خط (هندسة)

جميع التعريفات في نهاية المطاف دائرية بطبيعتها ، لأنها تعتمد على المفاهيم التي يجب أن يكون لها تعريفات بحد ذاتها ، وهو اعتماد لا يمكن أن يستمر إلى ما لا نهاية دون العودة إلى نقطة البداية. لتجنب هذه الحلقة المفرغة ، يجب اعتبار مفاهيم معينة مفاهيم بدائية ؛ المصطلحات التي لا يوجد تعريف لها. ^[4] في الهندسة ، غالبًا ما يتم اعتبار مفهوم الخط كمفهوم بدائي. ^[5] في تلك الحالات التي يكون فيها الخط مفهومًا محددًا ، كما هو الحال في هندسة الإحداثيات ، يتم اعتبار بعض الأفكار الأساسية الأخرى كأساسيات. عندما يكون مفهوم الخط بدائيًا ، فإن سلوك وخصائص الخطوط تمليها البديهيات التي يجب أن ترضيها.

في المعالجة البديهية غير البديهية أو المبسطة للهندسة ، قد يكون مفهوم المفهوم البدائي مجردًا جدًا بحيث لا يمكن التعامل معه. في هذا الظرف ، من الممكن تقديم وصف أو صورة ذهنية لمفهوم بدائي ، لإعطاء أساس لبناء الفكرة التي ستبنى رسميًا على البديهيات (غير المعلنة). قد يشار إلى أوصاف من هذا النوع ، من قبل بعض المؤلفين ، على أنها تعريفات في هذا النمط غير الرسمي من العرض. هذه ليست تعريفات صحيحة ، ولا يمكن استخدامها في البراهين الرسمية للبيانات. يقع "تعريف" الخط في عناصر إقليدس ضمن هذه الفئة. ^[6] حتى في الحالة التي يتم فيها النظر في هندسة معينة (على سبيل المثال ، الهندسة الإقليدية ) ، لا يوجد اتفاق مقبول بشكل عام بين المؤلفين على ما يجب أن يكون عليه الوصف غير الرسمي للخط عندما لا يتم التعامل مع الموضوع رسميًا.

عندما تم إضفاء الطابع الرسمي على الهندسة لأول مرة بواسطة إقليدس في العناصر ، قام بتعريف الخط العام (مستقيم أو منحني) ليكون "طولًا بلا عرض" مع كون الخط المستقيم خطًا "يقع بالتساوي مع النقاط الموجودة على نفسه". ^[7] لا تخدم هذه التعريفات سوى القليل من الأغراض ، لأنها تستخدم مصطلحات لم يتم تعريفها في حد ذاتها. في الواقع ، لم يستخدم إقليدس نفسه هذه التعريفات في هذا العمل ، وربما أدرجها فقط ليوضح للقارئ ما تتم مناقشته. في الهندسة الحديثة ، يُنظر إلى الخط ببساطة على أنه كائن غير محدد بخصائص مقدمة من البديهيات ، ^[8] ولكن يتم تعريفه أحيانًا على أنه مجموعة من النقاط التي تخضع لعلاقة خطية عندما يتم ترك مفهوم أساسي آخر غير محدد.

في صياغة بديهية للهندسة الإقليدية ، مثل تلك الخاصة بهيلبرت (تحتوي البديهيات الأصلية لإقليدس على عيوب مختلفة تم تصحيحها من قبل علماء الرياضيات الحديثين) ، ^[9] ورد أن للخط خصائص معينة تربطه بخطوط ونقاط أخرى . على سبيل المثال ، بالنسبة لأي نقطتين مميزتين ، يوجد خط فريد يحتوي عليهما ، ويتقاطع أي خطين متميزين في نقطة واحدة على الأكثر. ^[10] في بعدين (على سبيل المثال ، المستوى الإقليدي ) ، يسمى الخطان اللذان لا يتقاطعان بالتوازي . في أعلى الأبعاد، واثنين من الخطوط التي لا تتقاطع موازية إذا كانت مضمنة في الطائرة ، أو الانحراف إذا لم تكن.

أي مجموعة من عدد محدود من الأسطر تقسم المستوى إلى مضلعات محدبة (ربما غير محدودة) ؛ يُعرف هذا القسم بترتيب الخطوط .

