الهندسة المستوية)

حدد إقليدس أول معلم عظيم للفكر الرياضي ، وهو معالجة بديهية للهندسة. ^[1] اختار نواة صغيرة من المصطلحات غير المحددة (تسمى المفاهيم المشتركة ) والمسلمات (أو البديهيات ) التي استخدمها بعد ذلك لإثبات العبارات الهندسية المختلفة. على الرغم من أن المستوى في معناه الحديث لا يُعطى تعريفًا مباشرًا في أي مكان في العناصر ، إلا أنه يمكن اعتباره جزءًا من المفاهيم الشائعة. ^[2] لم يستخدم إقليدس أبدًا الأرقام لقياس الطول أو الزاوية أو المساحة. وبهذه الطريقة ، فإن الطائرة الإقليدية ليست تمامًا مثل الطائرة الديكارتية .

ثلاث طائرات متوازية.

المستوى هو سطح مسطر

يختص هذا القسم فقط بالمستويات المضمنة في ثلاثة أبعاد: على وجه التحديد ، في R ³ .

التحديد بالنقاط والخطوط المضمنة

في الفضاء الإقليدي بأي عدد من الأبعاد ، يتم تحديد المستوى بشكل فريد من خلال أي مما يلي:

• ثلاث نقاط غير متداخلة (النقاط ليست على خط واحد).
• خط ونقطة ليسا على هذا الخط.
• خطان متميزان لكن متقاطعين.
• خطان متميزان لكن متوازيين .

الخصائص

العبارات التالية موجودة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ولكن ليس بأبعاد أعلى ، على الرغم من أن لها نظائر ذات أبعاد أعلى:

• مستويان متميزان إما متوازيان أو يتقاطعان في خط .
• الخط إما موازٍ للمستوى ، أو يتقاطع معه عند نقطة واحدة ، أو موجود في المستوى.
• يجب أن يكون هناك خطان متعامدان على نفس المستوى متوازيين مع بعضهما البعض.
• يجب أن يكون مستويان مميزان متعامدان على نفس الخط متوازيين مع بعضهما البعض.

النقطة - الشكل العادي والشكل العام لمعادلة المستوى

بطريقة مماثلة للطريقة التي يتم بها وصف الخطوط في فضاء ثنائي الأبعاد باستخدام شكل نقطة - ميل لمعادلاتها ، فإن المستويات في الفضاء ثلاثي الأبعاد لها وصف طبيعي باستخدام نقطة في المستوى ومتجه متعامد معها ( ناقل عادي ) للإشارة إلى "ميله".

على وجه التحديد ، دع r ₀ يكون متجه الموضع لنقطة ما P ₀ = ( x ₀ ، y ₀ ، z ₀ ) ، واجعل n = ( a ، b ، c ) متجهًا غير صفري. يتكون المستوى المحدد بالنقطة P ₀ والمتجه n من تلك النقاط P ، مع متجه الموقع r ، بحيث يكون المتجه المرسوم من P ₀ إلى P عموديًا على n . مع التذكير بأن متجهين متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما النقطي صفراً ، فإنه يترتب على ذلك أن المستوى المطلوب يمكن وصفه على أنه مجموعة من جميع النقاط r مثل ذلك

${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} \ cdot ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {0}) = 0}$

تعني النقطة هنا منتجًا نقطيًا (عدديًا) .
الموسع يصبح هذا

${\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0،}$

وهي الصيغة النقطية العادية لمعادلة المستوى. ^[3] هذه مجرد معادلة خطية

${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}$

أين

${\ displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0})}$و

وهو الشكل الموسع لـ ${\ displaystyle - {\ boldsymbol {n}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {0}.}$

في الرياضيات من الاصطلاح الشائع التعبير عن الطبيعي كمتجه وحدة ، لكن الحجة المذكورة أعلاه تنطبق على متجه عادي لأي طول غير صفري.

