اكسيوم

تأتي كلمة بديهية من الكلمة اليونانية ἀξίωμα ( axíōma ) ، وهي اسم لفظي من الفعل ἀξιόειν ( axioein ) ، وتعني "أن تعتبر جديرة" ، ولكنها أيضًا "تتطلب" ، والتي بدورها تأتي من ἄξιος ( áxios ) ، والتي تعني " كونها متوازنة "، ومن ثم" لها (نفس) القيمة (مثل) "،" جديرة "،" مناسبة ". بين الفلاسفة اليونانيين القدماء كانت البديهية عبارة عن ادعاء يمكن اعتباره صحيحًا بشكل بديهي دون الحاجة إلى إثبات. ^[7]

المعنى الجذري لكلمة مسلمة هو "طلب". على سبيل المثال ، يطلب إقليدس أن يوافق المرء على إمكانية القيام ببعض الأشياء (على سبيل المثال ، يمكن ربط أي نقطتين بخط مستقيم). ^[8]

حافظت المقاييس الهندسية القديمة على بعض التمييز بين البديهيات والمسلمات. أثناء التعليق على كتب إقليدس ، يلاحظ بروكلوس أن " Geminus اعتبر أن هذا الافتراض [الرابع] لا ينبغي أن يصنف على أنه افتراض بل كبديهية ، لأنه لا يؤكد ، مثل الافتراضات الثلاثة الأولى ، إمكانية بعض البناء ولكنه يعبر عن الممتلكات الأساسية ". ^{[9] قام} بوثيوس بترجمة "الافتراض" على أنها بوتيتو وسمي مفاهيم البديهيات بالمشاعات ولكن في المخطوطات اللاحقة لم يتم الاحتفاظ بهذا الاستخدام بشكل صارم دائمًا.

الإغريق الأوائل

طور الإغريق الطريقة المنطقية الاستنتاجية التي بموجبها تتبع الاستنتاجات (المعرفة الجديدة) من المقدمات (المعرفة القديمة) من خلال تطبيق الحجج السليمة ( القياس المنطقي ، وقواعد الاستدلال) ، وأصبحت المبدأ الأساسي للرياضيات الحديثة. باستبعاد التحصيل الدراسي ، لا يمكن استنتاج أي شيء إذا لم يتم افتراض أي شيء. وبالتالي فإن البديهيات والمسلمات هي الافتراضات الأساسية التي تقوم عليها مجموعة معينة من المعرفة الاستنتاجية. يتم قبولهم بدون مظاهرة. يجب إثبات جميع التأكيدات الأخرى ( النظريات ، في حالة الرياضيات) بمساعدة هذه الافتراضات الأساسية. ومع ذلك، لم يتغير تفسير المعرفة الرياضية من العصور القديمة إلى الحديثة، وبالتالي شروط بديهية و مسلمة عقد معنى مختلف قليلا عن عالم الرياضيات يومنا هذا، مما كانت عليه ل أرسطو و إقليدس . ^[7]

اعتبر الإغريق القدماء الهندسة كواحد من عدة علوم ، وأقاموا نظريات الهندسة على قدم المساواة مع الحقائق العلمية. على هذا النحو ، فقد طوروا واستخدموا الطريقة المنطقية الاستنتاجية كوسيلة لتجنب الخطأ ، ولهيكلة المعرفة وتوصيلها. تحليلات أرسطو اللاحقة هي عرض نهائي لوجهة النظر الكلاسيكية.

تشير "البديهية" ، في المصطلحات الكلاسيكية ، إلى افتراض بديهي مشترك في العديد من فروع العلم. خير مثال على ذلك هو التأكيد على ذلك

عندما يتم أخذ مبلغ مساوٍ من يساوي ، ينتج عن ذلك مبلغ مساوٍ.

