Page semi-protected

الرياضيات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى الملاحة اذهب إلى البحث
هذه المقالة هي حول مجال الدراسة. لاستخدامات أخرى، انظر الرياضيات (توضيح) و الرياضيات (توضيح) .

عالم الرياضيات اليوناني إقليدس (يحمل الفرجار ) ، القرن الثالث قبل الميلاد ، كما تخيله رافائيل في هذا التفصيل من مدرسة أثينا (1509-1511) [أ]
Nuvola Math and Inf.svg
الرياضيات
علماء الرياضيات
  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه
  • F
  • جي
  • ح
  • أنا
  • ي
  • ك
  • إل
  • م
  • ن
  • ا
  • ص
  • س
  • ر
  • س
  • تي
  • يو
  • الخامس
  • دبليو
  • X
  • ص
  • ض
التنقل
  • القوائم
  • الخطوط العريضة
  • منفذ
  • المناطق
  • الخامس
  • ر
  • ه

تتضمن الرياضيات (من اليونانية : μάθημα ، máthēma ، "المعرفة ، الدراسة ، التعلم") دراسة موضوعات مثل الكمية ( نظرية الأعداد ) ، [1] التركيب ( الجبر ) ، [2] الفضاء ( الهندسة ) ، [1] و تغيير ( تحليل ). [3] [4] [5] ليس لها تعريف مقبول بشكل عام . [6] [7]

يسعى علماء الرياضيات إلى استخدام أنماط [8] [9] لصياغة تخمينات جديدة . أنها حل الحقيقة أو زيف هذا النحو من قبل البرهان الرياضي . عندما تكون الهياكل الرياضية نماذج جيدة لظواهر حقيقية ، يمكن استخدام التفكير الرياضي لتقديم نظرة ثاقبة أو تنبؤات حول الطبيعة. من خلال استخدام التجريد و المنطق والرياضيات وضعت من العد ، حساب ، قياس ، والدراسة المنهجية من الأشكال و الاقتراحات من الأشياء المادية. كانت الرياضيات العملية نشاطًا بشريًا منذ زمن بعيد حيث توجد السجلات المكتوبة . و الأبحاث المطلوبة لحل المشاكل الرياضية يمكن أن يستغرق سنوات أو قرون حتى التحقيق مستمر.

الحجج الصارمة ظهرت للمرة الأولى في الرياضيات اليونانية ، وعلى الأخص في إقليدس الصورة عناصر . [10] منذ العمل الرائد لجوزيبي بينو (1858-1932) وديفيد هيلبرت (1862-1943) وآخرين حول النظم البديهية في أواخر القرن التاسع عشر ، أصبح من المعتاد النظر إلى البحث الرياضي على أنه يؤسس للحقيقة عن طريق الاستنتاج الدقيق من اختار بشكل مناسب البديهيات و التعاريف . تطورت الرياضيات بوتيرة بطيئة نسبيًا حتى عصر النهضة ، عندما تفاعلت الابتكارات الرياضية مع الابتكارات الجديدةأدت الاكتشافات العلمية إلى زيادة سريعة في معدل الاكتشافات الرياضية التي استمرت حتى يومنا هذا. [11]

الرياضيات الأساسية في العديد من المجالات، بما في ذلك العلوم الطبيعية ، الهندسة ، الطب ، المالية ، و العلوم الاجتماعية . الرياضيات التطبيقية أدى إلى التخصصات الرياضية الجديدة كليا، مثل إحصاءات و نظرية اللعبة . ينخرط علماء الرياضيات في الرياضيات البحتة (الرياضيات لذاتها) دون وضع أي تطبيق في الاعتبار ، ولكن غالبًا ما يتم اكتشاف التطبيقات العملية لما بدأ كرياضيات بحتة لاحقًا. [12] [13]

تاريخ

المقال الرئيسي: تاريخ الرياضيات

يمكن النظر إلى تاريخ الرياضيات على أنه سلسلة متزايدة من الأفكار التجريدية . التجريد الأول ، الذي تشترك فيه العديد من الحيوانات ، [14] ربما كان عبارة عن أرقام: إدراك أن مجموعة من تفاحتين ومجموعة من برتقالتين (على سبيل المثال) تشترك في شيء ما ، ألا وهو كمية أعضائها.

كما يتضح من الإحصائيات الموجودة على العظام ، بالإضافة إلى التعرف على كيفية حساب الأشياء المادية ، ربما تكون شعوب ما قبل التاريخ قد أدركت أيضًا كيفية حساب الكميات المجردة ، مثل الوقت - الأيام أو الفصول أو السنوات. [15] [16]

اللوح الرياضي البابلي Plimpton 322 ، مؤرخ في 1800 قبل الميلاد.

لا يظهر الدليل على الرياضيات أكثر تعقيدا حتى حوالي عام 3000  قبل الميلاد ، عندما البابليين بدأت والمصريين باستخدام الحسابي ، الجبر و الهندسة لفرض الضرائب والحسابات المالية الأخرى، لبناء والتشييد، ول علم الفلك . [17] أقدم النصوص الرياضية من بلاد ما بين النهرين و مصر هي 2000-1800 قبل الميلاد. [18] تشير العديد من النصوص المبكرة إلى ثلاثيات فيثاغورس ، وبالتالي ، من خلال الاستدلال ، فإن نظرية فيثاغورسيبدو أنه التطور الرياضي الأقدم والأكثر انتشارًا بعد الحساب والهندسة الأساسيين. [19] وهو في الرياضيات البابلية أن حساب ابتدائي ( إضافة ، الطرح ، الضرب و القسمة ) تظهر لأول مرة في السجل الآثاري. امتلك البابليون أيضًا نظام القيمة المكانية واستخدموا نظام العد الجنسي [19] والذي لا يزال مستخدمًا حتى اليوم لقياس الزوايا والوقت. [20]

استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد لتقريب قيمة باي .

ابتداء من القرن 6th قبل الميلاد مع فيثاغورس ، مع الرياضيات اليونانية و الإغريق بدأت الدراسة المنهجية للرياضيات كموضوع في حد ذاتها. [21] حوالي 300 قبل الميلاد ، قدم إقليدس الطريقة البديهية التي لا تزال مستخدمة في الرياضيات اليوم ، وتتألف من التعريف ، والبديهية ، والنظرية ، والإثبات. يعتبر كتابه ، العناصر ، على نطاق واسع أكثر الكتب المدرسية نجاحًا وتأثيرًا في كل العصور. [22] غالبًا ما يُعتقد أن أعظم عالم رياضيات في العصور القديمة هو أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) من سيراكيوز . [23]طور الصيغ لحساب مساحة السطح وحجم المواد الصلبة للدوران واستخدم طريقة الاستنفاد لحساب المساحة الواقعة تحت قوس القطع المكافئ مع جمع سلسلة لا نهائية ، بطريقة لا تختلف كثيرًا عن التفاضل والتكامل الحديث. [24] من الإنجازات البارزة الأخرى للرياضيات اليونانية الأقسام المخروطية ( Apollonius of Perga ، القرن الثالث قبل الميلاد) ، [25] علم المثلثات ( Hipparchus of Nicaea ، القرن الثاني قبل الميلاد) ، [26] وبدايات الجبر ( ديوفانتوس ، القرن الثالث الميلادي) ). [27]

الأرقام المستخدمة في مخطوطة بخشالي مؤرخة بين القرن الثاني قبل الميلاد والقرن الثاني الميلادي.

و النظام الهندي العربي الأرقام وقواعد لاستخدام عملياتها، في الاستخدام في جميع أنحاء العالم اليوم، تطورت على مدى أول AD الألفية في الهند وأحيلت إلى العالم الغربي عن طريق الرياضيات الإسلامية . [28] وتشمل التطورات البارزة الأخرى في الرياضيات الهندية تعريف الحديث وتقريب جيب و جيب التمام ، [28] وشكل مبكر من سلسلة لا نهاية لها .

صفحة من جبر الخوارزمي

خلال العصر الذهبي للإسلام ، وخاصة خلال القرنين التاسع والعاشر ، شهدت الرياضيات العديد من الابتكارات المهمة التي تعتمد على الرياضيات اليونانية. كان أبرز إنجازات الرياضيات الإسلامية هو تطوير علم الجبر . تشمل الإنجازات الأخرى للعصر الإسلامي التطورات في علم المثلثات الكروية وإضافة العلامة العشرية إلى نظام الأرقام العربية. [29] [30] وكانت العديد من علماء الرياضيات ملحوظة من هذه الفترة الفارسية، مثل آل Khwarismi ، عمر الخيام ، و شرف الدين الطوسي .