في الإحداثيات الديكارتية

تتميز الخطوط في المستوى الديكارتي ، أو بشكل عام ، في الإحداثيات الفرعية ، بمعادلات خطية . بتعبير أدق ، كل سطر${\ displaystyle L}$(بما في ذلك الخطوط العمودية) هي مجموعة جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها ( س ، ص ) معادلة خطية ؛ هذا هو،

${\ displaystyle L = \ {(x، y) \ mid ax + by = c \}،}$

حيث a و b و c أرقام حقيقية ثابتة (تسمى معاملات ) بحيث لا يكون كل من a و b صفراً. باستخدام هذا النموذج ، تتوافق الخطوط العمودية مع المعادلات ب = 0.

يمكن للمرء أن نفترض أيضًا أن c = 1 أو c = 0 ، بقسمة كل شيء على c إذا لم يكن صفرًا.

هناك العديد من الطرق المتنوعة لكتابة معادلة خط والتي يمكن تحويلها جميعًا من واحد إلى آخر عن طريق المعالجة الجبرية. يُطلق على النموذج أعلاه أحيانًا اسم النموذج القياسي . إذا تم وضع الحد الثابت على اليسار ، تصبح المعادلة

${\ displaystyle ax + by-c = 0}$

وهذا ما يسمى أحيانًا بالشكل العام للمعادلة. ومع ذلك ، فإن هذا المصطلح غير مقبول عالميًا ، ولا يميز العديد من المؤلفين بين هذين الشكلين.

تتم تسمية هذه النماذج (انظر المعادلة الخطية للنماذج الأخرى) بشكل عام حسب نوع المعلومات (البيانات) حول السطر المطلوب لتدوين النموذج. بعض البيانات المهمة للخط هي ميله وتقاطع x والنقاط المعروفة على الخط وتقاطع y.

معادلة الخط المار بنقطتين مختلفتين ${\ displaystyle P_ {0} (x_ {0}، y_ {0})}$ و ${\ displaystyle P_ {1} (x_ {1}، y_ {1})}$ يمكن كتابتها كـ

${\ displaystyle (y-y_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) = (y_ {1} -y_ {0}) (x-x_ {0})}$.

إذا كانت x ₀ ≠ x ₁ ، فيمكن إعادة كتابة هذه المعادلة كـ

${\ displaystyle y = (x-x_ {0}) \، {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + y_ {0}}$

أو

${\ displaystyle y = x \، {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + {\ frac {x_ {1} y_ {0} -x_ { 0} y_ {1}} {x_ {1} -x_ {0}}} \ ،.}$

المعادلات البارامترية

تُستخدم المعادلات البارامترية أيضًا لتحديد الخطوط ، خاصة في تلك ذات الأبعاد الثلاثة أو أكثر لأنه في أكثر من بعدين لا يمكن وصف الخطوط بمعادلة خطية واحدة.

غالبًا ما يتم وصف الخطوط ذات الأبعاد الثلاثة بواسطة المعادلات البارامترية:

${\ displaystyle x = x_ {0} + at}$

${\ displaystyle y = y_ {0} + bt}$

${\ displaystyle z = z_ {0} + ct}$

أين:

x و y و z كلها وظائف للمتغير المستقل t الذي يمتد على الأعداد الحقيقية.

( x ₀ ، y ₀ ، z ₀ ) هي أي نقطة على الخط.

ترتبط أ ، ب ، ج بميل الخط ، بحيث يكون متجه الاتجاه ( أ ، ب ، ج ) موازٍ للخط.

تتشابه المعادلات البارامترية للخطوط ذات الأبعاد الأعلى من حيث أنها تستند إلى مواصفات نقطة واحدة على الخط ومتجه الاتجاه.

كملاحظة ، يمكن أيضًا وصف الخطوط ذات الأبعاد الثلاثة بأنها الحلول المتزامنة لمعادلتين خطيتين

${\ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z-d_ {1} = 0}$

${\ displaystyle a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z-d_ {2} = 0}$

مثل ذلك ${\ displaystyle (a_ {1}، b_ {1}، c_ {1})}$ و ${\ displaystyle (a_ {2}، b_ {2}، c_ {2})}$ ليست متناسبة (العلاقات ${\ displaystyle a_ {1} = ta_ {2}، b_ {1} = tb_ {2}، c_ {1} = tc_ {2}}$ لمح ${\ displaystyle t = 0}$). يتبع ذلك لأنه في ثلاثة أبعاد ، تصف المعادلة الخطية المفردة عادةً مستوى والخط هو ما هو مشترك بين مستويين متقاطعين متميزين.