في أساس العلوم المختلفة وضعت بعض الفرضيات الإضافية التي تم قبولها دون إثبات. وكان يطلق على هذه الفرضية و مسلمة . بينما كانت البديهيات شائعة في العديد من العلوم ، كانت افتراضات كل علم معين مختلفة. يجب إثبات صحتها عن طريق تجربة العالم الحقيقي. يحذر أرسطو من أن محتوى العلم لا يمكن توصيله بنجاح إذا كان المتعلم يشك في حقيقة المسلمات. ^[10]

تم توضيح النهج الكلاسيكي جيدًا ^[أ] بواسطة عناصر إقليدس ، حيث يتم تقديم قائمة من المسلمات (حقائق هندسية حساسة مشتركة مستمدة من تجربتنا) ، متبوعة بقائمة من "المفاهيم الشائعة" (تأكيدات أساسية جدًا وواضحة بذاتها ).

المسلمات

1. من الممكن رسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى.
2. من الممكن تمديد قطعة مستقيمة بشكل مستمر في كلا الاتجاهين.
3. من الممكن وصف دائرة بأي مركز وأي نصف قطر.
4. صحيح أن جميع الزوايا القائمة متساوية مع بعضها البعض.
5. (" افتراض متوازي ") صحيح أنه إذا كان خط مستقيم يقع على خطين مستقيمين يجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين ، فإن الخطين المستقيمين ، إذا تم إنتاجهما إلى أجل غير مسمى ، يتقاطعان في ذلك الجانب في زوايا أقل من اثنين من زوايا قائمة.

المفاهيم المشتركة

1. الأشياء التي تساوي نفس الشيء تتساوى أيضًا مع بعضها البعض.
2. إذا تمت إضافة يساوي إلى يساوي ، فإن الأجمعين متساويتين.
3. إذا تم طرح تساوي من يساوي ، فإن الباقي متساوي.
4. الأشياء التي تتطابق مع بعضها البعض تساوي بعضها البعض.
5. الكل أكبر من الجزء.

التطور الحديث

أحد الدروس المستفادة من الرياضيات في المائة وخمسين عامًا الماضية هو أنه من المفيد تجريد المعنى من التأكيدات الرياضية (البديهيات ، المسلمات ، الافتراضات ، النظريات) والتعريفات. يجب على المرء أن يعترف بالحاجة إلى مفاهيم بدائية ، أو مصطلحات أو مفاهيم غير محددة ، في أي دراسة. هذا التجريد أو الشكل الرسمي يجعل المعرفة الرياضية أكثر عمومية ، وقادرة على تعدد المعاني المختلفة ، وبالتالي مفيدة في سياقات متعددة. اليساندرو بادوا ، ماريو بييري ، و جوزيبي بيانو كانت رائدة في هذه الحركة.

تذهب الرياضيات البنيوية إلى أبعد من ذلك ، وتطور النظريات والبديهيات (مثل نظرية المجال ، ونظرية المجموعة ، والطوبولوجيا ، والمساحات المتجهة ) دون أي تطبيق معين في الاعتبار. التمييز بين "بديهية" و "مسلمة" يختفي. يتم تحفيز افتراضات إقليدس بشكل مربح بالقول إنها تؤدي إلى ثروة كبيرة من الحقائق الهندسية. تعتمد حقيقة هذه الحقائق المعقدة على قبول الفرضيات الأساسية. ومع ذلك ، من خلال التخلص من الفرضية الخامسة لإقليدس ، يمكن للمرء الحصول على نظريات لها معنى في سياقات أوسع (على سبيل المثال ، الهندسة الزائدية ). على هذا النحو ، يجب على المرء ببساطة أن يكون مستعدًا لاستخدام تسميات مثل "الخط" و "الموازي" بمرونة أكبر. علمت تطور الهندسة الزائدية علماء الرياضيات أنه من المفيد اعتبار المسلمات بمثابة عبارات رسمية بحتة ، وليس كحقائق قائمة على الخبرة.

عندما يستخدم علماء الرياضيات البديهيات الميدانية ، تصبح النوايا أكثر تجريدًا. لا تتعلق مقترحات نظرية المجال بأي تطبيق معين ؛ يعمل عالم الرياضيات الآن في تجريد كامل. هناك العديد من الأمثلة على المجالات. تعطي نظرية المجال المعرفة الصحيحة عنهم جميعًا.

