا هي في فترة [0، π / 2] ، وكائن آخر في [ π / 2، π ] . في زاوية الموجهة للغير من هذين الخطين هي واحدة في الفترة [0، π / 2] . في طائرة الإقليدية المنحى، و زاوية الموجهة لاثنين من خطوط تنتمي إلى الفترة [- π / 2، π / 2] .

الإحداثيات الديكارتية

كل فضاء متجه إقليدي له أساس متعامد (في الواقع ، عدد لانهائي في الأبعاد أعلى من واحد ، واثنان في البعد الأول) ، وهذا أساس ${\ displaystyle (e_ {1}، \ dots، e_ {n})}$من نواقل الوحدة (${\ displaystyle \ | e_ {i} \ | = 1}$) المتعامدة الزوجية (${\ displaystyle e_ {i} \ cdot e_ {j} = 0}$ل ط ≠ ي ). بتعبير أدق ، بالنظر إلى أي أساس ${\ displaystyle (b_ {1}، \ dots، b_ {n})،}$في عملية غرام شميت يحسب على أساس المتعامدة المعيرة مثل ذلك، لكل ط ، و يمتد خطية من${\ displaystyle (e_ {1}، \ dots، e_ {i})}$ و ${\ displaystyle (b_ {1}، \ dots، b_ {i})}$متساوية. ^[7]

بالنظر إلى الفضاء الإقليدي E ، فإن الإطار الديكارتي عبارة عن مجموعة من البيانات تتكون من أساس متعامد من${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}،}$ونقطة E ، ودعا الأصل ، وغالبا ما يرمز O . إطار ديكارتي${\ displaystyle (O، e_ {1}، \ dots، e_ {n})}$يسمح بتحديد إحداثيات ديكارتية لكل من E و${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$ بالطريقة الآتية.

الإحداثيات الديكارتية للمتجه v هي معاملات v على الأساس${\ displaystyle e_ {1}، \ dots، e_ {n}.}$وبما أن الأساس هو المتعامدة المعيرة، و أنا عشر معامل هو نقطة المنتج${\ displaystyle v \ cdot e_ {i}.}$

الإحداثيات الديكارتية لنقطة P من E هي الإحداثيات الديكارتية للمتجه${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}.}$

إحداثيات أخرى

إحداثيات الانحراف ثلاثي الأبعاد

نظرًا لأن الفضاء الإقليدي عبارة عن مساحة أفينية ، يمكن للمرء أن يفكر في إطار أفيني عليه ، وهو نفس الإطار الإقليدي ، باستثناء أن الأساس غير مطلوب ليكون متعامدًا. يحدد هذا الإحداثيات الأفينية ، والتي تسمى أحيانًا إحداثيات الانحراف للتأكيد على أن متجهات الأساس ليست متعامدة زوجيًا.

على أساس أفيني من مساحة الإقليدية البعد ن عبارة عن مجموعة من ن + 1 النقاط التي لا ترد في الفائق. يحدد أساس أفيني إحداثيات مركزية مركزية لكل نقطة.

يمكن تعريف العديد من أنظمة الإحداثيات الأخرى في الفضاء الإقليدي E ذي البعد n بالطريقة التالية. لنفترض أن f يكون تماثل الشكل (أو في كثير من الأحيان ، تعدد الأشكال ) من مجموعة فرعية كثيفة مفتوحة من E إلى مجموعة فرعية مفتوحة من${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$و الإحداثيات من نقطة العاشر من E هي مكونات و ( س ) . في نظام الإحداثيات القطبية (البعد 2) و كروية و اسطوانية يتم تعريف نظم الإحداثيات (البعد 3) بهذه الطريقة.

بالنسبة للنقاط التي تقع خارج مجال f ، قد يتم تعريف الإحداثيات أحيانًا على أنها حد إحداثيات نقاط الجوار ، ولكن قد لا يتم تحديد هذه الإحداثيات بشكل فريد ، وقد لا تكون مستمرة في المنطقة المجاورة للنقطة. على سبيل المثال ، بالنسبة لنظام الإحداثيات الكروية ، لم يتم تحديد خط الطول عند القطب ، وعلى خط الطول المعادي ، يمر خط الطول بشكل متقطع من -180 درجة إلى + 180 درجة.

تمتد هذه الطريقة في تحديد الإحداثيات بسهولة إلى الهياكل الرياضية الأخرى ، وعلى وجه الخصوص إلى المشعبات .