شكل معادلة الميلان المحصور

في بعدين ، غالبًا ما تُعطى معادلة الخطوط غير العمودية في شكل تقاطع الميل :

${\ displaystyle y = mx + b}$

أين:

م هو المنحدر أو التدرج للخط.

ب هو الجزء المقطوع من الخط المستقيم ص.

x هو المتغير المستقل للدالة y = f ( x ).

منحدر الخط من خلال النقاط ${\ displaystyle A (x_ {a}، y_ {a})}$ و ${\ displaystyle B (x_ {b}، y_ {b})}$، متي ${\ displaystyle x_ {a} \ neq x_ {b}}$، اعطي من قبل ${\ displaystyle m = (y_ {b} -y_ {a}) / (x_ {b} -x_ {a})}$ ويمكن كتابة معادلة هذا الخط ${\ displaystyle y = m (x-x_ {a}) + y_ {a}}$.

شكل عادي

في النموذج العادي (وتسمى أيضا النموذج العادي هيس ، ^[11] بعد عالم الرياضيات الألماني لودفيغ اوتو هيس )، يقوم على أساس طبيعي القطاع للحصول على خط معين، والذي يعرف لتكون شريحة الخط الذي رسمته من أصل عمودي على خط . يربط هذا المقطع الأصل بأقرب نقطة على السطر إلى الأصل. يتم إعطاء الشكل الطبيعي لمعادلة الخط المستقيم على المستوى من خلال:

${\ displaystyle x \ cos \ varphi + y \ sin \ varphi -p = 0،}$

أين ${\ displaystyle \ varphi}$هي زاوية ميل المقطع العادي (الزاوية الموجهة من متجه الوحدة للمحور x إلى هذا المقطع) ، و p هي الطول (الموجب) للمقطع العادي. يمكن اشتقاق الشكل العادي من النموذج القياسي${\ displaystyle ax + by = c}$ بقسمة جميع المعاملات على

${\ displaystyle {\ frac {c} {| c |}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}$

على عكس أشكال التقاطع والميل ، يمكن أن يمثل هذا النموذج أي خط ولكنه يتطلب أيضًا معلمتين محدودتين فقط ، ${\ displaystyle \ varphi}$و p ليتم تحديدها. إذا كانت p > 0 ، إذن${\ displaystyle \ varphi}$ويعرف فريد مودولو 2 π . من ناحية أخرى ، إذا كان الخط يمر عبر الأصل ( c = p = 0 ) ، يسقط المرء c / | ج | مصطلح لحساب${\ displaystyle \ sin \ varphi}$ و ${\ displaystyle \ cos \ varphi}$، ويترتب على ذلك ${\ displaystyle \ varphi}$لا تعرف إلا مودولو π .

في الإحداثيات القطبية

في المستوى الديكارتي ، ترتبط الإحداثيات القطبية ( r ، θ ) بالإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلات

${\ displaystyle x = r \ cos \ theta، \ quad y = r \ sin \ theta.}$

في الإحداثيات القطبية، معادلة خط لا تمر عبر الأصل -The نقطة مع الإحداثيات (0، 0) ويمكن، أن تكون مكتوبة

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {\ cos (\ theta - \ varphi)}}،}$

مع r > 0 و${\ displaystyle \ varphi - \ pi / 2 <\ theta <\ varphi + \ pi / 2.}$هنا، ص هو (إيجابي) طول القطعة المستقيمة عمودي على خط ومحددة بواسطة أصل والخط، و${\ displaystyle \ varphi}$هي الزاوية (الموجهة) من المحور x إلى هذا المقطع.

قد يكون من المفيد التعبير عن المعادلة بدلالة الزاوية ${\ displaystyle \ alpha = \ varphi + \ pi / 2}$بين المحور السيني والخط. في هذه الحالة ، تصبح المعادلة

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {\ sin (\ theta - \ alpha)}}،}$

مع r > 0 و${\ displaystyle 0 <\ theta <\ alpha + \ pi.}$

يمكن اشتقاق هذه المعادلات من الشكل العادي لمعادلة الخط عن طريق الإعداد${\ displaystyle x = r \ cos \ theta،}$ و ${\ displaystyle y = r \ sin \ theta،}$ثم تطبيق متطابقة فرق الزاوية للجيب أو جيب التمام.