ليس من الصحيح القول بأن بديهيات نظرية المجال هي "افتراضات تعتبر صحيحة بدون دليل". بدلا من ذلك ، فإن بديهيات المجال هي مجموعة من القيود. إذا كان أي نظام معين للجمع والضرب يلبي هذه القيود ، فعندئذ يكون المرء في وضع يسمح له بمعرفة قدر كبير من المعلومات الإضافية حول هذا النظام على الفور.

تُضفي الرياضيات الحديثة الطابع الرسمي على أسسها لدرجة أنه يمكن اعتبار النظريات الرياضية كائنات رياضية ، ويمكن اعتبار الرياضيات نفسها فرعًا من المنطق . يعد Frege و Russell و Poincaré و Hilbert و Gödel من الشخصيات الرئيسية في هذا التطور.

درس آخر تم تعلمه في الرياضيات الحديثة هو فحص البراهين المزعومة بعناية للافتراضات الخفية.

في الفهم الحديث ، فإن مجموعة البديهيات هي أي مجموعة من التأكيدات المنصوص عليها رسميًا والتي تتبع منها التأكيدات الرسمية الأخرى - عن طريق تطبيق بعض القواعد المحددة جيدًا. من وجهة النظر هذه ، يصبح المنطق مجرد نظام رسمي آخر. يجب أن تكون مجموعة البديهيات متسقة ؛ يجب أن يكون من المستحيل استنباط تناقض من البديهية. يجب أن تكون مجموعة البديهيات أيضًا غير زائدة عن الحاجة ؛ التأكيد الذي يمكن استنتاجه من البديهيات الأخرى لا يجب اعتباره بديهية.

كان الأمل المبكر لعلماء المنطق المعاصرين أن تُشتق مختلف فروع الرياضيات ، وربما كل الرياضيات ، من مجموعة متسقة من البديهيات الأساسية. كان النجاح المبكر لبرنامج الشكلاني إضفاء الطابع الرسمي هلبرت ^[ب] من الهندسة الإقليدية ، ^[11] والمظاهرة ذات الصلة اتساق تلك البديهيات.

في سياق أوسع ، كانت هناك محاولة لإسناد جميع الرياضيات إلى نظرية المجموعات في كانتور . هنا ، أدى ظهور مفارقة راسل والتناقضات المماثلة لنظرية المجموعة الساذجة إلى إثارة احتمال أن يتضح أن أي نظام من هذا القبيل قد يكون غير متسق.

عانى المشروع الشكلي من انتكاسة حاسمة ، عندما أظهر جودل في عام 1931 أنه من الممكن ، لأي مجموعة كبيرة بما فيه الكفاية من البديهيات (مسلمات بينو ، على سبيل المثال) أن تبني بيانًا تكون حقيقته مستقلة عن تلك المجموعة من البديهيات. ونتيجة ل طبيعية ، أثبت غودل أن اتساق نظرية مثل الحساب بيانو هو تأكيد غير قابلة للإثبات في نطاق هذه النظرية. ^[12]

من المعقول أن نؤمن باتساق حساب بينو لأنه يرضيه نظام الأعداد الطبيعية ، وهو نظام رسمي لانهائي ولكن يمكن الوصول إليه بشكل حدسي. ومع ذلك ، في الوقت الحاضر ، لا توجد طريقة معروفة لإثبات اتساق مسلمات Zermelo-Fraenkel الحديثة لنظرية المجموعات. علاوة على ذلك ، باستخدام تقنيات التأثير ( كوهين ) يمكن للمرء أن يظهر أن فرضية الاستمرارية (كانتور) مستقلة عن بديهيات زيرميلو-فراينكل. ^[13] وبالتالي ، حتى هذه المجموعة العامة جدًا من البديهيات لا يمكن اعتبارها الأساس النهائي للرياضيات.