خلال الفترة الحديثة المبكرة ، بدأت الرياضيات في التطور بوتيرة متسارعة في أوروبا الغربية . أحدث تطور حساب التفاضل والتكامل من قبل نيوتن ولايبنيز في القرن السابع عشر ثورة في الرياضيات. [31] كان ليونارد أويلر أبرز عالم رياضيات في القرن الثامن عشر ، حيث ساهم بالعديد من النظريات والاكتشافات. [32] ربما كان عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس ، عالم الرياضيات الأول في القرن التاسع عشر ، [33] الذي قدم مساهمات عديدة في مجالات مثل الجبر ، والتحليل ، والهندسة التفاضلية ، ونظرية المصفوفة ،نظرية الأعداد ، و الإحصاءات . في أوائل القرن العشرين ، قام كورت جودل بتحويل الرياضيات من خلال نشر نظريات عدم الاكتمال الخاصة به ، والتي تُظهر جزئيًا أن أي نظام بديهي متسق - إذا كان قويًا بدرجة كافية لوصف الحساب - سيحتوي على افتراضات حقيقية لا يمكن إثباتها. [34]

منذ ذلك الحين تم توسيع الرياضيات بشكل كبير ، وكان هناك تفاعل مثمر بين الرياضيات والعلوم ، لصالح كليهما. تستمر الاكتشافات الرياضية اليوم. وفقًا لـ Mikhail B. Sevryuk ، في عدد يناير 2006 من نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، "عدد الأوراق والكتب المدرجة في قاعدة بيانات المراجعات الرياضية منذ عام 1940 (السنة الأولى من تشغيل MR) الآن أكثر من 1.9 تضاف مليون، وأكثر من 75 ألف من عناصر إلى قاعدة البيانات كل عام، والغالبية العظمى من الأعمال في هذا المحيط تحتوي رياضية جديدة النظريات وعلى البراهين ". [35]

علم أصول الكلمات

تأتي كلمة الرياضيات من اليونانية القديمة ماثوما ( μάθημα ) ، والتي تعني "ما يتم تعلمه" ، [36] "ما يعرفه المرء ،" ومن ثم أيضًا "دراسة" و "علم". أصبحت كلمة "رياضيات" لها معنى أضيق وأكثر تقنية "دراسة رياضية" حتى في العصور الكلاسيكية. [37] لها صفة هي mathēmatikós ( μαθηματικός )، وهذا يعني "تتعلق التعلم" أو "مواظب"، والذي جاء كذلك بالمثل تعني "الرياضية". على وجه الخصوص ، mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ؛ اللاتينية :الرياضيات) تعني "الفن الرياضي".

وبالمثل ، كانت إحدى المدرستين الرئيسيتين للفكر في فيثاغورس تُعرف باسم الرياضيات (μαθηματικοί) - والتي كانت تعني في ذلك الوقت "المتعلمين" بدلاً من "علماء الرياضيات" بالمعنى الحديث. [38]

في اللاتينية ، وباللغة الإنجليزية حتى حوالي عام 1700 ، كان مصطلح الرياضيات يعني أكثر شيوعًا " علم التنجيم " (أو أحيانًا " علم الفلك ") بدلاً من "الرياضيات" ؛ تغير المعنى تدريجيًا إلى معناه الحالي من حوالي 1500 إلى 1800. وقد أدى ذلك إلى العديد من الترجمات الخاطئة. على سبيل المثال ، تحذير القديس أوغسطينوس بأنه يجب على المسيحيين الحذر من الرياضيات ، أي المنجمين ، يُساء أحيانًا تفسيره على أنه إدانة لعلماء الرياضيات. [39]

الظاهر الجمع النموذج باللغة الإنجليزية، مثل صيغة الجمع الفرنسي ليه MATHEMATIQUES (وأقل شائعة الاستخدام المفرد مشتق لا mathématique )، يعود إلى اللاتينية محايد الجمع الرياضيات ( شيشرون )، استنادا إلى الجمع اليوناني تا mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά )، المستخدمة من قبل أرسطو (384-322 قبل الميلاد)، وهذا يعني تقريبا "كل شيء الرياضية"، على الرغم من أنه من المعقول أن اللغة الإنجليزية اقترضت فقط صفة الرياضيات (آل) وشكلت اسما الرياضيات من جديد، بعد نمط الفيزياء و الميتافيزياءالتي ورثت عن اليونانية. [40] في اللغة الإنجليزية ، تأخذ الرياضيات الاسمية فعلًا مفردًا. وغالبا ما اختصره إلى الرياضيات ، أو في أمريكا الشمالية، و الرياضيات . [41]

تعريفات الرياضيات

ليوناردو فيبوناتشي ، عالم الرياضيات الإيطالي الذي أدخل نظام العد الهندوسي العربي الذي ابتكره علماء الرياضيات الهنود بين القرنين الأول والرابع ، إلى العالم الغربي.
المقال الرئيسي: تعريفات الرياضيات

الرياضيات ليس لها تعريف مقبول بشكل عام. [6] [7] عرّف أرسطو الرياضيات على أنها "علم الكمية" وقد ساد هذا التعريف حتى القرن الثامن عشر. ومع ذلك ، لاحظ أرسطو أيضًا أن التركيز على الكمية وحدها قد لا يميز الرياضيات عن علوم مثل الفيزياء ؛ من وجهة نظره ، فإن التجريد ودراسة الكمية بصفتها خاصية "قابلة للفصل في الفكر" عن الأمثلة الحقيقية تفرق الرياضيات. [42]

في القرن 19، عندما زادت دراسة الرياضيات في الصرامة وبدأت لمعالجة موضوعات مجردة مثل نظرية الزمر و الهندسة الإسقاطية ، التي ليس لها واضحة بالنسبة لكمية والقياس، وبدأت علماء الرياضيات والفلاسفة اقتراح مجموعة متنوعة من التعريفات الجديدة . [43]

لا يهتم عدد كبير من علماء الرياضيات المحترفين بتعريف الرياضيات ، أو يعتبرونه غير قابل للتعريف. [6] لا يوجد إجماع حول ما إذا كانت الرياضيات فنًا أم علمًا. [7] يقول البعض فقط ، "الرياضيات هي ما يفعله علماء الرياضيات". [6]

ثلاثة أنواع رائدة

ثلاثة أنواع رائدة من تعريف الرياضيات اليوم تسمى المنطق ، والحدس ، والشكلية ، ويعكس كل منها مدرسة فلسفية مختلفة. [44] جميعها بها عيوب خطيرة ، ولا يوجد قبول واسع لأي منها ، ولا يبدو أن المصالحة ممكنة. [44]

تعريفات منطقية

كان التعريف المبكر للرياضيات من حيث المنطق هو تعريف بنجامين بيرس (1870): "العلم الذي يستخلص الاستنتاجات الضرورية". [45] في مبادئ الرياضيات ، برتراند راسل و ألفريد نورث وايتهيد متقدمة البرنامج الفلسفي المعروف باسم منطقانية ، ومحاولة لإثبات أن جميع المفاهيم الرياضية، والبيانات، والمبادئ يمكن تعريف وثبت تماما من حيث المنطق الرمزي . تعريف منطقي للرياضيات هو راسل (1903) "كل الرياضيات هي منطق رمزي." [46]

تعريفات حدسية

الحدسي التعاريف وتطوير من فلسفة رياضيات LEJ بروير ، وتحديد الرياضيات مع بعض الظواهر النفسية. مثال على التعريف الحدسي هو "الرياضيات هي النشاط العقلي الذي يتكون من تنفيذ البنى واحدًا تلو الآخر". [44] خصوصية الحدس هو أنه يرفض بعض الأفكار الرياضية التي تعتبر صالحة وفقًا لتعريفات أخرى. على وجه الخصوص ، في حين أن فلسفات الرياضيات الأخرى تسمح بالأشياء التي يمكن إثبات وجودها على الرغم من عدم إمكانية بنائها ، فإن الحدس يسمح فقط بالأشياء الرياضية التي يمكن للمرء أن يبنيها بالفعل. يرفض الحدس أيضًا قانون الوسط المستبعد (أي ،). في حين أن هذا الموقف يجبرهم على رفض نسخة مشتركة واحدة من الإثبات عن طريق التناقض كأسلوب إثبات قابل للتطبيق ، أي الاستدلال من ، إلا أنهم ما زالوا قادرين على الاستدلال منه . بالنسبة لهم ، هو بيان أضعف من . [47]

التعريفات الشكلية

تعرّف التعريفات الشكلية الرياضيات برموزها وقواعد العمل عليها. عرّف هاسكل كاري الرياضيات ببساطة على أنها "علم الأنظمة الرسمية". [48] وهناك نظام رسمي عبارة عن مجموعة من الرموز، أو الرموز ، وبعض القواعد على الكيفية التي يتم دمجها في الرموز الصيغ . في الأنظمة الرسمية ، كلمة بديهية لها معنى خاص يختلف عن المعنى العادي لـ "حقيقة بديهية" ، وتُستخدم للإشارة إلى مجموعة من الرموز المميزة المضمنة في نظام رسمي معين دون الحاجة إلى اشتقاقها باستخدام قواعد النظام.

الرياضيات كعلم

كارل فريدريش جاوس ، المعروف بأمير علماء الرياضيات

أشار عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس إلى الرياضيات باسم "ملكة العلوم". [49] في الآونة الأخيرة ، أطلق ماركوس دو سوتوي على الرياضيات اسم "ملكة العلوم ... القوة الدافعة الرئيسية وراء الاكتشاف العلمي". [50] والفيلسوف كارل بوبر احظ أن "معظم النظريات الرياضية هي، مثل تلك التي الفيزياء و البيولوجيا ، فرضي - استنتاجي : لذا الرياضيات البحتة تبين أن يكون أقرب إلى العلوم الطبيعية التي الفرضيات هي التخمين، مما كان يبدو حتى الآونة الأخيرة. " [51]وأشار بوبر أيضًا إلى أنه "سأعترف بالتأكيد بأي نظام على أنه تجريبي أو علمي فقط إذا كان قابلاً للاختبار بالتجربة". [52]

يعتبر العديد من المؤلفين أن الرياضيات ليست علمًا لأنها لا تعتمد على الأدلة التجريبية . [53] [54] [55] [56]

تشترك الرياضيات كثيرًا مع العديد من المجالات في العلوم الفيزيائية ، ولا سيما استكشاف النتائج المنطقية للافتراضات. يلعب الحدس والتجريب أيضًا دورًا في صياغة التخمينات في كل من الرياضيات والعلوم (الأخرى). تستمر الرياضيات التجريبية في النمو من حيث الأهمية في الرياضيات ، ويلعب الحساب والمحاكاة دورًا متزايدًا في كل من العلوم والرياضيات.

