الجيوديسية

هذه المقالة لها أسلوب اقتباس غير واضح . يجوز أن تصدر المراجع المستخدمة أكثر وضوحا مع نمط مختلف أو ثابت من الاقتباس و footnoting . ( أبريل 2021 ) ( تعرف على كيفية ووقت إزالة رسالة القالب هذه )

في الهندسة ، و الجيوديسية ( / ˌ dʒ ı ə د ɛ الصورة ɪ ك ، ˌ dʒ ı oʊ -، - د ỉ - - ض ɪ ك / ^{[1] [2]} ) هو شائع في منحنى يمثل في بعض الإحساس أقصر ^[أ] المسار ( قوس ) بين نقطتين في السطح ، أو بشكل أعم في مشعب ريمانيان . المصطلح أيضا له معنى في أي مشعب قابل للتفاضل مع اتصال . إنه تعميم لمفهوم " الخط المستقيم " على وضع أكثر عمومية.

يأتي الاسم "الجيوديسي" ^[ب] والصفة "الجيوديسية" ^[ج] من الجيوديسيا ، علم قياس حجم وشكل الأرض ، بينما يمكن تطبيق العديد من المبادئ الأساسية على أي هندسة بيضاوية . بالمعنى الأصلي ، كان الجيوديسيا هو أقصر طريق بين نقطتين على سطح الأرض . بالنسبة للأرض الكروية ، فهي جزء من دائرة كبيرة (انظر أيضًا مسافة الدائرة العظمى ). تم تعميم المصطلح ليشمل القياسات في مساحات رياضية أكثر عمومية ؛ على سبيل المثال ، في نظرية الرسم البياني ، يمكن للمرء أن يفكر في أالجيوديسية بين رأسين / عقدتين للرسم البياني .

تتميز الجيوديسيا المتشعبة أو متعددة الطيات الجزئية بخاصية تلاشي الانحناء الجيوديسي . بشكل عام ، في وجود اتصال أفيني ، يتم تعريف الجيوديسية على أنها منحنى تظل نواقله المماسية متوازية إذا تم نقلها على طولها. تطبيق هذا إلى اتصال ليفي سيفيتا من متري ريمان يتعافى فكرة السابقة.

الجيوديسيا لها أهمية خاصة في النسبية العامة . تصف الجيوديسيا الزمنية في النسبية العامة حركة جسيمات اختبار السقوط الحر .

مقدمة [ عدل ]

أقصر طريق بين نقطتين معين في الفضاء المنحني، يفترض أن تكون متعددة التفاضلية ، ويمكن تعريف باستخدام معادلة ل طول ل منحنى (وظيفة و من فترة مفتوحة من R إلى الفضاء)، ومن ثم التقليل هذا الطول بين النقطتين باستخدام حساب التباينات . هذا له بعض المشاكل التقنية الصغيرة ، لأن هناك مساحة لا نهائية من الطرق المختلفة لتحديد أقصر مسار. من الأسهل قصر مجموعة المنحنيات على تلك التي تم تحديد معلمات "بسرعة ثابتة" 1 ، مما يعني أن المسافة من f ( s ) إلىf ( t ) على طول المنحنى تساوي | s - t |. بالتساوي ، يمكن استخدام كمية مختلفة تسمى طاقة المنحنى ؛ يؤدي تقليل الطاقة إلى نفس المعادلات للجيوديسيا (هنا تكون "السرعة الثابتة" نتيجة للتقليل). ^{[ بحاجة لمصدر ]} بشكل بديهي ، يمكن للمرء أن يفهم هذه الصيغة الثانية من خلال ملاحظة أن الشريط المرن الممتد بين نقطتين سوف يتقلص طوله ، وبذلك سيقلل من طاقته. الشكل الناتج للشريط هو شكل جيوديسي.

من الممكن أن تقوم عدة منحنيات مختلفة بين نقطتين بتقليل المسافة ، كما هو الحال بالنسبة لنقطتين متقابلتين تمامًا على الكرة. في مثل هذه الحالة ، أي من هذه المنحنيات هو جيوديسي.