يمكن أيضًا إثبات هذه المعادلات هندسيًا من خلال تطبيق تعريفات المثلث القائم الزاوية للجيب وجيب التمام على المثلث الأيمن الذي يحتوي على نقطة من الخط والأصل كرؤوس ، والخط وعموديه من خلال الأصل كأضلاع.

لا تنطبق النماذج السابقة على خط يمر عبر الأصل ، ولكن يمكن كتابة صيغة أبسط: الإحداثيات القطبية ${\ displaystyle (r، \ theta)}$ لنقاط خط يمر عبر الأصل ويصنع زاوية ${\ displaystyle \ alpha}$مع المحور السيني ، هما الأزواج${\ displaystyle (r، \ theta)}$ مثل ذلك

${\ displaystyle r \ geq 0، \ qquad {\ text {and}} \ quad \ theta = \ alpha \ quad {\ text {or}} \ quad \ theta = \ alpha + \ pi.}$

كمعادلة متجه

يتم إعطاء معادلة المتجه للخط المار بالنقطتين A و B بواسطة ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {OA} + \ lambda \، \ mathbf {AB}}$(حيث λ عددية ).

إذا كان a متجه OA و b متجه OB ، فيمكن كتابة معادلة الخط:${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {a} + \ lambda (\ mathbf {b} - \ mathbf {a})}$.

يوصف شعاع يبدأ من النقطة A بتحديد. يتم الحصول على شعاع واحد إذا كانت λ ≥ 0 ، ويأتي الشعاع المقابل من λ ≤ 0.

في أبعاد أعلى

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، تُعرّف معادلة الدرجة الأولى في المتغيرات x و y و z المستوى ، لذا فإن معادلتين من هذا القبيل ، بشرط أن تكون المستويات التي ينشأ عنها غير متوازية ، تحدد خطًا يمثل تقاطع المستويات. وبشكل أعم، في ن الفضاء الأبعاد ن -1 المعادلات من الدرجة الأولى في ن تنسيق المتغيرات تحدد خط تحت ظروف مناسبة.

في الفضاء الإقليدي الأكثر عمومية ، R ⁿ (وبالمثل في كل مساحة أفينية أخرى ) ، فإن الخط L الذي يمر عبر نقطتين مختلفتين a و b (يُعتبران متجهين) هو المجموعة الفرعية

${\ displaystyle L = \ {(1-t) \، a + t \، b \ mid t \ in \ mathbb {R} \}}$

اتجاه الخط من a ( t = 0) إلى b ( t = 1) ، أو بعبارة أخرى ، في اتجاه المتجه b  -  a . يمكن أن تؤدي الاختيارات المختلفة لـ a و b إلى نفس السطر.

نقاط خطية متداخلة

يُقال أن ثلاث نقاط على خط واحد إذا كانت تقع على نفس الخط. ثلاث نقاط عادة ما تحدد في الطائرة ، ولكن في حالة ثلاث نقاط على خط واحد فهذا لا يحدث.

في الإحداثيات التقريبية ، في الفضاء ذي البعد n ، النقاط X = ( x ₁ ، x ₂ ، ... ، x _n ) ، Y = ( y ₁ ، y ₂ ، ... ، y _n ) ، و Z = ( z ₁ ، z ₂ ، ...، z _n ) على خط واحد إذا كانت المصفوفة

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {2} & \ dots & x_ {n} \\ 1 & y_ {1} & y_ {2} & \ dots & y_ {n} \\ 1 & z_ {1} & z_ {2 } & \ dots & z_ {n} \ end {bmatrix}}}$

ذات رتبة أقل من 3. على وجه الخصوص ، بالنسبة لثلاث نقاط في المستوى ( n = 2) ، تكون المصفوفة أعلاه مربعة والنقاط على خط واحد إذا وفقط إذا كان المحدد صفرًا.

على قدم المساواة لثلاث نقاط في المستوى ، تكون النقاط على خط واحد إذا وفقط إذا كان المنحدر بين زوج واحد من النقاط يساوي المنحدر بين أي زوج آخر من النقاط (في هذه الحالة ، فإن الميل بين زوج النقاط المتبقي سيساوي المنحدرات الأخرى) . بالامتداد ، تكون نقاط k في مستوى خطية متداخلة إذا وفقط إذا كان هناك أزواج ( k –1) من النقاط لها نفس المنحدرات الزوجية.