علوم أخرى

تلعب البديهيات دورًا رئيسيًا ليس فقط في الرياضيات ولكن أيضًا في العلوم الأخرى ، لا سيما في الفيزياء النظرية . على وجه الخصوص ، يستند العمل الضخم لإسحاق نيوتن أساسًا على بديهيات إقليدس ، مدعومة بافتراض حول عدم العلاقة بين الزمكان والفيزياء التي تحدث فيه في أي لحظة.

في عام 1905، تم استبدال البديهيات نيوتن من قبل أولئك من ألبرت أينشتاين الصورة النسبية الخاصة ، وفي وقت لاحق من قبل تلك النسبية العامة .

ورقة أخرى لألبرت أينشتاين وزملائه في العمل (انظر مفارقة EPR ) ، ناقضها نيلز بور على الفور تقريبًا ، تتعلق بتفسير ميكانيكا الكم . كان هذا في عام 1935. وفقًا لبوهر ، يجب أن تكون هذه النظرية الجديدة احتمالية ، بينما وفقًا لأينشتاين يجب أن تكون حتمية . بدت نظرية ميكانيكا الكم الأساسية ، أي مجموعة "النظريات" المشتقة منها ، متطابقة. حتى أن أينشتاين افترض أنه سيكون كافياً أن نضيف إلى ميكانيكا الكم "متغيرات خفية" لفرض الحتمية. ومع ذلك ، بعد ثلاثين عامًا ، في عام 1964 ، وجد جون بيل نظرية تتضمن ارتباطات بصرية معقدة (انظر متباينات بيل ) ، والتي أسفرت عن نتائج مختلفة يمكن قياسها باستخدام بديهيات أينشتاين مقارنة باستخدام بديهيات بور. واستغرق الأمر ما يقرب من عشرين عامًا أخرى حتى حصلت تجربة آلان أسبكت على نتائج لصالح بديهيات بوهر ، وليس بديهيات آينشتاين. (مسلمات بوهر هي ببساطة: يجب أن تكون النظرية احتمالية بمعنى تفسير كوبنهاجن ).

نتيجة لذلك ، ليس من الضروري الاستشهاد صراحة بمبادئ أينشتاين ، خاصةً لأنها تتعلق بالنقاط الدقيقة حول "واقع" و "مكان" التجارب.

بغض النظر ، فإن دور البديهيات في الرياضيات وفي العلوم المذكورة أعلاه مختلف. في الرياضيات لا "يثبت" ولا "يدحض" بديهية لمجموعة من النظريات. النقطة ببساطة هي أنه في المجال المفاهيمي الذي تحدده البديهيات ، تتبع النظريات منطقيًا. في المقابل ، في الفيزياء ، تكون المقارنة مع التجارب منطقية دائمًا ، لأن النظرية الفيزيائية المزيفة تحتاج إلى تعديل.

في مجال المنطق الرياضي ، يتم إجراء تمييز واضح بين المفهومين من البديهيات: منطقية و غير منطقية (تشبه إلى حد ما التمييز القديم بين "البديهيات" و "المسلمات" على التوالي).

البديهيات المنطقية

هذه هي بعض الصيغ في اللغة الرسمية التي هي صالحة عالميا ، وهذا هو، الصيغ التي يتم راض بكل مهمة من القيم. عادة ما يأخذ المرء كمسلمات منطقية على الأقل بعض مجموعة الحد الأدنى من الحشو التي تكفي لإثبات كل الحشو في اللغة ؛ في حالة المنطق المسند ، هناك بديهيات منطقية أكثر من تلك المطلوبة ، من أجل إثبات الحقائق المنطقية التي ليست حشوًا بالمعنى الدقيق للكلمة.