إن التساوي بين مسافتين متريتين هو انحياز يحافظ على المسافة ، ^[ب] أي

${displaystyle d (f (x)، f (y)) = d (x، y).}$

في حالة الفضاء المتجه الإقليدي ، فإن القياس المتساوي الذي يحدد الأصل إلى الأصل يحافظ على القاعدة

${displaystyle | f (x) | = | x | |$

لأن معيار المتجه هو بعده عن المتجه الصفري. يحافظ أيضًا على المنتج الداخلي

${\ displaystyle f (x) \ cdot f (y) = x \ cdot y،}$

حيث

${\ displaystyle x \ cdot y = {\ frac {1} {2}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - | x \ | ^ {2} - | y \ | ^ { 2} حق).}$

إن قياس مسافات المتجهات الإقليدية هو تماثل خطي . ^{[ج] [8]}

تساوي القياس ${\ displaystyle f \ Colon E \ to F}$ من المساحات الإقليدية يحدد تساوي القياس ${\ displaystyle {\ overrightarrow {f}} \ colon {\ overrightarrow {E}} \ to {\ overrightarrow {F}}}$من مساحات المتجهات الإقليدية المرتبطة. هذا يعني أن مساحتين إقليديين متساوي القياس لهما نفس البعد. على العكس، إذا E و F هي المساحات الإقليدية، O ∈ E ، O ' ∈ F ، و${\ displaystyle {\ overrightarrow {f}} \ colon {\ overrightarrow {E}} \ to {\ overrightarrow {F}}}$ هو قياس متساوي ، ثم الخريطة ${\ displaystyle f \ Colon E \ to F}$ المعرفة من قبل

${\ displaystyle f (P) = O '+ {\ overrightarrow {f}} \ left ({\ overrightarrow {OP}} \ right)}$

هو قياس تساوي المساحات الإقليدية.

ويترتب على ذلك من النتائج السابقة أن قياس تساوي المسافات الإقليدية يرسم خطوطًا إلى خطوط ، وبشكل عام مساحات فرعية إقليدية إلى مساحات فرعية إقليدية من نفس البعد ، وأن تقييد التساوي على هذه المساحات الجزئية هو مقاييس متساوية لهذه الفراغات الفرعية.

قياس تساوي مع أمثلة نموذجية

إذا كانت E هي فضاء إقليدي ، فإن الفضاء المتجه المرتبط به${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$يمكن اعتباره فضاء إقليدي. تحدد كل نقطة O ∈ E قياس تساوي المساحات الإقليدية

${\ displaystyle P \ mapsto {\ overrightarrow {OP}}،}$

التي تعين O إلى المتجه الصفري ولها الهوية كخريطة خطية مرتبطة. التساوي العكسي هو الخريطة

${\ displaystyle v \ mapsto O + v.}$

إطار إقليدي ${\ displaystyle (O، e_ {1}، \ dots، e_ {n})}$ يسمح بتحديد الخريطة

${\ displaystyle {\ begin {align} E & to \ mathbb {R} ^ {n} \\ P & mapsto \ left (e_ {1} \ cdot {\ overrightarrow {OP}}، \ dots، e_ {n} \ cdot {\ overrightarrow {OP}} \ right)، \ end {align}}}$

وهو قياس تساوي المساحات الإقليدية. التساوي العكسي هو

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {R} ^ {n} & to E \\ (x_ {1} \ dots، x_ {n}) & \ mapsto \ left (O + x_ {1} e_ {1} + \ dots + x_ {n} e_ {n} \ right). \ end {align}}}$

هذا يعني أنه ، حتى التماثل ، هناك مساحة إقليدية واحدة لبعد معين.

هذا يبرر حديث العديد من المؤلفين ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$كما أن مساحة الإقليدية البعد ن .

المجموعة الإقليدية

يسمى قياس التماثل من الفضاء الإقليدي على نفسه بالتساوي الإقليدي ، أو التحول الإقليدي أو التحول الجامد . تشكل التحولات الجامدة للفضاء الإقليدي مجموعة (تحت التكوين ) ، تسمى المجموعة الإقليدية وغالبًا ما يشار إليها E ( n ) من ISO ( n ) .

أبسط التحولات الإقليدية هي الترجمات

${\ displaystyle P \ to P + v.}$

هم في مراسلات حيوية مع نواقل. هذا سبب لاستدعاء مساحة الترجمات مساحة المتجه المرتبطة بمساحة إقليدية. تشكل الترجمات مجموعة فرعية عادية من المجموعة الإقليدية.