الجزء المتجاور من الجيوديسيا هو مرة أخرى قطعة جيوديسية.

بشكل عام ، الجيوديسيا ليست هي نفسها "المنحنيات الأقصر" بين نقطتين ، على الرغم من أن المفهومين مرتبطان ارتباطًا وثيقًا. الفرق هو أن الجيوديسيا هي أقصر مسافة بين النقاط محليًا فقط ، ويتم تحديد معلماتها بـ "سرعة ثابتة". إن السير في "الطريق الطويل" على دائرة كبيرة بين نقطتين على الكرة هو مسار جيوديسي ولكنه ليس أقصر طريق بين النقطتين. تعطي الخريطة من فاصل الوحدة على خط الرقم الحقيقي إلى نفسها أقصر مسار بين 0 و 1 ، ولكنها ليست جيوديسية لأن سرعة الحركة المقابلة لنقطة ليست ثابتة.${\ displaystyle t \ to t ^ {2}}$

تظهر الجيوديسيا بشكل شائع في دراسة الهندسة الريمانية والهندسة المترية بشكل عام . في النسبية العامة ، تصف الجيوديسيا في الزمكان حركة الجسيمات النقطية تحت تأثير الجاذبية وحدها. على وجه الخصوص ، فإن المسار الذي يسلكه سقوط صخرة أو قمر صناعي يدور أو شكل مدار كوكبي كلها عوامل جيوديسية في الزمكان المنحني. بشكل أكثر عمومية ، يتعامل موضوع الهندسة الريمانية الفرعية مع المسارات التي قد تسلكها الأشياء عندما لا تكون حرة ، وتكون حركتها مقيدة بطرق مختلفة.

يقدم هذا المقال الشكلية الرياضية التي ينطوي عليها تعريف وإيجاد وإثبات وجود الجيوديسيا ، في حالة متشعبات ريمان . المادة يفي سيفيتا اتصال يناقش قضية أعم من مشعب شبه الريماني و الجيوديسية (النسبية العامة) تناقش حالة خاصة من نظرية النسبية العامة بمزيد من التفصيل.

أمثلة [ عدل ]

أكثر الأمثلة شيوعًا هي الخطوط المستقيمة في الهندسة الإقليدية . على الكرة ، صور الجيوديسيا هي الدوائر الكبرى . أقصر طريق من نقطة A إلى النقطة B يعطى على المجال من قبل أقصر قوس من دائرة كبيرة مرورا A و B . إذا A و B هي نقطة متقابلة ، ثم هناك عدد لانهائي من مسارات أقصر بينهما. تتصرف الجيوديسيا على شكل إهليلجي بطريقة أكثر تعقيدًا من سلوكها على الكرة ؛ على وجه الخصوص ، فهي ليست مغلقة بشكل عام (انظر الشكل).

مثلثات[ تحرير ]

يتكون المثلث الجيوديسي من ربط الجيوديسيا لكل زوج من ثلاث نقاط على سطح معين. على الكرة ، الجيوديسيا هي أقواس دائرية كبيرة ، تشكل مثلثًا كرويًا .

هندسة متري [ عدل ]

في الهندسة متري ، وهو الجيوديسية هو منحنى الذي هو في كل مكان محليا على مسافة شراع. بتعبير أدق، وهو منحنى γ  : I → M من فاصل أنا من ريال إلى الفضاء المتري M هو الجيوديسية إذا كان هناك ثابت ضد ≥ 0 ان هذه لاية ر ∈ I هناك حي J من تي في أنا مثل ذلك لأي ر ₁ ،  ر ₂ ∈ ي نحن لدينا

${\ displaystyle d (\ gamma (t_ {1})، \ gamma (t_ {2})) = v \ left | t_ {1} -t_ {2} \ right |.}$

هذا يعمم فكرة الجيوديسية لتعدد الطيات الريماني. ومع ذلك ، في الهندسة المترية ، غالبًا ما تكون الجيوديسية المدروسة مجهزة ببارامترات طبيعية ، أي في الهوية أعلاه v  = 1 و

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

إذا تم استيفاء المساواة الأخيرة لجميع t ₁ ، t ₂ ∈ I ، فإن الجيوديسية تسمى تصغير الجيوديسية أو أقصر مسار .