تتنوع آراء علماء الرياضيات حول هذه المسألة. يشعر العديد من علماء الرياضيات [57] أن تسمية منطقتهم علمًا يعني التقليل من أهمية جانبه الجمالي ، وتاريخه في الفنون الليبرالية السبعة التقليدية . يشعر الآخرون أن تجاهل ارتباطها بالعلوم يعني غض الطرف عن حقيقة أن التفاعل بين الرياضيات وتطبيقاتها في العلوم والهندسة قد أدى إلى الكثير من التطور في الرياضيات. [58] إحدى الطرق التي يظهر بها هذا الاختلاف في وجهة النظر هي النقاش الفلسفي حول ما إذا كانت الرياضيات قد تم إنشاؤها (كما في الفن) أو اكتشافها(كما في العلم). في الممارسة العملية ، عادةً ما يتم تجميع علماء الرياضيات مع العلماء على المستوى الإجمالي ولكن يتم فصلهم على مستويات أدق. هذه واحدة من العديد من القضايا التي تم أخذها في الاعتبار في فلسفة الرياضيات . [59]

الإلهام والرياضيات البحتة والتطبيقية وعلم الجمال

المقال الرئيسي: الجمال الرياضي
طور إسحاق نيوتن (يسار) وجوتفريد فيلهلم ليبنيز حساب التفاضل والتكامل متناهي الصغر.

تنشأ الرياضيات من عدة أنواع مختلفة من المسائل. تم العثور عليها في البداية في التجارة وقياس الأرض والهندسة المعمارية وعلم الفلك لاحقًا . اليوم ، تشير جميع العلوم إلى مشاكل درسها علماء الرياضيات ، وتظهر العديد من المشكلات داخل الرياضيات نفسها. على سبيل المثال، و عالم الفيزياء ريتشارد فينمان اخترع صياغة مسار لا يتجزأ من ميكانيكا الكم باستخدام مزيج من التفكير الرياضي والبصيرة المادية، واليوم نظرية الأوتار ، نظرية علمية لا يزال النامية التي محاولات لتوحيد أربع قوى أساسية في الطبيعة تواصل، ليلهم رياضيات جديدة. [60]

بعض الرياضيات ذات صلة فقط في المنطقة التي ألهمتها ، ويتم تطبيقها لحل المزيد من المشاكل في هذا المجال. ولكن غالبًا ما تكون الرياضيات المستوحاة من مجال واحد مفيدة في العديد من المجالات ، وتنضم إلى المخزون العام للمفاهيم الرياضية. وغالبا ما التمييز بين الرياضيات البحتة و الرياضيات التطبيقية . ومع ذلك ، غالبًا ما يكون لموضوعات الرياضيات البحتة تطبيقات ، مثل نظرية الأعداد في التشفير .

هذه الحقيقة الرائعة ، أنه حتى "أنقى" الرياضيات غالبًا ما يكون لها تطبيقات عملية ، هو ما أطلق عليه الفيزيائي يوجين وينر " الفعالية غير المعقولة للرياضيات ". [13] كتب فيلسوف الرياضيات مارك شتاينر على نطاق واسع حول هذه المسألة ويقر بأن قابلية تطبيق الرياضيات تشكل "تحديًا للطبيعية". [61] بالنسبة لفيلسوفة الرياضيات ماري لينج ، فإن حقيقة أن العالم المادي يتصرف وفقًا لإملاءات الكيانات الرياضية غير السببية الموجودة خارج الكون هي "صدفة سعيدة". [62] من ناحية أخرى ، لبعض مناهضي الواقعية، الروابط ، التي يتم اكتسابها بين الأشياء الرياضية ، تعكس فقط الروابط المكتسبة بين الأشياء في الكون ، بحيث لا توجد "مصادفة سعيدة". [62]

كما هو الحال في معظم مجالات الدراسة ، أدى انفجار المعرفة في العصر العلمي إلى التخصص: هناك الآن المئات من المجالات المتخصصة في الرياضيات وأحدث تصنيف لموضوع الرياضيات يصل إلى 46 صفحة. [63] اندمجت عدة مجالات الرياضيات التطبيقية مع التقاليد ذات الصلة خارج الرياضيات والتخصصات تصبح في حد ذاتها، بما في ذلك الإحصاءات، بحوث العمليات ، و علوم الكمبيوتر .

بالنسبة لأولئك الذين يميلون للرياضيات ، غالبًا ما يكون هناك جانب جمالي محدد لكثير من الرياضيات. يتحدث العديد من علماء الرياضيات عن أناقة الرياضيات وجمالياتها الداخلية وجمالها الداخلي. يتم تقدير البساطة والعموم. هناك جمال في برهان بسيط وأنيق ، مثل برهان إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، وبطريقة عددية أنيقة تسرع الحساب ، مثل تحويل فورييه السريع . GH هاردي في اعتذار عالم رياضياتأعرب عن اعتقاده بأن هذه الاعتبارات الجمالية ، في حد ذاتها ، كافية لتبرير دراسة الرياضيات البحتة. حدد معايير مثل الأهمية ، وعدم توقع ، والحتمية ، والاقتصاد كعوامل تساهم في الجمالية الرياضية. [64] غالبًا ما يبحث البحث الرياضي عن السمات الهامة للشيء الرياضي. A نظرية كنسبة توصيف الكائن من قبل هذه الميزات هي الجائزة. تم نشر أمثلة على الحجج الرياضية الموجزة والوحي بشكل خاص في Proofs from THE BOOK .

تعد شعبية الرياضيات الترفيهية علامة أخرى على المتعة التي يجدها الكثيرون في حل الأسئلة الرياضية. وعلى الطرف الاجتماعي الآخر ، يواصل الفلاسفة إيجاد مشاكل في فلسفة الرياضيات ، مثل طبيعة البرهان الرياضي . [65]

التدوين واللغة والصرامة

المقال الرئيسي: تدوين رياضي
ابتكر ليونارد أويلر ونشر الكثير من الرموز الرياضية المستخدمة اليوم.

لم يتم اختراع معظم الرموز الرياضية المستخدمة اليوم حتى القرن السادس عشر. [66] قبل ذلك ، كانت الرياضيات تُكتب بالكلمات ، مما يحد من الاكتشاف الرياضي. [67] كان أويلر (1707-1783) مسؤولاً عن العديد من الرموز المستخدمة اليوم. يجعل التدوين الحديث الرياضيات أسهل بكثير للمحترفين ، ولكن غالبًا ما يجدها المبتدئين أمرًا شاقًا. وفقًا لباربرا أوكلي ، يمكن أن يُعزى ذلك إلى حقيقة أن الأفكار الرياضية أكثر تجريدًا وأكثر تشفيرًا من تلك الموجودة في اللغة الطبيعية. [68] على عكس اللغة الطبيعية ، حيث يمكن للناس في كثير من الأحيان أن يساويوا كلمة ما (مثل بقرة) مع الكائن المادي الذي يتوافق معه ، فإن الرموز الرياضية مجردة ، وتفتقر إلى أي نظير فيزيائي. [69] الرموز الرياضية هي أيضًا أكثر تشفيرًا من الكلمات العادية ، مما يعني أن رمزًا واحدًا يمكن أن يشفر عددًا من العمليات أو الأفكار المختلفة. [70]

اللغة الرياضية يمكن أن يكون من الصعب فهم للمبتدئين لأنه حتى المصطلحات الشائعة، مثل أو و إلا ، لها معنى أكثر دقة مما لديهم في خطاب كل يوم، ومصطلحات أخرى مثل مفتوحة و المجال تشير إلى الأفكار الرياضية الخاصة، التي لا تغطيها بهم معاني العلمانيين. ويشمل اللغة الرياضية أيضا العديد من المصطلحات الفنية مثل التشابه و للتكامل التي لا معنى لها خارج الرياضيات. بالإضافة إلى ذلك ، فإن العبارات المختصرة مثل iff لـ " if and only if " تنتمي إلى المصطلحات الرياضية. هناك سبب للتدوين الخاص والمفردات الفنية: تتطلب الرياضيات دقة أكبر من الكلام اليومي. يشير علماء الرياضيات إلى هذه الدقة في اللغة والمنطق على أنها "الصرامة".