يُعرّف القياس الإقليدي f للفضاء الإقليدي E مقياس التماثل الخطي${\ displaystyle {\ overrightarrow {f}}}$من الفضاء المتجه المرتبط (من خلال القياس الخطي ، يُقصد به قياس التساوي وهو أيضًا خريطة خطية ) بالطريقة التالية: الإشارة بواسطة Q - P إلى المتجه${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}}}$، إذا كانت O نقطة عشوائية من E ، فإن المرء لديه

${\ displaystyle {\ overrightarrow {f}} ({\ overrightarrow {OP}}) = f (P) -f (O).}$

من السهل إثبات أن هذه خريطة خطية لا تعتمد على اختيار O.

الخريطة ${\ displaystyle f \ to {\ overrightarrow {f}}}$هو تماثل جماعي من المجموعة الإقليدية إلى مجموعة من المتساويات الخطية ، تسمى المجموعة المتعامدة . نواة هذا التشابه هي مجموعة الترجمة ، مما يدل على أنها مجموعة فرعية طبيعية من المجموعة الإقليدية.

وisometries أن إصلاح معين نقطة P تشكل مجموعة فرعية استقرار المجموعة الإقليدية فيما يتعلق P . القيد على هذا المثبت لتماثل المجموعة أعلاه هو تماثل. لذا فإن المقاييس المتساوية التي تثبت نقطة معينة تشكل مجموعة متشابهة للمجموعة المتعامدة.

لنفترض أن P هي نقطة و f تساوي القياس و t الترجمة التي تعين P إلى f ( P ) . التساوي${\ displaystyle g = t ^ {- 1} \ circ f}$إصلاحات P . وبالتالي${\ displaystyle f = t \ circ g،}$والمجموعة الإقليدية هي المنتج شبه المباشر لمجموعة الترجمة والمجموعة المتعامدة.

و مجموعة متعامدة الخاصة هي مجموعة فرعية العادية للمجموعة متعامدة أن يحافظ على الطغيان . إنها مجموعة فرعية من الفهرس الثاني للمجموعة المتعامدة. صورتها العكسية من قبل مجموعة تشابه الشكل${\ displaystyle f \ to {\ overrightarrow {f}}}$هي مجموعة فرعية طبيعية من الفهرس الثاني للمجموعة الإقليدية ، والتي تسمى المجموعة الإقليدية الخاصة أو مجموعة الإزاحة . تسمى عناصره بالحركات الجامدة أو الإزاحة .

تشمل الحركات الجامدة الهوية ، والترجمات ، والدوران (الحركات الجامدة التي تثبت نقطة على الأقل) ، وكذلك الحركات اللولبية .

الأمثلة النموذجية للتحولات الجامدة التي ليست حركات جامدة هي الانعكاسات ، وهي عبارة عن تحويلات جامدة تعمل على إصلاح المستوى الفائق وليست هي الهوية. إنها أيضًا التحولات التي تتكون من تغيير علامة إحداثي واحد على إطار إقليدي.

نظرًا لأن المجموعة الإقليدية الخاصة هي مجموعة فرعية من الفهرس الثاني للمجموعة الإقليدية ، نظرًا لانعكاس r ، فإن كل تحول جامد ليس حركة جامدة هو نتاج r وحركة جامدة. A انعكاس انزلاقي هو مثال لتحول جامدة ليست حركة جامدة أو التأمل.

جميع المجموعات التي تم بحثها في هذا القسم مجموعة كذبة و الجماعات الجبرية .

المسافة الإقليدية تجعل الفضاء الإقليدي مساحة متريّة ، وبالتالي فضاء طوبولوجي . تسمى هذه الطوبولوجيا بالطوبولوجيا الإقليدية . في حالة ما اذا${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}،}$هذا الهيكل هو أيضًا طوبولوجيا المنتج .

و مجموعات مفتوحة هي مجموعات فرعية تحتوي على الكرة مفتوحة حول كل من وجهات نظرهم. بمعنى آخر ، تشكل الكرات المفتوحة أساسًا للطوبولوجيا .

و البعد الطوبوغرافية من مساحة الإقليدية يساوي بعدها. هذا يعني أن المساحات الإقليدية ذات الأبعاد المختلفة ليست متماثلة الشكل . علاوة على ذلك ، تؤكد نظرية ثبات المجال أن مجموعة فرعية من الفضاء الإقليدي مفتوحة ( لطوبولوجيا الفضاء الجزئي ) إذا وفقط إذا كانت متماثلة مع مجموعة فرعية مفتوحة من الفضاء الإقليدي من نفس البعد.