في الهندسة الإقليدية ، يمكن استخدام المسافة الإقليدية d ( a ، b ) بين النقطتين a و b للتعبير عن العلاقة الخطية المتداخلة بين ثلاث نقاط بواسطة: ^{[12] [13]}

النقاط a و b و c متصلة إذا وفقط إذا كانت d ( x ، a ) = d ( c ، a ) و d ( x ، b ) = d ( c ، b ) تعني x = c .

ومع ذلك ، هناك مفاهيم أخرى للمسافة (مثل مسافة مانهاتن ) لا تكون هذه الخاصية صحيحة بالنسبة لها.

في الأشكال الهندسية حيث يكون مفهوم الخط مفهومًا بدائيًا ، كما هو الحال في بعض الأشكال الهندسية التركيبية ، هناك حاجة إلى طرق أخرى لتحديد العلاقة الخطية المتداخلة.

أنواع الخطوط

بمعنى ما ، ^[14] جميع الخطوط في الهندسة الإقليدية متساوية ، بمعنى أنه بدون إحداثيات ، لا يمكن للمرء أن يميزها عن بعضها البعض. ومع ذلك ، قد تلعب الخطوط أدوارًا خاصة فيما يتعلق بالكائنات الأخرى في الهندسة ويمكن تقسيمها إلى أنواع وفقًا لتلك العلاقة. على سبيل المثال ، فيما يتعلق بالمخروط ( دائرة أو قطع ناقص أو قطع مكافئ أو قطع زائد ) ، يمكن أن تكون الخطوط:

• خطوط المماس التي تلمس المخروط عند نقطة واحدة ؛
• الخطوط القاطعة التي تتقاطع مع المخروط عند نقطتين وتمر عبر داخله ؛
• الخطوط الخارجية ، التي لا تلتقي مع المخروط في أي نقطة من المستوى الإقليدي ؛ أو
• و الدليل ، الذي المسافة من نقطة يساعد على تحديد ما إذا كانت هذه النقطة هي على مخروطي.

في سياق تحديد التوازي في الهندسة الإقليدية ، المستعرض هو خط يتقاطع مع خطين آخرين قد يكونان موازيين لبعضهما البعض.

لمزيد من المنحنيات الجبرية العامة ، يمكن أن تكون الخطوط أيضًا:

• ط خطوط -secant، وتلبية منحنى في ط نقطة تحسب دون تعدد، أو
• الخطوط المقاربة ، التي يقترب منحنى بشكل تعسفي دون لمسها.

فيما يتعلق بالمثلثات لدينا:

• على خط يولر ،
• و خطوط سيمسون ، و
• الخطوط المركزية .

ل محدب الرباعي مع في معظم الجانبين موازية، و خط نيوتن هو الخط الذي يربط بين نقاط المنتصف من اثنين الأقطار .

بالنسبة للمسدس ذي الرؤوس التي تقع على شكل مخروطي ، لدينا خط باسكال ، وفي الحالة الخاصة حيث يكون المخروط زوجًا من الخطوط ، لدينا خط بابوس .

الخطوط المتوازية هي خطوط في نفس المستوى لا تتقاطع أبدًا. تشترك الخطوط المتقاطعة في نقطة واحدة مشتركة. تتطابق الأسطر العرضية مع بعضها البعض - كل نقطة على أي منهما هي أيضًا على الأخرى.

الخطوط العمودية هي خطوط تتقاطع بزوايا قائمة .

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، خطوط الانحراف هي خطوط ليست في نفس المستوى وبالتالي لا تتقاطع مع بعضها البعض.

في العديد من نماذج الهندسة الإسقاطية ، نادرًا ما يتوافق تمثيل الخط مع مفهوم "المنحنى المستقيم" كما هو مرئي في الهندسة الإقليدية. في الهندسة الإهليلجية نرى مثالاً نموذجياً على ذلك. ^[15] في التمثيل الكروي للهندسة الإهليلجية ، يتم تمثيل الخطوط بدوائر كبيرة من الكرة مع تحديد نقاط متقابلة تمامًا. في نموذج مختلف للهندسة الإهليلجية ، يتم تمثيل الخطوط بواسطة طائرات إقليدية تمر عبر الأصل. على الرغم من أن هذه التمثيلات متميزة بصريًا ، إلا أنها تلبي جميع الخصائص (مثل ، نقطتان تحددان خطًا فريدًا) التي تجعلها تمثيلات مناسبة للخطوط في هذه الهندسة.