بشكل عام ، قد لا تحتوي المساحة المترية على الجيوديسيا ، باستثناء المنحنيات الثابتة. في الطرف الآخر ، يتم ربط أي نقطتين في مساحة مترية الطول بتسلسل تصغير من المسارات القابلة للتصحيح ، على الرغم من أن هذا التسلسل التصغير لا يحتاج إلى التقارب مع الجيوديسية.

الهندسة الريمانية [ عدل ]

في متشعب ريماني M مع موتر متري g ، الطول L لمنحنى قابل للتفاضل باستمرار γ: [ a ، b ] →  M يتم تعريفه بواسطة

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

تُعرَّف المسافة d ( p ،  q ) بين النقطتين p و q لـ M على أنها الحد الأقصى للطول المأخوذ من جميع المنحنيات المستمرة والمتقطعة القابلة للتفاضل باستمرار γ: [ a ، b ] →  M بحيث تكون γ ( a ) =  p و γ ( ب ) =  ف. في الهندسة الريمانية ، جميع الجيوديسات هي مسارات محلية لتقليل المسافة ، لكن العكس ليس صحيحًا. في الواقع ، تعتبر المسارات الجيوديسية هي المسارات التي تعمل على تقليل المسافة محليًا إلى الحد الأدنى والمحددة بشكل متناسب مع طول القوس. هناك طريقة أخرى مكافئة لتعريف الجيوديسيا على مشعب ريماني ، وهي تعريفها على أنها الحد الأدنى للعمل التالي أو وظيفة الطاقة

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

جميع الحدود الدنيا لـ E هي أيضًا حد أدنى لـ L ، لكن L هي مجموعة أكبر نظرًا لأن المسارات التي تعد الحدود الدنيا لـ L يمكن إعادة تحديد معلماتها بشكل تعسفي (دون تغيير طولها) ، بينما لا يمكن إعادة تحديد الحدود الدنيا لـ E. لمنحنى متعدد التعريف (بشكل عام ، منحنى) ، تعطي متباينة كوشي وشوارتز${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle W^{1,2}}$

${\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )}$

بالمساواة إذا وفقط إذا كانت تساوي ae ثابت ؛ يجب أن يتحرك المسار بسرعة ثابتة. يحدث أن المصغرات من التقليل أيضًا ، لأنها تتحول إلى معلمات متقاربة ، وعدم المساواة هو المساواة. تكمن فائدة هذا النهج في أن مشكلة البحث عن مُصغرات لـ E هي مشكلة تباين أكثر قوة. في الواقع ، E هي "وظيفة محدبة" ، بحيث أنه داخل كل فئة نظيرية من "الوظائف المعقولة" ، يجب على المرء أن يتوقع وجود ، وتفرد ، وانتظام المصغرات. في المقابل ، لا تكون "أدوات الحد الأدنى" للوظيفة بشكل عام منتظمة للغاية ، لأنه يُسمح بإجراء عمليات إصلاح تعسفية.${\displaystyle g(\gamma ',\gamma ')}$${\displaystyle E(\gamma )}$${\displaystyle L(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle L(\gamma )}$

و معادلات أويلر-لاغرانج الحركة لظيفية E ثم ترد في الإحداثيات المحلية

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

حيث هي رموز كريستوفل للقياس. هذه هي المعادلة الجيوديسية ، ناقش أدناه .${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

حساب التباينات [ عدل ]

تقنيات الكلاسيكية حساب التفاضل والتكامل من الاختلافات يمكن تطبيقها على دراسة وظيفية الطاقة E . يتم تحديد التباين الأول للطاقة في الإحداثيات المحلية بواسطة

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).}$

و النقاط الحرجة من التباين الأولى هي بالضبط الجيوديسية. و الاختلاف الثاني تم تعريفه من قبل

${\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}$

بالمعنى المناسب ، تظهر أصفار التباين الثاني على طول الجيوديسية على طول حقول جاكوبي . وبالتالي تعتبر حقول جاكوبي على أنها اختلافات من خلال الجيوديسيا.