على العكس من ذلك ، يتضح بسهولة أنه إذا كانت a و b و c و d ثوابت و a و b و c ليست كلها صفراً ، فإن الرسم البياني للمعادلة

${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}$

هي طائرة لها المتجه n = ( أ ، ب ، ج ) بشكل طبيعي. ^[4] هذه المعادلة المألوفة للمستوى تسمى الشكل العام لمعادلة المستوى. ^[5]

هكذا على سبيل المثال معادلة الانحدار من شكل ذ = د + الفأس + تشيكوسلوفاكيا (مع ب = -1 ) تنص طائرة أفضل مناسبا في الفضاء ثلاثي الأبعاد عندما يكون هناك نوعان من المتغيرات التفسيرية.

وصف طائرة بنقطة ومتجهين ملقاة عليها

بدلاً من ذلك ، يمكن وصف المستوى بشكل حدودي على أنه مجموعة من جميع نقاط النموذج

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = {\ boldsymbol {r}} _ {0} + s {\ boldsymbol {v}} + t {\ boldsymbol {w}}،}$

وصف متجه للطائرة

حيث s و t على جميع الأعداد الحقيقية ، تُعطى v و w متجهات مستقلة خطيًا تحدد المستوي ، و r ₀ هو المتجه الذي يمثل موضع نقطة تعسفية (ولكن ثابتة) على المستوى. يمكن تصور المتجهين v و w كمتجهات تبدأ من r ₀ وتشير في اتجاهات مختلفة على طول المستوى. ناقلات الخامس و ث يمكن أن يكون عمودي ، ولكن لا يمكن أن يكون بالتوازي.

وصف الطائرة من خلال ثلاث نقاط

لنفترض أن p ₁ = (x ₁ ، y ₁ ، z ₁ ) ، p ₂ = (x ₂ ، y ₂ ، z ₂ ) و p ₃ = (x ₃ ، y ₃ ، z ₃ ) تكون نقاط غير متصلة.

طريقة 1

يمكن وصف المستوى الذي يمر عبر p ₁ و p ₂ و p ₃ على أنه مجموعة من جميع النقاط (x ، y ، z) التي تحقق المعادلات المحددة التالية :

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2 } -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} x- x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x-x_ {2} & y-y_ {2} & z-z_ {2} \\ x-x_ {3} & y-y_ {3} & z-z_ {3} \ end {vmatrix}} = 0.}$

الطريقة الثانية

لوصف المستوى بمعادلة النموذج ${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}$، حل نظام المعادلات التالي:

${\ displaystyle \، ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d = 0}$

${\ displaystyle \، ax_ {2} + by_ {2} + cz_ {2} + d = 0}$

${\ displaystyle \، ax_ {3} + by_ {3} + cz_ {3} + d = 0.}$

يمكن حل هذا النظام باستخدام قاعدة كرامر ومعالجات المصفوفة الأساسية. يترك

${\ displaystyle D = {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & z_ {3 } \ النهاية {vmatrix}}}$.

إذا كانت D غير صفرية (لذلك بالنسبة للمستويات التي ليست من خلال الأصل) ، فيمكن حساب قيم a و b و c على النحو التالي:

${\ displaystyle a = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} 1 & y_ {1} & z_ {1} \\ 1 & y_ {2} & z_ {2} \\ 1 & y_ {3} & z_ {3} \ نهاية {vmatrix}}}$

${\ displaystyle b = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & 1 & z_ {1} \\ x_ {2} & 1 & z_ {2} \\ x_ {3} & 1 & z_ {3} \ نهاية {vmatrix}}}$

${\ displaystyle c = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ { 3} & 1 \ end {vmatrix}}.}$

هذه المعادلات معلمية في د . تعيين d يساوي أي عدد غير صفري واستبداله في هذه المعادلات سينتج مجموعة حلول واحدة.

الطريقة الثالثة

يمكن أيضًا وصف هذه الطائرة بوصفة " النقطة والمتجه العادي " أعلاه. ويرد ناقلات العادي مناسبة من قبل المنتج عبر

${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} = ({\ boldsymbol {p}} _ {2} - {boldsymbol {p}} _ {1}) times ({boldsymbol {p}} _ {3} - {\ boldsymbol {p}} _ {1}) ،}$

ويمكن اعتبار النقطة ص ₀ أيًا من النقاط المعطاة ص ₁ ، ف ₂ أو ف ₃ ^[6] (أو أي نقطة أخرى في المستوى).