البرهان الرياضي هو في الأساس مسألة صرامة . يريد علماء الرياضيات أن تتبع نظرياتهم البديهيات عن طريق التفكير المنهجي. هذا لتجنب " النظريات " الخاطئة ، القائمة على الحدس غير المعصوم ، والتي حدثت العديد من الأمثلة في تاريخ الموضوع. [ب] اختلف مستوى الدقة المتوقع في الرياضيات بمرور الوقت: توقع الإغريق حججًا مفصلة ، ولكن في وقت إسحاق نيوتنكانت الأساليب المستخدمة أقل صرامة. ستؤدي المشاكل المتأصلة في التعريفات التي استخدمها نيوتن إلى عودة ظهور التحليل الدقيق والإثبات الرسمي في القرن التاسع عشر. إن سوء فهم الصرامة هو سبب لبعض المفاهيم الخاطئة الشائعة في الرياضيات. اليوم ، يواصل علماء الرياضيات الجدال فيما بينهم حول البراهين المدعومة بالحاسوب . نظرًا لصعوبة التحقق من الحسابات الكبيرة ، فقد تكون هذه البراهين خاطئة إذا كان برنامج الكمبيوتر المستخدم خاطئًا. [ج] [71] من ناحية أخرى ، يسمح مساعدو الإثبات بالتحقق من جميع التفاصيل التي لا يمكن تقديمها في إثبات مكتوب بخط اليد ، ويوفرون اليقين بصحة البراهين الطويلة مثل إثبات نظرية Feit-Thompson . [د]

كانت البديهيات في الفكر التقليدي "حقائق بديهية" ، لكن هذا المفهوم إشكالي. [72] على المستوى الرسمي ، البديهية هي مجرد سلسلة من الرموز ، لها معنى جوهري فقط في سياق جميع الصيغ المشتقة لنظام بديهي . كان هدف برنامج هيلبرت هو وضع جميع الرياضيات على أساس بديهي ثابت ، ولكن وفقًا لنظرية عدم الاكتمال لجودل ، فإن كل نظام بديهي (قوي بما فيه الكفاية) له صيغ غير قابلة للتقرير ؛ ولذا فإن البديهية النهائية للرياضيات أمر مستحيل. ومع ذلك ، غالبًا ما يُتخيل أن الرياضيات (بقدر محتواها الرسمي) ليست سوى نظرية المجموعاتفي بعض البديهيات ، بمعنى أن كل بيان أو دليل رياضي يمكن أن يلقي في صيغ ضمن نظرية المجموعة. [73]

مجالات الرياضيات

انظر أيضا: مجالات الرياضيات و مسرد مجالات الرياضيات
و المعداد هو أداة حسابية بسيطة تستخدم منذ العصور القديمة.

الرياضيات يمكن، بصفة عامة، أن تنقسم إلى دراسة كمية وبنية، والفضاء، والتغيير (أي علم الحساب ، الجبر ، الهندسة ، و التحليل ). وبالإضافة إلى هذه الشواغل الرئيسية، وهناك أيضا التقسيمات مخصصة لاستكشاف الروابط من قلب الرياضيات لمجالات أخرى: إلى المنطق ، ل نظرية المجموعات ( أسس )، إلى الرياضيات التطبيقية من مختلف العلوم ( الرياضيات التطبيقية )، وأكثر من ذلك مؤخرا إلى الدراسة الدقيقة لعدم اليقين . في حين أن بعض المناطق قد تبدو غير ذات صلة ، فإن برنامج لانجلاندزوقد وجدت صلات بين المناطق التي كان يعتقد براء، مثل مجموعة جالويس ، ريمان السطوح و نظرية الأعداد .

تجمع الرياضيات المنفصلة بشكل تقليدي مجالات الرياضيات التي تدرس الهياكل الرياضية المنفصلة بشكل أساسي بدلاً من الاتصال المستمر.

الأسس والفلسفة

من أجل توضيح أسس الرياضيات ، مجالات المنطق الرياضي و نظرية المجموعات وضعت. يتضمن المنطق الرياضي الدراسة الرياضية للمنطق وتطبيقات المنطق الرسمي في مجالات الرياضيات الأخرى ؛ نظرية المجموعات هي فرع الرياضيات الذي يدرس مجموعات أو مجموعات من الأشياء. تصف عبارة "أزمة الأسس" البحث عن أساس صارم للرياضيات والذي حدث من حوالي عام 1900 إلى عام 1930. [74] يستمر بعض الخلاف حول أسس الرياضيات حتى يومنا هذا. تم تحفيز أزمة المؤسسات من قبل عدد من الخلافات في ذلك الوقت ، بما في ذلكالجدل حول نظرية المجموعات كانتور والجدل بين بروير وهيلبرت .

يهتم المنطق الرياضي بوضع الرياضيات في إطار بديهي صارم ، ودراسة الآثار المترتبة على مثل هذا الإطار. على هذا النحو ، فهي موطن لنظريات عدم الاكتمال لجودل والتي (بشكل غير رسمي) تشير إلى أن أي نظام رسمي فعال يحتوي على الحساب الأساسي ، إذا كان الصوت (بمعنى أن جميع النظريات التي يمكن إثباتها صحيحة) ، هي بالضرورة غير كاملة (بمعنى أن هناك نظريات صحيحة). التي لا يمكن إثباتها في هذا النظام). مهما كانت المجموعة المحدودة من البديهيات النظرية العددية التي تؤخذ كأساس ، فقد أظهر جودل كيفية بناء بيان رسمي يمثل حقيقة نظرية للأرقام ، لكنه لا يتبع تلك البديهيات. لذلك ، لا يوجد نظام رسمي هو البديهية الكاملة لنظرية الأعداد الكاملة. وينقسم المنطق الحديث في نظرية العودية ، نظرية النموذج ، و نظرية الإثبات ، ويرتبط ارتباطا وثيقا علم الحاسوب النظري ، [75] وكذلك نظرية الفئة . في سياق نظرية العودية ، يمكن أيضًا إثبات استحالة البديهية الكاملة لنظرية الأعداد بشكل رسمي كنتيجة لنظرية MRDP .

تشمل علوم الكمبيوتر النظرية نظرية الحوسبة ، ونظرية التعقيد الحسابي ، ونظرية المعلومات . تقوم نظرية الحوسبة بفحص قيود النماذج النظرية المختلفة للكمبيوتر ، بما في ذلك النموذج الأكثر شهرة - آلة تورينج . نظرية التعقيد هي دراسة القابلية للتتبع بواسطة الكمبيوتر. بعض المشاكل ، على الرغم من إمكانية حلها من الناحية النظرية بواسطة الكمبيوتر ، إلا أنها مكلفة للغاية من حيث الوقت أو المكان الذي من المحتمل أن يظل حلها غير ممكن عمليًا ، حتى مع التقدم السريع في أجهزة الكمبيوتر. المشكلة الشهيرة هي مشكلة " P = NP ؟ " ، إحدى مشكلات جائزة الألفية .[76] وأخيرا، تشعر نظرية المعلومات مع كمية البيانات التي يمكن تخزينها على وسيلة معينة، وبالتالي يتعامل مع مفاهيم مثل ضغط و الكون .

المنطق الرياضينظرية المجموعاتنظرية التصنيفنظرية الحساب

الرياضيات البحتة

المقال الرئيسي: الرياضيات البحتة

أنظمة الأعداد ونظرية الأعداد

المواد الرئيسية: الحسابي ، نظام الرقم ، و نظرية الأعداد

دراسة كمية يبدأ مع الأرقام، أولا مألوفة الأعداد الطبيعية و الصحيحة ( "أرقام كاملة") والعمليات الحسابية عليها، التي تتميز في الحساب . تتم دراسة الخصائص الأعمق للأعداد الصحيحة في نظرية الأعداد ، والتي تأتي منها نتائج شائعة مثل نظرية فيرما الأخيرة . و رئيس التوأم الظن و التخمين غولدباخ نوعان من المشاكل التي لم تحل في نظرية الأعداد.

مع تطوير نظام الأرقام بشكل أكبر ، يتم التعرف على الأعداد الصحيحة كمجموعة فرعية من الأرقام المنطقية (" الكسور "). هذه ، بدورها ، مضمنة في الأعداد الحقيقية ، والتي تستخدم لتمثيل حدود متواليات الأعداد المنطقية والكميات المستمرة . يتم تعميم الأعداد الحقيقية على الأعداد المركبة . وفقًا للنظرية الأساسية للجبر ، فإن جميع المعادلات متعددة الحدود في واحدة غير معروفة مع المعاملات المعقدة لها حل في الأعداد المركبة ، بغض النظر عن درجة كثير الحدود. و هي الخطوات الأولى لتسلسل هرمي من الأرقام التي تطول لتشملكواتيرنيون و octonions . يؤدي النظر في الأعداد الطبيعية أيضًا إلى الأعداد العابرة للحدود ، والتي تضفي الطابع الرسمي على مفهوم " اللانهاية ". مجال آخر للدراسة هو حجم المجموعات ، والذي تم وصفه بالأرقام الأصلية . تتضمن هذه الأرقام أعداد aleph ، والتي تسمح بمقارنة ذات مغزى لحجم المجموعات الكبيرة بشكل لا نهائي.

الأعداد الطبيعيةعدد صحيحأرقام نسبيةالأعداد الحقيقيةارقام مركبةالكرادلة اللانهائية

بنية

المقال الرئيسي: الجبر

تعرض العديد من الكائنات الرياضية ، مثل مجموعات الأرقام والوظائف ، بنية داخلية كنتيجة للعمليات أو العلاقات التي تم تحديدها في المجموعة. ثم تدرس الرياضيات بعد ذلك خصائص تلك المجموعات التي يمكن التعبير عنها من حيث الهيكل ؛ على سبيل المثال ، تدرس نظرية الأعداد خصائص مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمكن التعبير عنها من حيث العمليات الحسابية . علاوة على ذلك ، غالبًا ما يحدث أن تظهر مثل هذه المجموعات (أو الهياكل ) المهيكلة المختلفة خصائص متشابهة ، مما يجعل من الممكن ، من خلال خطوة أخرى من التجريد ، تحديد البديهياتلفئة من الهياكل ، ثم ادرس دفعة واحدة فئة الهياكل الكاملة التي ترضي هذه البديهيات. وهكذا يمكن للمرء أن دراسة الجماعات ، حلقات ، حقول وأنظمة مجردة الأخرى؛ تشكل هذه الدراسات معًا (للهياكل المحددة بواسطة العمليات الجبرية) مجالًا للجبر المجرد .