المساحات الإقليدية هي كاملة و المدمجة محليا . وهذا يعني أن مجموعة فرعية مغلقة من الفضاء الإقليدي تكون مضغوطة إذا كانت محدودة (أي محتواة في كرة). على وجه الخصوص ، الكرات المغلقة تكون مضغوطة.

يختلف تعريف المساحات الإقليدية الموصوفة في هذه المقالة اختلافًا جوهريًا عن تعريف إقليدس . في الواقع ، لم يحدد إقليدس الفضاء رسميًا ، لأنه كان يُعتقد أنه وصف للعالم المادي الموجود بشكل مستقل عن العقل البشري. ظهرت الحاجة إلى تعريف رسمي فقط في نهاية القرن التاسع عشر ، مع إدخال الأشكال الهندسية غير الإقليدية .

تم أستخدام أسلوبين مختلفين. اقترح فيليكس كلاين تعريف الأشكال الهندسية من خلال تناظراتها . تم إصدار عرض المساحات الإقليدية الوارد في هذه المقالة بشكل أساسي من برنامج Erlangen الخاص به ، مع التركيز على مجموعات الترجمات والتساوي القياس.

من ناحية أخرى ، اقترح ديفيد هيلبرت مجموعة من البديهيات المستوحاة من افتراضات إقليدس . إنها تنتمي إلى الهندسة التركيبية ، لأنها لا تتضمن أي تعريف للأرقام الحقيقية . في وقت لاحق birkhoff ش ج و ألفريد تارسكي المقترحة مجموعات أبسط البديهيات، والتي تستخدم الأعداد الحقيقية (انظر البديهيات Birkhoff في و البديهيات Tarski و ).

في الجبر الهندسي ، أثبت Emil Artin أن كل هذه التعريفات للفضاء الإقليدي متكافئة. ^{[9] من} السهل إثبات أن جميع تعريفات المساحات الإقليدية تفي ببديهيات هيلبرت ، وأن تلك التي تتضمن أرقامًا حقيقية (بما في ذلك التعريف الوارد أعلاه) متكافئة. الجزء الصعب من دليل أرتين هو التالي. في بديهيات هيلبرت ، التطابق هو علاقة تكافؤ على المقاطع. وبالتالي يمكن للمرء أن يحدد طول الجزء باعتباره فئة التكافؤ الخاصة به. لذلك يجب على المرء أن يثبت أن هذا الطول يلبي الخصائص التي تميز الأعداد الحقيقية غير السالبة. هذا ما فعله أرتين ، ببديهيات ليست ببديهيات هيلبرت ، لكنها متكافئة.

منذ الإغريق القدماء ، تم استخدام الفضاء الإقليدي لنمذجة الأشكال في العالم المادي. وبالتالي استخدامه في العديد من العلوم مثل الفيزياء ، والميكانيكا ، و علم الفلك . كما أنها تستخدم على نطاق واسع في جميع المجالات التقنية التي تهتم بالأشكال والشكل والموقع والموضع ، مثل الهندسة المعمارية أو الجيوديسيا أو التضاريس أو الملاحة أو التصميم الصناعي أو الرسم الفني .

توجد مساحة ذات أبعاد أعلى من ثلاثة في العديد من النظريات الحديثة للفيزياء ؛ انظر البعد الأعلى . وتحدث أيضا في المساحات التكوين من النظم الفيزيائية .

بجانب الهندسة الإقليدية ، تُستخدم المساحات الإقليدية أيضًا على نطاق واسع في مجالات أخرى من الرياضيات. فضاء مماس من الفتحات للاختلاف والمساحات متجهة. بشكل عام ، المشعب هو مساحة يتم تقريبها محليًا بواسطة المساحات الإقليدية. يمكن نمذجة معظم الأشكال الهندسية غير الإقليدية بواسطة متشعب ، وتضمينها في مساحة إقليدية ذات أبعاد أعلى. على سبيل المثال ، يمكن نمذجة الفضاء الإهليلجي بواسطة شكل بيضاوي . من الشائع في الفضاء الإقليدي تمثيل كائنات رياضياتية ليست ذات طبيعة هندسية بداهة . ومن الأمثلة العديدة التمثيل المعتاد للرسوم البيانية .