المسافة من نقطة إلى الطائرة

لطائرة ${\ displaystyle \ Pi: ax + by + cz + d = 0}$ ونقطة ${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {1} = (x_ {1}، y_ {1}، z_ {1})}$ ليس بالضرورة الاستلقاء على الطائرة ، أقصر مسافة من ${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {1}}$ إلى الطائرة

${\ displaystyle D = {\ frac {\ left | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d \ right |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.}$

إنه يتبع هذا ${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {1}}$تقع في المستوى إذا وفقط إذا كانت D = 0 .

إذا ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} = 1}$بمعنى أن أ ، ب ، ج قد تم تسويتها ^[7] ثم تصبح المعادلة

${\ displaystyle D = \ | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d |.}$

شكل آخر للمعادلة طائرة، والمعروفة باسم ناقلات النموذج العادي هيس يعتمد على المعلمة D . هذا النموذج هو: ^[5]

${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} - D_ {0} = 0،}$

أين ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$ هو متجه عادي للطائرة ، ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}}}$متجه الموقع لنقطة المستوى و D ₀ مسافة المستوى من الأصل.

يمكن الوصول بسرعة إلى الصيغة العامة للأبعاد الأعلى باستخدام تدوين المتجه . دع المستوى الفائق لديه معادلة${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} \ cdot ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {0}) = 0}$، أين ال ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$هو ناقل عادي و${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {0} = (x_ {10}، x_ {20}، \ dots، x_ {N0})}$هو متجه موقع إلى نقطة في المستوي الفائق . نريد المسافة العمودية للنقطة${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {1} = (x_ {11}، x_ {21}، \ dots، x_ {N1})}$. و الفائق يمكن أيضا أن تكون ممثلة في المعادلة العددية${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} x_ {i} = - a_ {0}}$، للثوابت ${\ displaystyle \ {a_ {i} \}}$. وبالمثل ، فإن المقابلة${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$ قد يتم تمثيلها على أنها ${\ displaystyle (a_ {1}، a_ {2}، \ dots، a_ {N})}$. نحن نرغب في الإسقاط القياسي للناقل${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {1} - {\ boldsymbol {r}} _ {0}}$ في اتجاه ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$. مشيرا إلى ذلك${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {0} = {boldsymbol {r}} _ {0} cdot {boldsymbol {n}} = - a_ {0} }$ (مثل ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {0}}$يفي بمعادلة المستوى الفائق ) لدينا

${\ displaystyle {\ start {align} D & = {\ frac {| ({\ boldsymbol {r}} _ {1} - {boldsymbol {r}} _ {0}) cdot {boldsymbol {n}} |} {| {\ boldsymbol {n}} |}} \\ & = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} - {\ boldsymbol {r} } _ {0} \ cdot {\ boldsymbol {n}} |} {| {\ boldsymbol {n}} |}} \\ & = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} + a_ {0} |} {| {\ boldsymbol {n}} |}} \\ & = {\ frac {| a_ {1} x_ {11} + a_ {2} x_ { 21} + \ dots + a_ {N} x_ {N1} + a_ {0} |} {\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ dots + a_ {N} ^ {2}}}} \ نهاية {محاذاة}}}$.

تقاطع خطي مستوى

في الهندسة التحليلية ، يمكن أن يكون تقاطع الخط والمستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد عبارة عن مجموعة فارغة أو نقطة أو خط.

خط التقاطع بين مستويين

طائرتان متقاطعتان في فضاء ثلاثي الأبعاد

خط التقاطع بين مستويين ${\ displaystyle \ Pi _ {1}: {\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {r}} = h_ {1}}$ و ${\ displaystyle \ Pi _ {2}: {\ boldsymbol {n}} _ {2} \ cdot {\ boldsymbol {r}} = h_ {2}}$ أين ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {i}}$ يتم تطبيعها من قبل

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = (c_ {1} {\ boldsymbol {n}} _ {1} + c_ {2} {\ boldsymbol {n}} _ {2}) + \ lambda ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ times {\ boldsymbol {n}} _ {2})}$

أين

${\ displaystyle c_ {1} = {\ frac {h_ {1} -h_ {2} ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} _ {2})} {1 - ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} _ {2}) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle c_ {2} = {\ frac {h_ {2} -h_ {1} ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} _ {2})} {1 - ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} _ {2}) ^ {2}}}.}$

يمكن العثور على هذا من خلال ملاحظة أن الخط يجب أن يكون عموديًا على كلا المستويين العموديين ، وبالتالي موازيًا لحاصل الضرب الاتجاهي. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {1} \ times {\ boldsymbol {n}} _ {2}}$ (يكون هذا الضرب التبادلي صفرًا إذا وفقط إذا كانت المستويات متوازية ، وبالتالي فهي غير متقاطعة أو متطابقة تمامًا).