من خلال عمومية الجبر المجرد غالبًا ما يمكن تطبيقه على مشاكل غير ذات صلة على ما يبدو ؛ على سبيل المثال ، تم حل عدد من المشكلات القديمة المتعلقة ببوصلة البوصلة والمسطرة أخيرًا باستخدام نظرية جالوا ، التي تتضمن نظرية المجال ونظرية المجموعة. مثال آخر على النظرية الجبرية هو الجبر الخطي ، وهو الدراسة العامة للمساحات المتجهية ، التي تحتوي عناصرها المسماة بالمتجهات على الكمية والاتجاه ، ويمكن استخدامها لنمذجة (العلاقات بين) النقاط في الفضاء. هذا مثال واحد لهذه الظاهرة أن المناطق لا علاقة لها أصلا من الهندسة و الجبر لها تفاعلات قوية جدا في الرياضيات الحديثة.التوافقية تدرس طرق تعداد عدد الأشياء التي تناسب بنية معينة.

التوافقيةنظرية الأعدادنظرية المجموعةنظرية الرسم البيانينظرية النظامالجبر

مساحة

المقال الرئيسي: الهندسة

نشأت دراسة الفضاء مع الهندسة - على وجه الخصوص ، الهندسة الإقليدية ، التي تجمع بين الفضاء والأرقام ، وتشمل نظرية فيثاغورس المعروفة . علم المثلثات هو فرع الرياضيات الذي يتعامل مع العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات والدوال المثلثية. تعمم الدراسة الحديثة للفضاء هذه الأفكار لتشمل الهندسة عالية الأبعاد والهندسة غير الإقليدية (التي تلعب دورًا مركزيًا في النسبية العامة ) والطوبولوجيا . الكمية والمكان على حد سواء تلعب دورا في الهندسة التحليلية ، الهندسة التفاضلية ، والهندسة الجبرية . محدب و هندسة منفصلة وضعت لحل المشاكل في نظرية الأعداد و التحليل الوظيفي ولكن الآن يتم متابعتها مع التركيز على التطبيقات في تحسين و علوم الكمبيوتر . ضمن الهندسة التفاضلية هي مفاهيم حزم الألياف وحساب التفاضل والتكامل على الفتحات ، ولا سيما، ناقلات و حساب التفاضل والتكامل الموترة . ضمن الهندسة الجبرية ، يوجد وصف للكائنات الهندسية كمجموعات حل من المعادلات متعددة الحدود ، وتجمع بين مفاهيم الكمية والفضاء ، وكذلك دراسةالمجموعات الطوبولوجية ، التي تجمع بين الهيكل والفضاء. تُستخدم مجموعات الكذب لدراسة الفضاء والبنية والتغيير. قد تكون الطوبولوجيا بكل تشعباتها العديدة هي أكبر مجال نمو في رياضيات القرن العشرين. ويشمل الهيكل نقطة مجموعة ، -مجموعة نظري طوبولوجيا ، طوبولوجيا جبرية و طوبولوجيا التفاضلية . على وجه الخصوص ، أمثلة الطوبولوجيا الحديثة هي نظرية القياس ، ونظرية المجموعة البديهية ، ونظرية التماثل ، ونظرية مورس . تتضمن الطوبولوجيا أيضًا تخمين بوانكاريه الذي تم حله الآن، والمناطق التي لم تحل بعد في تخمين هودج . النتائج الأخرى في الهندسة والطوبولوجيا، بما في ذلك نظرية الألوان الأربعة و حدسية كيبلر ، وقد ثبت إلا بمساعدة من أجهزة الكمبيوتر.

الهندسةعلم المثلثاتالهندسة التفاضليةالبنيةالهندسة الكسوريةنظرية القياس

يتغيرون

المقال الرئيسي: حساب التفاضل والتكامل

يعد فهم التغيير ووصفه موضوعًا شائعًا في العلوم الطبيعية ، وقد تم تطوير حساب التفاضل والتكامل كأداة للتحقيق فيه. تظهر الوظائف هنا كمفهوم مركزي يصف الكمية المتغيرة. تُعرف الدراسة الدقيقة للأرقام الحقيقية ووظائف المتغير الحقيقي بالتحليل الحقيقي ، مع التحليل المعقد للحقل المكافئ للأعداد المركبة . يركز التحليل الوظيفي الانتباه على مساحات الوظائف (اللانهائية عادةً) . تعتبر ميكانيكا الكم واحدة من العديد من تطبيقات التحليل الوظيفي. تؤدي العديد من المشكلات بشكل طبيعي إلى العلاقات بين الكمية ومعدل تغيرها ، ويتم دراستها كمعادلات تفاضلية . يمكن وصف العديد من الظواهر في الطبيعة بواسطة الأنظمة الديناميكية ؛ نظرية الفوضى يجعل دقيقة الطرق التي كثير من هذه الأنظمة المعرض لا يمكن التنبؤ به حتى الآن لا تزال حتمية السلوك.

حساب التفاضل والتكاملناقلات حساب التفاضل والتكاملالمعادلات التفاضليةالأنظمة الديناميكيةنظرية الفوضىتحليل معقد

الرياضيات التطبيقية

المقال الرئيسي: الرياضيات التطبيقية

الرياضيات التطبيقية المخاوف نفسها مع الطرق الرياضية التي عادة ما تستخدم في مجالات العلوم و الهندسة ، الأعمال و الصناعة . وبالتالي ، فإن "الرياضيات التطبيقية" هي علم رياضي مع معرفة متخصصة . يصف مصطلح الرياضيات التطبيقية أيضًا التخصص المهني الذي يعمل فيه علماء الرياضيات على حل المشكلات العملية ؛ كمهنة تركز على المشكلات العملية ، تركز الرياضيات التطبيقية على "صياغة ودراسة واستخدام النماذج الرياضية" في العلوم والهندسة وغيرها من مجالات الممارسة الرياضية.

في الماضي ، حفزت التطبيقات العملية على تطوير النظريات الرياضية ، والتي أصبحت بعد ذلك موضوعًا للدراسة في الرياضيات البحتة ، حيث تم تطوير الرياضيات بشكل أساسي لمصلحتها الخاصة. وبالتالي ، يرتبط نشاط الرياضيات التطبيقية ارتباطًا حيويًا بالبحث في الرياضيات البحتة .

الإحصاء وعلوم القرار الأخرى

المقال الرئيسي: إحصائيات

تتداخل الرياضيات التطبيقية بشكل كبير مع تخصص الإحصاء ، الذي صيغت نظريته رياضيًا ، خاصة مع نظرية الاحتمالات . الإحصائيون (يعملون كجزء من مشروع بحثي) "ينشئون بيانات منطقية" بأخذ عينات عشوائية وتجارب عشوائية ؛ [77] يحدد تصميم العينة الإحصائية أو التجربة تحليل البيانات (قبل أن تصبح البيانات متاحة). عند إعادة النظر في البيانات المأخوذة من التجارب والعينات أو عند تحليل البيانات من الدراسات القائمة على الملاحظة ، فإن الإحصائيين "يفهمون البيانات" باستخدام فن النمذجة ونظرية الاستدلال - مع اختيار النموذجو تقدير . يجب اختبار النماذج المقدرة والتنبؤات اللاحقة على البيانات الجديدة . [هـ]

إحصائية نظرية دراسات المشاكل قرار مثل التقليل من خطر ( الخسارة المتوقعة ) للعمل الإحصائي، مثل استخدام الإجراء ، على سبيل المثال، تقدير المعلمة ، اختبار الفرضيات ، و اختيار أفضل . في هذه المجالات التقليدية للإحصاءات الرياضية ، تتم صياغة مشكلة القرار الإحصائي عن طريق تقليل دالة موضوعية ، مثل الخسارة أو التكلفة المتوقعة ، في ظل قيود محددة: على سبيل المثال ، غالبًا ما ينطوي تصميم المسح على تقليل تكلفة تقدير متوسط ​​السكان باستخدام مستوى الثقة. [78]بسبب استخدامها ل تحسين والنظرية الرياضية للإحصاءات أسهم المخاوف مع غيرها من العلوم القرار ، مثل بحوث العمليات ، نظرية التحكم ، و الاقتصاد الرياضي . [79]

الرياضيات الحسابية

تقترح الرياضيات الحسابية وتدرس طرقًا لحل المشكلات الرياضية التي عادةً ما تكون كبيرة جدًا بالنسبة للقدرة العددية البشرية. العددية تحليل أساليب الدراسات لمشاكل في التحليل باستخدام التحليل الوظيفي و نظرية التقريب . ويشمل التحليل العددي دراسة تقريب و discretisation على نطاق واسع مع إيلاء اهتمام خاص لل أخطاء التقريب . التحليل العددي، وعلى نطاق أوسع، والحوسبة العلمية أيضا دراسة الموضوعات غير التحليلية من العلوم الرياضية، خصوصا حسابي مصفوفة و نظرية الرسم البياني. وتشمل مناطق أخرى من الرياضيات الحسابية الجبر الكمبيوتر و حساب رمزي .

نظرية اللعبةديناميات الموائعالتحليل العدديالاقوينظرية الاحتمالاتإحصائياتالتشفير
التمويل الرياضيالفيزياء الرياضيةكيمياء رياضيةعلم الأحياء الرياضيالاقتصاد الرياضينظرية التحكم

جوائز رياضية

يمكن القول إن أكثر الجوائز المرموقة في الرياضيات هي ميدالية فيلدز ، [80] [81] تأسست عام 1936 وتمنح كل أربع سنوات (باستثناء ما يقرب من الحرب العالمية الثانية) لما يصل إلى أربعة أفراد. غالبًا ما تُعتبر ميدالية فيلدز معادلة رياضية لجائزة نوبل.