منذ تقديم الأشكال الهندسية غير الإقليدية في نهاية القرن التاسع عشر ، تم النظر في العديد من أنواع المساحات ، والتي يمكن للمرء أن يقوم بالتفكير الهندسي بشأنها بنفس الطريقة كما هو الحال مع المساحات الإقليدية. بشكل عام ، يتشاركون بعض الخصائص مع المساحات الإقليدية ، ولكن قد يكون لديهم أيضًا خصائص قد تبدو غريبة نوعًا ما. تستخدم بعض هذه المساحات الهندسة الإقليدية لتعريفها ، أو يمكن نمذجتها كمساحات فرعية لمساحة إقليدية ذات أبعاد أعلى. عندما يتم تحديد مثل هذا الفضاء من خلال البديهيات الهندسية ، فإن تضمين الفضاء في الفضاء الإقليدي هو طريقة قياسية لإثبات اتساق تعريفه ، أو بشكل أكثر دقة لإثبات أن نظريته متسقة ، إذا كانت الهندسة الإقليدية متسقة (والتي لا يمكن إثباتها) ).

مساحة أفيني

الفضاء الإقليدي هو مساحة أفينية مجهزة بمقياس . للمساحات المحفورة استخدامات أخرى كثيرة في الرياضيات. على وجه الخصوص ، كما تم تعريفها في أي مجال ، فإنها تسمح بالقيام بالهندسة في سياقات أخرى.

بمجرد النظر في الأسئلة غير الخطية ، من المفيد عمومًا اعتبار المساحات الأفينية على الأرقام المركبة امتدادًا للمساحات الإقليدية. على سبيل المثال، دائرة و خط لها دائما اثنين تقاطع نقطة (ربما ليس متميزة) في الفضاء أفيني معقدة. لذلك ، فإن معظم الهندسة الجبرية مبنية في مساحات أفينية معقدة ومساحات أفينية فوق حقول مغلقة جبريًا . الأشكال التي تمت دراستها في الهندسة الجبرية في هذه المساحات الأفينية تسمى بالتالي الأنواع الجبرية الأفينية .

توفر المساحات التقريبية فوق الأرقام المنطقية وبشكل أكثر عمومًا على حقول الأرقام الجبرية رابطًا بين الهندسة (الجبرية) ونظرية الأعداد . على سبيل المثال ، يمكن ذكر نظرية فيرما الأخيرة " منحنى فيرمات بدرجة أعلى من اثنين ليس له أي نقطة في المستوى الأفيني على المبررات".

كما تمت دراسة الهندسة في المساحات الأفينية على حقول محدودة على نطاق واسع. على سبيل المثال ، تُستخدم المنحنيات الإهليلجية فوق الحقول المحدودة على نطاق واسع في علم التشفير .

مساحة الإسقاط

في الأصل ، تم إدخال المساحات الإسقاطية عن طريق إضافة " نقاط عند اللانهاية " إلى المساحات الإقليدية ، وبشكل أعم للمساحات الأفقية ، من أجل جعل التأكيد " خطان متحدان يتقابلان في نقطة واحدة بالضبط". تشترك المساحة الإسقاطية مع المساحات الإقليدية والأفينية ، وهي خاصية الخواص ، أي أنه لا توجد خاصية للمساحة تسمح بالتمييز بين نقطتين أو سطرين. لذلك ، يتم استخدام تعريف أكثر الخواص بشكل شائع ، والذي يتكون من تحديد مساحة الإسقاط كمجموعة من الخطوط المتجهة في مساحة متجه ذات بُعد واحد آخر.

بالنسبة للمساحات الأفينية ، يتم تحديد المساحات الإسقاطية في أي مجال ، وهي مساحات أساسية للهندسة الجبرية .

هندسة غير إقليدية

تشير الهندسة غير الإقليدية عادةً إلى المساحات الهندسية حيث يكون الافتراض المتوازي خاطئًا. وهي تشمل الهندسة البيضاوية ، حيث يكون مجموع زوايا المثلث أكثر من 180 درجة ، والهندسة الزائدية ، حيث يكون هذا المجموع أقل من 180 درجة. مقدمة في النصف الثاني من القرن التاسع عشر ، وإثبات أن نظريتهم متسقة (إذا لم تكن الهندسة الإقليدية متناقضة) هي إحدى المفارقات التي تسببت في الأزمة التأسيسية في الرياضيات في بداية القرن العشرين ، و حفز تنظيم النظريات البديهية في الرياضيات.