من خلال تطبيق تقنيات التغيير من الميكانيكا الكلاسيكية ، يمكن للمرء أيضًا اعتبار الجيوديسيا على أنها تدفقات هاميلتونية . إنها حلول لمعادلات هاملتون المرتبطة ، مع مقياس ريماني (شبه-) مأخوذ على أنه هاميلتوني .

الجيوديسيا التقريبية [ عدل ]

يتم تعريف الجيوديسية على مشعب M سلس مع اتصال أفيني ∇ على أنه منحنى γ ( t ) بحيث يحافظ النقل الموازي على طول المنحنى على ناقل الظل إلى المنحنى ، لذلك

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

( 1 )

عند كل نقطة على طول المنحنى ، حيث يوجد المشتق بالنسبة إلى . بتعبير أدق ، من أجل تحديد المشتق المتغير منه ، من الضروري أولاً التوسع إلى حقل متجه قابل للتفاضل باستمرار في مجموعة مفتوحة . ومع ذلك ، فإن القيمة الناتجة لـ ( 1 ) مستقلة عن اختيار الامتداد.${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

باستخدام الإحداثيات المحلية على M ، يمكننا كتابة المعادلة الجيوديسية (باستخدام اصطلاح الجمع ) على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

حيث هي إحداثيات γ منحنى ( ر ) و هي رموز كريستوفل للاتصال ∇. هذه معادلة تفاضلية عادية للإحداثيات. لديها حل فريد من نوعه ، بالنظر إلى الموضع الأولي والسرعة الابتدائية. لذلك ، من وجهة نظر الميكانيكا الكلاسيكية ، يمكن اعتبار الجيوديسيا على أنها مسارات للجسيمات الحرة في مشعب. في الواقع ، المعادلة تعني أن متجه التسارع${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$لا يحتوي المنحنى على مكونات في اتجاه السطح (وبالتالي فهو عمودي على المستوى المماس للسطح عند كل نقطة من المنحنى). لذلك ، يتم تحديد الحركة تمامًا عن طريق ثني السطح. هذه أيضًا فكرة النسبية العامة حيث تتحرك الجسيمات على الجيوديسيا ويكون الانحناء بسبب الجاذبية.

الوجود والتفرد [ عدل ]

و جود المحليين ونظرية التفرد لالجيوديسية على أن الجيوديسية على مشعب السلس مع اتصال أفيني الوجود، وفريدة من نوعها. أكثر دقة:

لأي نقطة p في M ولأي متجه V في T _p M ( الفضاء المماس لـ M عند p ) يوجد جيوديسي فريد  : I → M مثل ذلك${\displaystyle \gamma \,}$

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$ و

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

حيث I هو أقصى فترة مفتوحة في R تحتوي على 0.

يأتي إثبات هذه النظرية من نظرية المعادلات التفاضلية العادية ، من خلال ملاحظة أن المعادلة الجيوديسية هي معادلة ODE من الدرجة الثانية. ثم يتبع الوجود والتفرد من نظرية Picard – Lindelöf لحلول معادلات ODE بشروط أولية محددة. γ يعتمد بشكل سلس على كلا ع و  V .

بشكل عام، أنا قد لا يكون كل من R وعلى سبيل المثال لقرص مفتوح في R ² . أي γ يمتد إلى كل من ℝ إذا وفقط إذا M غير كامل geodesically .

التدفق الجيوديسي[ تحرير ]

الجيوديسية تدفق هو محلي R - العمل على المماس حزمة TM من مشعب M محددة على النحو التالي

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

حيث ر  ∈  R ، V  ∈  TM و يدل على الجيوديسية مع البيانات الأولية . وبالتالي ، ( V ) = exp ( tV ) هي الخريطة الأسية للتلفزيون المتجه . A المدار المغلق لليتوافق تدفق الجيوديسية ل الجيوديسية مغلقة على  M .${\displaystyle \gamma _{V}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}$${\displaystyle G^{t}}$