و جائزة وولف في الرياضيات ، وضعت في عام 1978، تقديرا لإنجازات مدى الحياة، وجائزة دولية رئيسية أخرى، و جائزة أبيل تم رفعها، في عام 2003. و سام تشرن قدم في عام 2010 للاعتراف الإنجاز مدى الحياة. تُمنح هذه الجوائز تقديراً لمجموعة معينة من الأعمال ، والتي قد تكون مبتكرة ، أو توفر حلاً لمشكلة معلقة في مجال محدد.

قام عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت بتجميع قائمة شهيرة من 23 مشكلة مفتوحة تسمى " مشاكل هيلبرت " في عام 1900 . حققت هذه القائمة شهرة كبيرة بين علماء الرياضيات ، وتم الآن حل تسع مشاكل على الأقل. تم نشر قائمة جديدة من سبع مشاكل مهمة ، بعنوان " مشاكل جائزة الألفية " ، في عام 2000. واحدة منها فقط ، فرضية ريمان ، تكرر واحدة من مشاكل هيلبرت. حل أي من هذه المشاكل يحمل مكافأة قدرها مليون دولار. حاليًا ، تم حل واحدة فقط من هذه المشكلات ، وهي تخمين بوانكاريه .

أنظر أيضا

  • الأولمبياد الرياضي الدولي
  • قوائم مواضيع الرياضيات
  • العلوم الرياضية
  • الرياضيات والفن
  • تعليم الرياضيات
  • المتحف الوطني للرياضيات
  • فلسفة الرياضيات
  • العلاقة بين الرياضيات والفيزياء
  • العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات

ملاحظات

  1. ^ لا يوجد تشابه أو وصف للمظهر الجسدي لإقليدس خلال حياته نجا من العصور القديمة. لذلك ، فإن تصوير إقليدس في الأعمال الفنية يعتمد على خيال الفنان (انظر إقليدس ).
  2. ^ انظر الدليل الكاذب للحصول على أمثلة بسيطة لما يمكن أن يحدث خطأ في دليل رسمي.
  3. ^ لاعتبار حساب كبير يمكن الاعتماد عليه يحدث في إثبات ، يتطلب المرء عمومًا حسابين باستخدام برنامج مستقل
  4. ^ يحتوي الكتاب الذي يحتوي على الدليل الكامل على أكثر من 1000 صفحة.
  5. ^ مثل العلوم الرياضية الأخرى مثل الفيزياء و علوم الحاسب الآلي والإحصاءات هو الانضباط الذاتي بدلا من فرع من الرياضيات التطبيقية. علماء الإحصاء هم علماء رياضيات ، مثل علماء الفيزياء وعلماء الكمبيوتر. العديد من الإحصائيين حاصلون على درجة علمية في الرياضيات ، وبعض الإحصائيين هم أيضًا علماء رياضيات.