يتم الوصول إلى ما تبقى من التعبير من خلال إيجاد نقطة عشوائية على الخط. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك أنه يمكن كتابة أي نقطة في الفضاء كـ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = c_ {1} {\ boldsymbol {n}} _ {1} + c_ {2} {\ boldsymbol {n}} _ {2} + \ lambda ({\ boldsymbol { n}} _ {1} \ مرات {\ boldsymbol {n}} _ {2})}$، حيث ${\ displaystyle \ {{boldsymbol {n}} _ {1} ، {\ boldsymbol {n}} _ {2} ({\ boldsymbol {n}} _ {1} times {boldsymbol {n}} _ {2}) \}}$هو أساس . نرغب في إيجاد نقطة على كلا المستويين (أي عند تقاطعهما) ، لذا أدخل هذه المعادلة في كل من معادلات المستويين للحصول على معادلتين متزامنتين يمكن حلهما من أجل${\ displaystyle c_ {1}}$ و ${\ displaystyle c_ {2}}$.

إذا افترضنا ذلك كذلك ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {1}}$ و ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {2}}$هي المتعامدة المعيرة ثم اقرب نقطة على خط التقاطع إلى الأصل هي${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {0} = h_ {1} {\ boldsymbol {n}} _ {1} + h_ {2} {\ boldsymbol {n}} _ {2}}$. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيجب استخدام إجراء أكثر تعقيدًا. ^[8]

زاوية زوجية

نظرا لطائرتين متقاطعتين وصفهما ${\ displaystyle \ Pi _ {1}: a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z + d_ {1} = 0}$ و ${\ displaystyle \ Pi _ {2}: a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z + d_ {2} = 0}$، يتم تعريف الزاوية ثنائية الأضلاع بينهما على أنها الزاوية${\ displaystyle \ alpha}$ بين اتجاهاتهم العادية:

${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {{\ hat {n}} _ {1} \ cdot {\ hat {n}} _ {2}} {| {\ hat {n}} _ {1} || {\ hat {n}} _ {2} |}} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2}} {{ \ sqrt {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + c_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ { 2} + c_ {2} ^ {2}}}}}.}$

بالإضافة إلى هيكلها الهندسي المألوف ، مع التماثلات التي هي متساوي القياس فيما يتعلق بالمنتج الداخلي المعتاد ، يمكن رؤية المستوى في مستويات أخرى مختلفة من التجريد . يتوافق كل مستوى من مستويات التجريد مع فئة معينة .

في أحد الطرفين، كل الهندسية و متري قد يتم إسقاط المفاهيم لمغادرة الطوبوغرافية الطائرة، والتي قد تكون من حيث الفكر والمثالية homotopically تافهة ورقة المطاط لانهائية، الذي يحتفظ مفهوم القرب، ولكن لا يوجد لديه المسافات. يحتوي المستوى الطوبولوجي على مفهوم المسار الخطي ، ولكن لا يوجد مفهوم للخط المستقيم. المستوى الطوبولوجي ، أو ما يعادله من القرص المفتوح ، هو الحي الطوبولوجي الأساسي المستخدم في بناء الأسطح (أو المشعبتين) المصنفة في طوبولوجيا منخفضة الأبعاد . تشابهات المستوى الطوبولوجي كلها تحولات مستمرة . المستوى الطوبولوجي هو السياق الطبيعي لفرع نظرية الرسم البياني الذي يتعامل مع الرسوم البيانية المستوية ، والنتائج مثل نظرية الألوان الأربعة .

يمكن أيضًا النظر إلى المستوى على أنه فضاء أفيني ، حيث تكون تماثلاته عبارة عن مجموعات من الترجمات والخرائط الخطية غير الفردية. من وجهة النظر هذه لا توجد مسافات ، ولكن يتم الحفاظ على العلاقة الخطية المتداخلة ونسب المسافات على أي خط.