على مشعب ريماني (زائف) ، يتم تحديد التدفق الجيوديسي بتدفق هاميلتوني على حزمة ظل التمام. في هاملتون ثم يعطى عن طريق معكوس (الزائفة) ريمانيان متري، تقييم ضد الكنسي شكل واحد . على وجه الخصوص ، يحافظ التدفق على مقياس ريماني (الزائف) ، أي${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

على وجه الخصوص ، عندما يكون V متجه وحدة ، تظل سرعة الوحدة طوال الوقت ، لذلك يكون التدفق الجيوديسي مماسًا لحزمة الوحدة المماس . تتضمن نظرية ليوفيل ثبات مقياس حركي على حزمة ظل الوحدة.${\displaystyle \gamma _{V}}$

الرش الجيوديسي [ عدل ]

يحدد التدفق الجيوديسي مجموعة من المنحنيات في حزمة الظل . تحدد مشتقات هذه المنحنيات مجالًا متجهًا على المساحة الكلية لحزمة الظل ، والمعروفة باسم الرش الجيوديسي .

بتعبير أدق، اتصال أفيني يثير لتقسيم من الظل مزدوجة حزمة TT M إلى الأفقية و حزم العمودي :

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

رذاذ الجيوديسية هو فريد حقل شعاعي الأفقي W تلبية

${\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}$

عند كل نقطة v  T M ؛ هنا π _∗  : يشير TT M  → T M إلى الدفع إلى الأمام (التفاضل) على طول الإسقاط π: T M  →  M المرتبط بحزمة الظل.

بشكل أكثر عمومية ، يسمح نفس الهيكل بإنشاء حقل متجه لأي اتصال Ehresmann على الحزمة المماس. لكي يكون حقل المتجه الناتج عبارة عن رذاذ (على حزمة الظل المحذوفة T M  \ {0}) يكفي أن يكون الاتصال متساويًا في ظل عمليات إعادة القياس الإيجابية: لا يلزم أن يكون خطيًا. أي (راجع اتصال Ehresmann # حزم المتجهات والمشتقات المتغيرة ) يكفي أن يرضي التوزيع الأفقي

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

لكل X  ∈ T M  \ {0} و λ> 0. هنا d ( S _λ ) هو الدفع للأمام على طول التماثل العددي.حالة معينة لاتصال غير خطي تنشأ بهذه الطريقة هي تلك المرتبطة بمشعب Finsler .${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$

الجيوديسيا التقريبية والإسقاطية [ عدل ]

المعادلة ( 1 ) ثابتة في إطار إصلاحات المعاملات ؛ أي معلمات النموذج

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

حيث أ و ب أرقام حقيقية ثابتة. وبالتالي ، بصرف النظر عن تحديد فئة معينة من المنحنيات المضمنة ، تحدد المعادلة الجيوديسية أيضًا فئة مفضلة من المعلمات لكل من المنحنيات. وفقًا لذلك ، تسمى حلول ( 1 ) الجيوديسيا مع المعلمة الأفينية .

يتم تحديد الاتصال الأفيني من خلال عائلة الجيوديسيا ذات المعلمات المتقاربة ، حتى الالتواء ( Spivak 1999 ، الفصل 6 ، الملحق الأول). في الواقع ، لا يؤثر الالتواء نفسه على عائلة الجيوديسيا ، لأن المعادلة الجيوديسية تعتمد فقط على الجزء المتماثل من الاتصال. بتعبير أدق ، إذا كان هناك اتصالان مثل موتر الفرق${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

هو منحرف متماثل ، وله نفس الجيوديسيا ، مع نفس المعلمات التقريبية. علاوة على ذلك ، هناك اتصال فريد له نفس الجيوديسيا ، ولكن مع الالتواء المتلاشي.${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$${\displaystyle \nabla }$

يتم وصف الجيوديسيا بدون معلمات معينة من خلال اتصال إسقاطي .