شعاع

نظرا خط وأي نقطة A على ذلك، ونحن قد تنظر A كما متحللة هذا الخط إلى قسمين. كل جزء يسمى شعاع والنقطة أ تسمى نقطتها الأولية . يُعرف أيضًا باسم نصف الخط ، نصف مساحة أحادية البعد . تعتبر النقطة A عضوًا في الشعاع. ^[16] بشكل حدسي ، يتكون الشعاع من تلك النقاط على خط يمر عبر A ويستمر إلى أجل غير مسمى ، بدءًا من A ، في اتجاه واحد فقط على طول الخط. ومع ذلك ، من أجل استخدام مفهوم الشعاع هذا في البراهين ، يلزم وجود تعريف أكثر دقة.

ونظرا نقاط متميزة و و B ، وتحديد شعاع فريدة من نوعها مع نقطة الأولي A . كما تحدد نقطتين خط فريدة من نوعها، هذه الأشعة تتكون من جميع النقاط بين A و B (بما في ذلك A و B ) وجميع النقاط C على الخط من خلال A و B بحيث B هو بين A و C . ^[17] هو، في بعض الأحيان، وأعرب أيضا باسم كل مجموعة من نقاط C بحيث A ليس بين B و C . ^[18] وهناك نقطة D ، على خط يحدده A و B ولكن ليس في راي مع نقطة البداية و التي يحددها B ، ستحدد الأشعة آخر مع نقطة الأولي A . فيما يتعلق بشعاع AB ، يسمى شعاع AD الشعاع المقابل .

وبالتالي ، يمكننا القول أن نقطتين مختلفتين ، A و B ، تحددان خطًا وتحللًا لهذا الخط في الاتحاد المنفصل لقطعة مفتوحة ( A ،  B ) وشعاعين ، BC و AD (النقطة D غير مرسومة في الشكل ، ولكن على يسار A على الخط AB ). هذه ليست أشعة معاكسة لأن لها نقاط أولية مختلفة.

في الهندسة الإقليدية ، يشكل شعاعا بنقطة نهاية مشتركة زاوية .

يعتمد تعريف الشعاع على مفهوم المسافة البينية للنقاط على الخط. ويترتب على ذلك أن الأشعة موجودة فقط للهندسات التي توجد لها هذه الفكرة ، عادةً الهندسة الإقليدية أو الهندسة الأفينية فوق حقل مرتب . من ناحية أخرى ، لا توجد الأشعة في الهندسة الإسقاطية ولا في الهندسة فوق حقل غير مرتب ، مثل الأعداد المركبة أو أي مجال محدد .

القطعة المستقيمة

A القطعة المستقيمة هو جزء من الخط الذي يحدها نقطتين نهاية متميزة ويحتوي على كل نقطة على الخط الفاصل بين نقطة نهايته. اعتمادًا على كيفية تعريف المقطع الخطي ، قد تكون أو لا تكون أي من نقطتي النهاية جزءًا من المقطع المستقيم. قد يكون لقطعتين خطيتين أو أكثر بعض العلاقات نفسها مثل الخطوط ، مثل الموازية أو المتقاطعة أو الانحراف ، ولكن على عكس الخطوط ، قد لا تكون أيًا من هذه العلاقات ، إذا كانت متحدة المستوى وإما أنها غير متقاطعة أو متداخلة .

الجيوديسيا

يمكن تعميم "قصر" و "استقامة" الخط ، على أنه الخاصية التي تقلل من المسافة على طول الخط بين أي نقطتين منه (انظر عدم مساواة المثلث ) ، ويؤدي إلى مفهوم الجيوديسيا في المساحات المترية .

• Coxeter ، HSM (1969) ، مقدمة في الهندسة (الطبعة الثانية) ، نيويورك: John Wiley & Sons ، ISBN 0-471-18283-4
• فابر ، ريتشارد ل. (1983) ، أسس الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية ، نيويورك: مارسيل ديكر ، ISBN 0-8247-1748-1
• Pedoe ، Dan (1988) ، الهندسة: دورة شاملة ، مينولا ، نيويورك: دوفر ، ISBN 0-486-65812-0
• Wylie Jr. ، CR (1964) ، أسس الهندسة ، نيويورك: McGraw-Hill ، ISBN 0-0772191-2

• "Line (curve)" ، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• معادلات الخط المستقيم عند قطع العقدة