مراجع

  1. ^ ل ب "الرياضيات، ن. " . قاموس أكسفورد الإنجليزي . مطبعة جامعة أكسفورد. 2012 مؤرشفة من الأصلي في 16 نوفمبر 2019 . تم الاسترجاع 16 يونيو ، 2012 . علم الفضاء والعدد والكمية والترتيب ، الذي تتضمن طرائقه التفكير المنطقي واستخدام الترميز الرمزي ، والذي يتضمن الهندسة والحساب والجبر والتحليل.
  2. ^ كنيبون ، جي تي (1963). المنطق الرياضي وأسس الرياضيات: مسح تمهيدي . دوفر. ص. 4 . رقم ISBN 978-0-486-41712-7. الرياضيات ... هي ببساطة دراسة الهياكل المجردة ، أو الأنماط الرسمية للترابط.
  3. ^ لاتوري ، دونالد ر. كينيلي ، جون دبليو. بيججرز ، شيري إس. كاربنتر ، لوريل ر. ريد ، إيريس ب. هاريس ، سينثيا ر. (2011). مفاهيم التفاضل والتكامل: نهج غير رسمي لرياضيات التغيير . سينجاج ليرنينج. ص. 2 . رقم ISBN 978-1-4390-4957-0. التفاضل والتكامل هو دراسة التغيير - كيف تتغير الأشياء ، ومدى سرعة تغيرها.
  4. ^ رامانا (2007). الرياضيات التطبيقية . تاتا ماكجرو هيل التعليم. ص. 2.10 . رقم ISBN 978-0-07-066753-2. الدراسة الرياضية للتغيير أو الحركة أو النمو أو الاضمحلال هي حساب التفاضل والتكامل.
  5. ^ زيجلر ، جونتر م. (2011). "ما هي الرياضيات؟". دعوة إلى الرياضيات: من المسابقات إلى البحث . سبرينغر. ص. السابع . رقم ISBN 978-3-642-19532-7.
  6. ^ أ ب ج د مورا ، روبرتا (ديسمبر 1993). "صور الرياضيات التي يحملها أساتذة جامعة العلوم الرياضية". دراسات تربوية في الرياضيات . 25 (4): 375-85. دوى : 10.1007 / BF01273907 . جستور 3482762 . S2CID 122351146 .  
  7. ^ أ ب ج توبيز ورينات وهيلموت نينزيرت (2012). Iris Runge: حياة عند مفترق طرق الرياضيات والعلوم والصناعة . سبرينغر. ص. 9 . رقم ISBN 978-3-0348-0229-1. [أنا] من الضروري أولاً أن أسأل ما المقصود بالرياضيات بشكل عام. ناقش العلماء اللامعون هذه المسألة حتى أصبح وجههم أزرقًا ، ومع ذلك لم يتم التوصل إلى إجماع حول ما إذا كانت الرياضيات علمًا طبيعيًا ، أو فرعًا من العلوم الإنسانية ، أو شكلاً من أشكال الفن.
  8. ^ ستين ، لوس أنجلوس (29 أبريل 1988). علم أنماط العلوم ، 240: 611-16. وتم تلخيصها في جمعية الإشراف وتطوير المناهج الدراسية أرشفة 28 أكتوبر 2010 ، في آلة Wayback . ، www.ascd.org.
  9. ^ ديفلين ، كيث ، الرياضيات: علم الأنماط: البحث عن الترتيب في الحياة والعقل والكون (مكتبة غلاف مجلة Scientific American) 1996 ، ISBN 978-0-7167-5047-5 
  10. ^ حكيم ديفيد. "تأثير Eudoxus على عناصر إقليدس مع نظرة فاحصة على طريقة الإرهاق" . jwilson.coe.uga.edu . مؤرشفة من الأصلي في 1 يونيو 2019 . تم الاسترجاع 26 أكتوبر ، 2019 .
  11. ^ حواء 1990 ، ص. 306.
  12. ^ بيترسون ، ص. 12.
  13. ^ أ ب ويغنر ، يوجين (1960). "الفعالية غير المعقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية" . الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 13 (1): 1-14. بيب كود : 1960CPAM ... 13 .... 1W . دوى : 10.1002 / cpa.3160130102 . مؤرشفة من الأصلي في 28 فبراير 2011.
  14. ^ ديهاين ، ستانيسلاس ؛ Dehaene-Lambertz، Ghislaine؛ كوهين ، لوران (أغسطس 1998). "تمثيلات مجردة للأرقام في دماغ الحيوان والإنسان". الاتجاهات في علوم الأعصاب . 21 (8): 355-61. دوى : 10.1016 / S0166-2236 (98) 01263-6 . بميد 9720604 . S2CID 17414557 .  
  15. ^ انظر ، على سبيل المثال ، Raymond L. Wilder ، Evolution of Mathematical Concepts ؛ دراسة أولية ، هنا وهناك
  16. ^ زاسلافسكي ، كلوديا. (1999). تهم إفريقيا: العدد والنمط في الثقافة الأفريقية . مطبعة مراجعة شيكاغو. رقم ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC  843204342 . مؤرشفة من الأصلي في 31 مارس 2021 . تم الاسترجاع 29 مايو ، 2020 .
  17. ^ كلاين 1990 الفصل الأول.
  18. ^ "الرياضيات المصرية - قصة الرياضيات" . www.storyofmathematics.com . مؤرشفة من الأصلي في 16 سبتمبر 2018 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  19. ^ أ ب "الرياضيات السومرية / البابلية - قصة الرياضيات" . www.storyofmathematics.com . مؤرشفة من الأصلي في 7 سبتمبر 2019 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  20. ^ Boyer 1991 ، "بلاد ما بين النهرين" ص 24 - 27.
  21. ^ هيث ، توماس ليتل (1981) [1921]. تاريخ الرياضيات اليونانية: من طاليس إلى إقليدس . نيويورك: منشورات دوفر. ص. 1 . رقم ISBN 978-0-486-24073-2.
  22. ^ Boyer 1991 ، "إقليدس الإسكندرية" ص. 119.
  23. ^ Boyer 1991 ، "أرخميدس من سيراكيوز" ص. 120.
  24. ^ Boyer 1991 ، "أرخميدس من سيراكيوز" ص. 130.
  25. ^ Boyer 1991 ، "Apollonius of Perga" ص. 145.
  26. ^ Boyer 1991 ، "علم المثلثات اليونانية والقياس" ص. 162.
  27. ^ Boyer 1991 ، "إحياء وانحدار الرياضيات اليونانية" ص. 180.
  28. ^ أ ب "الرياضيات الهندية - قصة الرياضيات" . www.storyofmathematics.com . مؤرشفة من الأصلي في 13 أبريل 2019 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  29. ^ "الرياضيات الإسلامية - قصة الرياضيات" . www.storyofmathematics.com . مؤرشفة من الأصلي في 17 أكتوبر 2019 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  30. ^ صليبا ، جورج. (1994). تاريخ علم الفلك العربي: نظريات الكواكب في العصر الذهبي للإسلام . مطبعة جامعة نيويورك. رقم ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC  28723059 . مؤرشفة من الأصلي في 31 مارس 2021 . تم الاسترجاع 29 مايو ، 2020 .
  31. ^ "رياضيات القرن السابع عشر - قصة الرياضيات" . www.storyofmathematics.com . مؤرشفة من الأصلي في 16 سبتمبر 2018 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  32. ^ "أويلر - رياضيات القرن الثامن عشر - قصة الرياضيات" . www.storyofmathematics.com . مؤرشفة من الأصلي في 2 مايو 2019 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  33. ^ "جاوس - رياضيات القرن التاسع عشر - قصة الرياضيات" . www.storyofmathematics.com . مؤرشفة من الأصلي في 25 يوليو 2019 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  34. ^ "رياضيات القرن العشرين - جودل" . قصة الرياضيات . مؤرشفة من الأصلي في 16 سبتمبر 2018 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  35. ^ سيفريوك 2006 ، ص 101-109.
  36. ^ "رياضيات (كمبيوتر)" . قاموس علم أصل الكلمة على الإنترنت . مؤرشفة من الأصلي في 7 مارس 2013.
  37. ^ يمكن العثور على كلا المعنيين في أفلاطون ، أضيق في جمهورية 510c أرشفة 24 فبراير 2021 ، في آلة Wayback. ، لكن أفلاطون لم يستخدمكلمة رياضيات ؛ فعل أرسطو تعليقًا على ذلك. μαθηματική . ليدل ، هنري جورج ؛ سكوت ، روبرت ؛ معجم يوناني-إنجليزي في مشروع Perseus . OED Online ، "الرياضيات".
  38. ^ "فيثاغورس - الرياضيات اليونانية - قصة الرياضيات" . www.storyofmathematics.com . مؤرشفة من الأصلي في 17 سبتمبر 2018 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  39. ^ بواس ، رالف (1995) [1991]. "ما لم يقله أوغسطينوس عن علماء الرياضيات" . صيد الأسد ومطاردات رياضية أخرى: مجموعة من الرياضيات والآيات والقصص للراحل رالف ب. بواس الابن . صحافة جامعة كامبرج. ص. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. مؤرشفة من الأصلي في 20 مايو 2020 . تم الاسترجاع 17 يناير ، 2018 .
  40. ^ قاموس أوكسفورد للغة الإنجليزية أصل الكلمة ، قاموس أوكسفورد الإنكليزية ، دون "الرياضيات"، "الرياضيات"، "الرياضيات"
  41. ^ "maths، n. " و "math، n.3 " أرشفة 4 أبريل 2020 ، في آلة Wayback . قاموس أوكسفورد الإنجليزي ، نسخة على الإنترنت (2012).
  42. ^ فرانكلين ، جيمس (8 يوليو 2009). فلسفة الرياضيات . ص 104 - 106. رقم ISBN 978-0-08-093058-9. مؤرشفة من الأصلي في 6 سبتمبر 2015 . تم الاسترجاع 1 يوليو ، 2020 .
  43. ^ فلوريان كاجوري (1893). تاريخ الرياضيات . الجمعية الرياضية الأمريكية (طبع 1991). ص  285 - 86 . رقم ISBN 978-0-8218-2102-2.
  44. ^ أ ب ج سنابر ، إرنست (سبتمبر 1979). "الأزمات الثلاثة في الرياضيات: المنطق ، والحدس ، والشكلية". مجلة الرياضيات . 52 (4): 207-16. دوى : 10.2307 / 2689412 . JSTOR 2689412 . 
  45. ^ بيرس ، بنيامين (1882). الجبر الخطي الترابطي . فان نوستراند. ص. 1 .
  46. ^ راسل ، برتراند (1903). مبادئ الرياضيات . ص. 5 . تم الاسترجاع 20 يونيو ، 2015 .
  47. ^ إيمهوف ، روزالي (4 مارس 2020). زالتا ، إدوارد ن. (محرر). الحدس في فلسفة الرياضيات . مختبر أبحاث الميتافيزيقيا ، جامعة ستانفورد. مؤرشفة من الأصلي في 31 مارس 2021 . تم الاسترجاع 4 مارس ، 2021 - عبر موسوعة ستانفورد للفلسفة.
  48. ^ كاري ، هاسكل (1951). الخطوط العريضة لفلسفة الشكلية للرياضيات . إلسفير. ص. 56 . رقم ISBN 978-0-444-53368-5.
  49. ^ والترزهاوزن 1965 ، ص. 79.
  50. ^ دو سوتوي ، ماركوس (25 يونيو 2010). "نقولا بوربكي" . تاريخ موجز للرياضيات . حدث يحدث في دقيقة. 12:50. راديو بي بي سي 4. مؤرشفة من الأصلي في 16 ديسمبر 2016 . تم الاسترجاع 26 أكتوبر ، 2017 .
  51. ^ بوبر 1995 ، ص. 56.
  52. ^ بوبر ، كارل (2002) [ 1959 ]. منطق الاكتشاف العلمي . أبينجدون أون تيمز: روتليدج. ص. [18]. رقم ISBN 978-0-415-27843-0.
  53. ^ الأسقف ، آلان (1991). "الأنشطة البيئية والثقافة الرياضية" . الانثقاف الرياضي: منظور ثقافي لتعليم الرياضيات . نورويل ، ماساتشوستس: Kluwer Academic Publishers. ص 20 - 59. رقم ISBN 978-0-792-31270-3. مؤرشفة من الأصلي في 25 ديسمبر 2020 . تم الاسترجاع 5 أبريل ، 2020 .
  54. ^ شاشا ، دينيس إليوت ؛ لازير ، كاثي أ. (1998). خارج أذهانهم: حياة واكتشافات 15 من علماء الكمبيوتر الكبار . سبرينغر. ص. 228.
  55. ^ نيكلز ، توماس (2013). "مشكلة الترسيم". فلسفة العلوم الزائفة: إعادة النظر في مشكلة ترسيم الحدود . شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو. ص. 104.
  56. ^ بيجليوتشي ، ماسيمو (2014). "هل هناك طرق" أخرى "للمعرفة؟" . الفلسفة الآن . مؤرشفة من الأصلي في 13 مايو 2020 . تم الاسترجاع 6 أبريل ، 2020 .
  57. ^ انظر ، على سبيل المثال، بيان برتراند راسل "الرياضيات ، ينظر إليها بشكل صحيح ، لا تمتلك الحقيقة فحسب ، بل الجمال الأسمى ..." في كتابه تاريخ الفلسفة الغربية
  58. ^ "تم تطبيق قائمة مراجعة العلوم: الرياضيات" . undsci.berkeley.edu . مؤرشفة من الأصلي في 27 أكتوبر 2019 . تم الاسترجاع 27 أكتوبر ، 2019 .
  59. ^ بوريل ، أرماند (مارس 2017). "الرياضيات: الفن والعلوم" . نشرة EMS . 3 (103): 37-45. دوى : 10.4171 / أخبار / 103/8 . ISSN 1027-488X . 
  60. ^ مينهارد إي.ماير (2001). "حساب Feynman Integral و Feynman العملياتي". الفيزياء اليوم . 54 (8): 48. بيب كود : 2001PhT .... 54h..48J . دوى : 10.1063 / 1.1404851 .
  61. ^ شتاينر ، مارك (1998). قابلية تطبيق الرياضيات كمشكلة فلسفية . كامبريدج ، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد. ص. رقم ISBN 0674043987.
  62. ^ أ ب لينغ ، ماري (2010). الرياضيات والواقع . مطبعة جامعة أكسفورد. ص. 239. رقم ISBN 0199280797.
  63. ^ "تصنيف مادة الرياضيات 2010" (PDF) . مؤرشف من الأصل (PDF) في 14 مايو 2011 . تم الاسترجاع 9 نوفمبر ، 2010 .
  64. ^ هاردي ، جي إتش (1940). اعتذار عالم رياضيات . صحافة جامعة كامبرج. رقم ISBN 978-0-521-42706-7.
  65. ^ ذهب ، بوني . سيمونز ، روجرز أ. (2008). البرهان والمعضلات الأخرى: الرياضيات والفلسفة . MAA.
  66. ^ "الاستخدامات المبكرة للرموز الرياضية المختلفة" . مؤرشفة من الأصلي في 20 فبراير 2016 . تم الاسترجاع 14 سبتمبر ، 2014 .
  67. ^ كلاين 1990 ، ص. 140 ، في ديوفانتوس ؛ ص. 261 ، على فييتا .
  68. ^ أوكلي 2014 ، ص. 16: "حل المشكلات المركزة في الرياضيات والعلوم غالبًا ما يكون أكثر مجهودًا من التفكير المركّز الذي يشمل اللغة والناس. قد يكون هذا لأن البشر لم يتطوروا على مدى آلاف السنين للتلاعب بالأفكار الرياضية ، والتي غالبًا ما تكون مشفرة بشكل تجريدي أكثر من تلك الموجودة في لغة تقليدية ".
  69. ^ أوكلي 2014 ، ص. 16: "ماذا أعني بالتجريد؟ يمكنك الإشارة إلى بقرة حية حقيقيةتمضغ مجترها في مرعى وتساويها بالحروف c – o – w على الصفحة. ولكن لا يمكنك الإشارة إلى ميزة Live plus حقيقية علامة على أن الرمز "+" تم تصميمه بعد ذلك - الفكرة الكامنة وراء علامة الجمع أكثر تجريدًا . "
  70. ^ أوكلي 2014 ، ص. 16: " بالتشفير ، أعني أن رمزًا واحدًا يمكن أن يمثل عددًا من العمليات أو الأفكار المختلفة ، تمامًا كما ترمز علامة الضرب إلى الإضافة المتكررة".
  71. ^ إيفارس بيترسون ، السائح الرياضي ، فريمان ، 1988 ، ISBN 978-0-7167-1953-3 . ص. 4 "يشتكي البعض من أن برنامج الكمبيوتر لا يمكن التحقق منه بشكل صحيح" ، (في إشارة إلى إثبات Haken-Apple لنظرية الألوان الأربعة). 
  72. ^ "إن طريقة" افتراض "ما نريده لها مزايا عديدة ؛ فهي نفس مزايا السرقة على الكدح الصادق." برتراند راسل (1919) ، مقدمة في الفلسفة الرياضية ، نيويورك ولندن ، ص. 71. أرشفة 20 يونيو 2015 ، في آلة Wayback ...
  73. ^ باتريك سوبس ، نظرية المجموعة البديهية ، دوفر ، 1972 ، ISBN 978-0-486-61630-8 . ص. 1 ، "من بين الفروع العديدة لنظرية مجموعات الرياضيات الحديثة تحتل مكانة فريدة: مع استثناءات قليلة نادرة ، يمكن اعتبار الكيانات التي يتم دراستها وتحليلها في الرياضيات على أنها مجموعات معينة أو فئات معينة من الكائنات." 
  74. ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin ، تاريخ الرياضيات ، مطبعة جامعة أكسفورد ، 2005.
  75. ^ هالبيرن ، جوزيف. هاربر ، روبرت. إمرمان ، نيل كولايتيس ، فوكيون. فاردي ، موشيه ؛ فيانو ، فيكتور (2001). "حول الفعالية غير العادية للمنطق في علوم الكمبيوتر" (PDF) . تم الاسترجاع 15 يناير ، 2021 .
  76. ^ معهد كلاي للرياضيات ، P = NP ، claymath.org
  77. ^ راو ، سي آر (1997) الإحصاء والحقيقة: وضع فرصة للعمل ، العالم العلمي. ردمك 978-981-02-3111-8 
  78. ^ راو ، سي آر (1981). "مقدمة". في Arthanari، TS؛ دودج ، يدولاه ، محرران. البرمجة الرياضية في الإحصاء . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاءات الرياضية. نيويورك: وايلي. ص السابع والثامن. رقم ISBN 978-0-471-08073-2. السيد  0607328 .
  79. ^ ويتل (1994 ، الصفحات 10-11 ، 14-18): ويتل ، بيتر (1994). "المنزل تقريبا" . في كيلي ، FP . الاحتمالية والإحصاء والتحسين: تحية لبيتر ويتل (سابقًا "مسار محقق: مختبر كامبريدج الإحصائي حتى عام 1993 (تمت مراجعته عام 2002)" محرر). شيشستر: جون وايلي. ص 1 - 28. رقم ISBN 978-0-471-94829-2. مؤرشفة من الأصلي في 19 ديسمبر 2013.
  80. ^ موناستيرسكي 2001 ، ص. 1: "ميدالية فيلدز هي الآن بلا منازع أفضل جائزة معروفة وأكثرها تأثيرًا في الرياضيات."
  81. ^ ريهم 2002 ، ص 778-82.