المساحات المنحنية

A متعددة هو المساحة التي في حي كل نقطة يشبه الفضاء الإقليدية. من الناحية التقنية، مشعب هو الفضاء الطوبوغرافية ، مثل أن كل نقطة لها حي وهذا هو homeomorphic إلى فرعية مفتوحة من مساحة الإقليدية. متعددة يمكن تصنيفها من خلال زيادة درجة هذا "تشابه" في الفتحات الطوبوغرافية ، والفتحات للاختلاف ، والفتحات سلس ، و الفتحات التحليلية . ومع ذلك ، لا يحترم أي من هذه الأنواع من "التشابه" المسافات والزوايا ، حتى تقريبًا.

يمكن تحديد المسافات والزوايا على مشعب سلس من خلال توفير مقياس إقليدي متغير بسلاسة على المساحات المماس عند نقاط المتشعب (هذه المماس هي بالتالي مسافات متجهة إقليدية). ينتج عن هذا مشعب ريماني . بشكل عام ، لا توجد الخطوط المستقيمة في متشعب ريماني ، ولكن دورها تلعبه الجيوديسيا ، وهي "أقصر المسارات" بين نقطتين. يسمح هذا بتحديد المسافات ، التي يتم قياسها على طول الجيوديسيا ، والزوايا بين الجيوديسيا ، وهي زاوية ظلها في الفضاء المماس عند تقاطعها. لذلك ، تتصرف المشعبات الريمانية محليًا مثل الإقليدية التي تم ثنيها.

المساحات الإقليدية عبارة عن فتحات ريمانية تافهة. مثال يوضح هذا البئر هو سطح الكرة . في هذه الحالة ، الجيوديسيا هي أقواس الدائرة الكبرى ، والتي تسمى تقويم العظام في سياق الملاحة . بشكل عام ، يمكن إدراك مساحات الأشكال الهندسية غير الإقليدية على أنها متشعبات ريمان.

الفضاء الإقليدي الزائف

في جوف المنتج التي تم تعريفها لتحديد المساحات الإقليدية هو شكل إيجابي المترابط واضح . إذا تم استبداله بشكل تربيعي غير محدد وهو غير متحلل ، يحصل المرء على مساحة إقليدية زائفة .

وثمة مثال أساسي من الفضاء مثل هذا هو فضاء مينكوفسكي ، الذي هو الزمكان من أينشتاين الصورة النسبية الخاصة . إنه فضاء رباعي الأبعاد ، حيث يتم تعريف المقياس بالصيغة التربيعية

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}،}$

حيث يكون الإحداثي الأخير ( t ) مؤقتًا ، والثلاثة الأخرى ( x ، y ، z ) مكانية.

لأخذ الجاذبية في الاعتبار ، تستخدم النسبية العامة مشعبًا ريمانيًا زائفًا يحتوي على مسافات مينكوفسكي كمساحات مماسة . و انحناء لهذا مشعب عند نقطة هي وظيفة من قيمة حقل الجاذبية في هذه المرحلة.

• فضاء هلبرت ، تعميم على البعد اللانهائي ، يستخدم في التحليل الوظيفي

• أنطون ، هوارد (1987) ، الجبر الخطي الابتدائي (الطبعة الخامسة) ، نيويورك: وايلي ، ISBN 0-471-84819-0
• Artin، Emil (1988) [1957]، Geometric Algebra ، Wiley Classics Library، New York: John Wiley & Sons Inc.، pp. x + 214، doi : 10.1002 / 9781118164518 ، ISBN 0-471-60839-4، السيد  1009557
• بول ، دبليو دبليو روس (1960) [1908]. حساب قصير لتاريخ الرياضيات (الطبعة الرابعة). منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-20630-0.
• Berger ، Marcel (1987) ، Geometry I ، Berlin: Springer ، ISBN 3-540-11658-3
• كوكستر ، HSM (1973) [1948]. Polytopes العادية (الطبعة الثالثة). نيويورك: دوفر. اكتشفها شلَيْفلي قبل عام 1853 - وهو الوقت الذي كان فيه كايلي وجراسمان وموبيوس هم الأشخاص الوحيدون الآخرون الذين تصوروا إمكانية الهندسة في أكثر من ثلاثة أبعاد.
• Solomentsev، ED (2001) [1994]، "Euclidean space" ، Encyclopedia of Mathematics ، EMS Press