تنظر الهندسة التفاضلية إلى المستوى كمشعب حقيقي ثنائي الأبعاد ، وهو مستوى طوبولوجي يتم توفيره بهيكل تفاضلي . مرة أخرى في هذه الحالة، لا يوجد مفهوم المسافة، ولكن هناك الآن مفهوم نعومة الخرائط، على سبيل المثال للاختلاف أو سلس المسار (تبعا لنوع من هيكل التفاضلية تطبيق). التماثل في هذه الحالة هو انحياز مع الدرجة المختارة من التفاضل.

في الاتجاه المعاكس للتجريد ، قد نطبق بنية مجال متوافقة على المستوى الهندسي ، مما يؤدي إلى المستوى المعقد والمجال الرئيسي للتحليل المعقد . يحتوي الحقل المعقد على شكلين فقط يتركان الخط الحقيقي ثابتًا ، الهوية والاقتران .

بنفس الطريقة كما في الحالة الحقيقية ، يمكن أيضًا النظر إلى المستوى على أنه أبسط مجمع معقد أحادي البعد (فوق الأرقام المعقدة ) ، يسمى أحيانًا الخط المعقد. ومع ذلك ، فإن وجهة النظر هذه تتناقض بشكل حاد مع حالة المستوى كمشعب حقيقي ثنائي الأبعاد. جميع الأشكال المتشابهة هي تحيزات مطابقة للمستوى المعقد ، لكن الاحتمالات الوحيدة هي الخرائط التي تتوافق مع تكوين الضرب بواسطة رقم مركب وترجمة.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن الهندسة الإقليدية (التي لا يوجد بها انحناء في كل مكان) ليست هي الهندسة الوحيدة التي قد يمتلكها المستوى. يمكن إعطاء المستوى هندسة كروية باستخدام الإسقاط المجسامي . يمكن اعتبار ذلك على أنه وضع كرة على الطائرة (تمامًا مثل الكرة على الأرض) ، وإزالة النقطة العليا ، وإسقاط الكرة على الطائرة من هذه النقطة). هذا أحد الإسقاطات التي يمكن استخدامها في عمل خريطة مسطحة لجزء من سطح الأرض. الهندسة الناتجة لها انحناء إيجابي ثابت.

بدلاً من ذلك ، يمكن أيضًا إعطاء المستوى مقياسًا يمنحه انحناءًا سلبيًا ثابتًا يعطي المستوى الزائدي . يجد الاحتمال الأخير تطبيقًا في نظرية النسبية الخاصة في الحالة المبسطة حيث يوجد بعدان مكانيان وبُعد زمني واحد. (المستوى الزائدي هو سطح زائدي شبيه بالزمن في فضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد .)

إن الدمج أحادي النقطة للطائرة متماثل مع كرة (انظر الإسقاط المجسامي ) ؛ القرص المفتوح متماثل مع كرة مع فقدان "القطب الشمالي" ؛ إضافة هذه النقطة يكمل المجال (المضغوط). نتيجة هذا الدمج هو مشعب يشار إليه باسم كرة ريمان أو خط الإسقاط المعقد . الإسقاط من المستوى الإقليدي إلى كرة بدون نقطة هو تباين الأشكال وحتى خريطة مطابقة .

الطائرة نفسها متماثلة الشكل (ومتنوعة الشكل) لقرص مفتوح . بالنسبة للمستوى الزائدي ، يكون هذا التباين متطابقًا ، ولكن بالنسبة للمستوى الإقليدي فهو ليس كذلك.

• أنطون ، هوارد (1994) ، الجبر الخطي الابتدائي (الطبعة السابعة) ، جون وايلي وأولاده ، ISBN 0-471-58742-7
• إيفز ، هوارد (1963) ، مسح للهندسة ، أنا ، بوسطن: Allyn and Bacon ، Inc.

• "الطائرة" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]
• وايسشتاين ، إريك دبليو "الطائرة" . ماثوورلد .
• "تخفيف صعوبة الحساب والهندسة المستوية" هي مخطوطة عربية من القرن الخامس عشر ، وهي بمثابة برنامج تعليمي حول هندسة الطائرة والحساب.