فهرس

  • بوير ، سي بي (1991). تاريخ الرياضيات (الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. رقم ISBN 978-0-471-54397-8.
  • إيفز ، هوارد (1990). مقدمة لتاريخ الرياضيات (الطبعة السادسة). سوندرز. رقم ISBN 978-0-03-029558-4.
  • كلاين ، موريس (1990). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة (طبعة غلاف عادي). نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-506135-2.
  • موناستيرسكي ، مايكل (2001). "بعض الاتجاهات في الرياضيات الحديثة وميدالية الحقول" (PDF) . CMS - ملاحظات - de la SMC . الجمعية الكندية للرياضيات. 33 (2-3). أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 13 أغسطس 2006 . تم الاسترجاع 28 يوليو ، 2006 .
  • أوكلي ، باربرا (2014). عقل للأرقام: كيف تتفوق في الرياضيات والعلوم (حتى لو فشلت في الجبر) . نيويورك: بيت البطريق العشوائي. رقم ISBN 978-0-399-16524-5. عقل للأرقام.
  • بيرس ، بنيامين (1881). بيرس ، تشارلز ساندرز ، أد. "الجبر النقابي الخطي" . المجلة الأمريكية للرياضيات (مصححة وموسعة ومراجعة مشروحة بورقة من عام 1875 بقلم ب. بيرس وشروح لابنه سي إس بيرس من طبعة الطباعة الحجرية لعام 1872). 4 (1-4): 97-229. دوى : 10.2307 / 2369153 . hdl : 2027 / hvd.32044030622997 . JSTOR  2369153 . مراجعة مصححة وموسعة ومشروحة باستخدام ورقة من عام 1875 بقلم ب. بيرس وشروح لابنه سي إس بيرس من طبعة الطباعة الحجرية لعام 1872. Google Eprint وكمقتطف ، D. Van Nostrand ، 1882 ،جوجل Eprint . مؤرشفة من الأصلي في 31 مارس 2021 . تم الاسترجاع 17 نوفمبر ، 2020 ..
  • بيترسون ، إيفارس (2001). السائح الرياضي ، لقطات جديدة ومحدثة للرياضيات الحديثة . كتب البومة. رقم ISBN 978-0-8050-7159-7.
  • بوبر ، كارل ر. (1995). "على المعرفة". بحثًا عن عالم أفضل: محاضرات ومقالات من ثلاثين عامًا . نيويورك: روتليدج. بيب كود : 1992sbwl.book ..... P . رقم ISBN 978-0-415-13548-1.
  • ريهم ، كارل (أغسطس 2002). "وسام التاريخ المبكر للحقول" (PDF) . إشعارات AMS . 49 (7): 778-72. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 26 أكتوبر 2006 . تم الاسترجاع 2 أكتوبر ، 2006 .
  • سيفريوك ، ميخائيل ب. (يناير 2006). "مراجعات الكتب" (PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 43 (1): 101–09. دوى : 10.1090 / S0273-0979-05-01069-4 . أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 23 يوليو 2006 . تم الاسترجاع 24 يونيو ، 2006 .
  • Waltershausen، Wolfgang Sartorius von (1965) [نشر لأول مرة عام 1856]. Gauss zum Gedächtniss . Sändig طبع Verlag HR Wohlwend. رقم ISBN 978-3-253-01702-5.

قراءة متعمقة

في ويكي الجامعة ، يمكنك معرفة
المزيد وتعليم الآخرين الرياضيات في مدرسة الرياضيات .
موارد المكتبة حول
الرياضيات
  • الموارد في مكتبتك
  • الرياضيات في Encyclopædia Britannica
  • بينسون ، دونالد سي (2000). لحظة الإثبات: عيد الغطاس الرياضي . مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-513919-8.
  • ديفيس ، فيليب جيه ؛ هيرش ، روبن (1999). التجربة الرياضية (طبع ed.). كتب مارينر. رقم ISBN 978-0-395-92968-1.
  • كورانت ، ريتشارد ؛ روبنز ، هربرت (1996). ما هي الرياضيات؟: نهج ابتدائي للأفكار والطرق (الطبعة الثانية). نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-510519-3.
  • أينشتاين ، ألبرت (1923). الأضواء الجانبية على النسبية: 1. الأثير والنسبية. ثانيًا. الهندسة والخبرة (ترجمة جي بي جيفري ، دكتوراه ، و دبليو بيريت ، دكتوراه) . EP Dutton & Co. ، نيويورك. مؤرشفة من الأصلي في 25 يوليو 2014 . تم الاسترجاع 23 سبتمبر ، 2012 .
  • جولبرج ، يناير (1997). الرياضيات: من ولادة الأرقام (الطبعة الأولى). دبليو دبليو نورتون وشركاه. رقم ISBN 978-0-393-04002-9.
  • هازوينكل ، ميشيل ، أد. (2000). موسوعة الرياضيات . الناشرون الأكاديميون كلوير. - نسخة مترجمة وموسعة من موسوعة الرياضيات السوفيتية ، في عشرة مجلدات. أيضًا في غلاف ورقي وعلى قرص مضغوط ، وعلى الإنترنت أرشفة 3 يوليو 2011 ، في آلة Wayback ...
  • جوردان ، فيليب إي بي (2003). "طبيعة الرياضيات". في جيمس ر. نيومان. عالم الرياضيات . منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-43268-7.
  • ماير ، أناليس (1982). ستيفن سارجنت ، محرر. على عتبة العلم الدقيق: كتابات مختارة من Annaliese Maier عن الفلسفة الطبيعية في العصور الوسطى المتأخرة . فيلادلفيا: مطبعة جامعة بنسلفانيا.
  • باباس ، ثيوني (يونيو 1989). فرحة الرياضيات (ed ed.). نشر العالم الواسع. رقم ISBN 978-0-933174-65-8.