أمثلة

المنطق الاقتراحي

من الشائع في منطق الافتراض أن نأخذ كل الصيغ من الأشكال التالية كبديهيات منطقية ، حيث${\ displaystyle \ phi}$و ${\ displaystyle \ chi}$، و ${\ displaystyle \ psi}$يمكن أن تكون أي صيغ للغة وحيث تكون الوصلات البدائية المضمنة فقط "${\ displaystyle \ neg}$" لنفي الاقتراح التالي مباشرة و"${\ displaystyle \ to}$"ل ضمنا من سابقة لمقترحات يترتب على ذلك:

1. ${\ displaystyle \ phi \ to (\ psi \ to \ phi)}$
2. ${displaystyle (phi to (psi to chi)) to ((phi to psi) to (phi to chi))}$
3. ${\ displaystyle (\ lnot \ phi \ to \ lnot \ psi) \ to (\ psi \ to \ phi).}$

كل من هذه الأنماط هو مخطط بديهي ، قاعدة لتوليد عدد لا حصر له من البديهيات. على سبيل المثال ، إذا${\ displaystyle A}$و ${\ displaystyle B}$، و ${\ displaystyle C}$هي متغيرات افتراضية ، إذن${displaystyle A to (B to A)}$ و ${\ displaystyle (A \ to \ lnot B) \ to (C \ to (A \ to \ lnot B))}$كلاهما مثيلين للمخطط البديهية 1 ، وبالتالي فهي من البديهيات. يمكن إثبات أنه باستخدام هذه المخططات البديهية الثلاثة فقط و ponens الطريقة ، يمكن للمرء أن يثبت كل الحشو في حساب التفاضل والتكامل. يمكن أيضًا إثبات أنه لا يوجد زوج من هذه المخططات كافٍ لإثبات جميع الحشو باستخدام طريقة ponens .

يمكن بدلاً من ذلك إنشاء مخططات بديهية أخرى تتضمن نفس المجموعات أو مجموعات مختلفة من الوصلات البدائية. ^[14]

تُستخدم مخططات البديهية هذه أيضًا في حساب التفاضل والتكامل الأصلي ، ولكن هناك حاجة إلى بديهيات منطقية إضافية لتضمين مُحدد كمي في حساب التفاضل والتكامل. ^[15]

منطق الدرجة الأولى

هذا يعني أن ، لأي رمز متغير ${\ displaystyle x \ ،،}$ الصيغة ${\ displaystyle x = x}$يمكن اعتباره بديهية. أيضًا ، في هذا المثال ، لكي لا يقع هذا في الغموض وسلسلة لا تنتهي من "المفاهيم البدائية" ، إما فكرة دقيقة عما نعنيه بـ${\ displaystyle x = x}$ (أو ، في هذا الصدد ، "لكي تكون متساويًا") يجب أن يكون راسخًا أولاً ، أو استخدامًا رسميًا ونحويًا بحتًا للرمز ${\ displaystyle =}$ يجب أن يتم فرضه ، فقط اعتباره سلسلة وفقط سلسلة من الرموز ، والمنطق الرياضي يفعل ذلك بالفعل.

مثال آخر أكثر إثارة للاهتمام هو مخطط البديهية الذي يزودنا بما يعرف بالتجسيد العالمي :

أين الرمز ${\ displaystyle \ phi _ {t} ^ {x}}$ لتقف على الصيغة ${\ displaystyle \ phi}$ مع المصطلح ${\ displaystyle t}$ استبدال ${\ displaystyle x}$. (انظر استبدال المتغيرات .) في المصطلحات غير الرسمية ، يتيح لنا هذا المثال تحديد أنه إذا علمنا أن خاصية معينة${\ displaystyle P}$ يحمل كل ${\ displaystyle x}$ وذلك ${\ displaystyle t}$ تمثل كائنًا معينًا في هيكلنا ، ثم يجب أن نكون قادرين على المطالبة ${\ displaystyle P (t)}$. مرة أخرى ، نحن ندعي أن الصيغة ${\ displaystyle \ forall x \ phi \ to \ phi _ {t} ^ {x}}$ صحيح ، أي ، يجب أن نكون قادرين على إعطاء "دليل" على هذه الحقيقة ، أو بشكل أكثر دقة ، دليل ميتابروفي . هذه الأمثلة هي metatheorems لنظريتنا في المنطق الرياضي لأننا نتعامل مع مفهوم الإثبات نفسه. بصرف النظر عن هذا ، يمكننا أيضًا الحصول على التعميم الوجودي :