الطرق الحسابية [ عدل ]

تم اقتراح حلول فعالة للمشكلة الجيوديسية الدنيا على الأسطح المطروحة كمعادلات eikonal بواسطة Kimmel وآخرون. ^{[3] [4]}

تطبيقات [ تحرير ]

تعمل الجيوديسيا كأساس لحساب:

• هياكل الطائرات الجيوديسية انظر هيكل الطائرة الجيوديسي أو هيكل الطائرة الجيوديسي
• الهياكل الجيوديسية - على سبيل المثال القباب الجيوديسية
• مسافات أفقية على الأرض أو بالقرب منها ؛ انظر الجيوديسيا الأرض
• رسم الخرائط على الأسطح لتقديمها ؛ انظر رسم الخرائط فوق البنفسجية
• حركة الجسيمات في المحاكاة الحاسوبية للديناميات الجزيئية (MD) ^[5]
• تخطيط حركة الروبوت (على سبيل المثال ، عند طلاء أجزاء السيارة) ؛ انظر مشكلة أقصر طريق

انظر أيضا [ تحرير ]

ملاحظات [ تحرير ]

المراجع [ عدل ]

• سبيفاك ، مايكل (1999) ، مقدمة شاملة للهندسة التفاضلية (المجلد 2) ، هيوستن ، تكساس: النشر أو الهلاك ، ISBN 978-0-914098-71-3

ويكيميديا ​​كومنز لديها وسائل الإعلام المتعلقة بالجيوديسية (الرياضيات) .

قراءات إضافية [ عدل ]

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تظل غير مؤكدة إلى حد كبير لأنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة المقابلة الكافية . الرجاء المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق تقديم اقتباسات أكثر دقة. ( يوليو 2014 ) ( تعرف على كيفية ووقت إزالة رسالة القالب هذه )

• أدلر ورونالد ؛ موريس بازين ؛ شيفر ، مناحم (1975) ، مقدمة في النسبية العامة (الطبعة الثانية) ، نيويورك: ماكجرو هيل ، ISBN 978-0-07-000423-8. انظر الفصل 2 .
• أبراهام ، رالف هـ . مارسدن ، جيرولد إي (1978) ، أسس الميكانيكا ، لندن: بنيامين كامينغز ، ISBN 978-0-8053-0102-1. انظر القسم 2.7 .
• جوست ، يورجن (2002) ، الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي ، برلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-42627-1. انظر القسم 1.4 .
• كوباياشي ، شوشيشي ؛ نوميزو ، كاتسومي (1996) ، أسس الهندسة التفاضلية ، المجلد. 1 (طبعة جديدة) ، Wiley-Interscience ، ISBN 0-471-15733-3 |volume= has extra text (help).
• لانداو ، LD ؛ Lifshitz ، EM (1975) ، نظرية الحقول الكلاسيكية ، أكسفورد: بيرغامون ، ISBN 978-0-08-018176-9. انظر القسم 87 .
• ميسنر ، تشارلز و . ثورن ، كيب ؛ ويلر ، جون أرشيبالد (1973) ، الجاذبية ، WH Freeman ، ISBN 978-0-7167-0344-0
• Ortín ، Tomás (2004) ، Gravity and strings ، Cambridge University Press ، ISBN 978-0-521-82475-0. لاحظ بشكل خاص الصفحات 7 و 10.
• فولكوف ، يو. (2001) [1994] ، "الخط الجيوديسي" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS.
• واينبرغ ، ستيفن (1972) ، الجاذبية وعلم الكونيات: مبادئ وتطبيقات النظرية العامة للنسبية ، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، ISBN 978-0-471-92567-5. انظر الفصل 3 .

روابط خارجية [ تحرير ]

• إعادة النظر في الجيوديسيا - مقدمة في الجيوديسيا بما في ذلك طريقتان لاشتقاق معادلة الجيوديسية مع التطبيقات في الهندسة (الجيوديسية على الكرة وعلى الطارة ) ، والميكانيكا ( الزمن الجزئي ) والبصريات (شعاع الضوء في وسط غير متجانس).
• الجيوديسيا على سطح حدودي - تفاعل حكيم - ورقة عمل SageMath تفاعلية لحساب وتوضيح الجيوديسيا على الأسطح البارامترية.
• عديدات الطيات الجزئية الجيوديسية بالكامل في الأطلس المتشعب