البديهيات غير المنطقية

البديهيات غير المنطقية هي الصيغ التي تلعب دور الافتراضات الخاصة بالنظرية. المنطق عن هيكلين مختلفة، على سبيل المثال، الأعداد الطبيعية و الصحيحة ، قد تنطوي على نفس البديهيات المنطقية. تهدف البديهيات غير المنطقية إلى التقاط ما هو خاص حول بنية معينة (أو مجموعة من الهياكل ، مثل المجموعات ). وبالتالي ، فإن البديهيات غير المنطقية ، على عكس البديهيات المنطقية ، ليست حشوًا . اسم آخر للبديهية غير المنطقية هو المسلمة . ^[16]

تبدأ كل نظرية رياضية حديثة تقريبًا من مجموعة معينة من البديهيات غير المنطقية ، وكان ^{[ بحاجة لمزيد من الشرح ]} الفكر ^{[ بحاجة لمصدر ] من} حيث المبدأ يمكن إضفاء البديهية على كل نظرية بهذه الطريقة وإضفاء الطابع الرسمي عليها وصولاً إلى اللغة المجردة للصيغ المنطقية .

غالبًا ما يشار إلى البديهيات غير المنطقية ببساطة على أنها مسلمات في الخطاب الرياضي . هذا لا يعني أنه يُزعم أنها صحيحة بالمعنى المطلق. على سبيل المثال ، في بعض المجموعات ، تكون عملية المجموعة تبادلية ، ويمكن تأكيد ذلك من خلال تقديم بديهية إضافية ، ولكن بدون هذه البديهية ، يمكننا تطوير نظرية المجموعة (الأكثر عمومية) بشكل جيد ، ويمكننا حتى أن نأخذ نفيه كبديهية لدراسة المجموعات غير التبادلية.

وبالتالي ، فإن البديهية هي أساس أولي لنظام المنطق الرسمي الذي يحدد مع قواعد الاستدلال نظامًا استنتاجيًا .

أمثلة

يقدم هذا القسم أمثلة على النظريات الرياضية التي تم تطويرها بالكامل من مجموعة من البديهيات غير المنطقية (البديهيات ، من الآن فصاعدًا). تبدأ المعالجة الصارمة لأي من هذه الموضوعات بتحديد هذه البديهيات.

النظريات الأساسية، مثل الحساب ، تحليل حقيقي و التحليل المركب وكثيرا ما تقدم غير بديهي، ولكن ضمنا أو صراحة هناك عموما افتراض أن البديهيات المستخدمة هي بديهيات نظرية المجموعات Zermelo-فرانكل مع الاختيار، يختصر ZFC، أو بعض نظام مشابه جدًا لنظرية المجموعات البديهية مثل نظرية مجموعة فون نيومان - بيرنايز - جودل ، امتداد محافظ لـ ZFC. في بعض الأحيان يتم استخدام نظريات أقوى قليلاً مثل نظرية مجموعة مورس-كيلي أو نظرية المجموعات ذات الكاردينال الذي يتعذر الوصول إليه بشدة مما يسمح باستخدام كون جروتينديك ، ولكن في الواقع ، يمكن لمعظم علماء الرياضيات إثبات كل ما يحتاجون إليه في أنظمة أضعف من ZFC ، مثل الثانية -حساب الترتيب . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

دراسة طوبولوجيا في الرياضيات تمتد في جميع أنحاء من خلال نقطة طوبولوجيا مجموعة ، طوبولوجيا جبرية ، طوبولوجيا التفاضلية ، وجميع أدوات ذات الصلة، مثل نظرية التماثل ، نظرية مثلية التوضع . جلب تطور الجبر المجرد مع نفسه نظرية المجموعة ، والحلقات ، والحقول ، ونظرية الوا .

يمكن توسيع هذه القائمة لتشمل معظم مجالات الرياضيات ، بما في ذلك نظرية القياس ، ونظرية ergodic ، والاحتمال ، ونظرية التمثيل ، والهندسة التفاضلية .

علم الحساب

تعتبر بديهيات Peano أكثر البديهيات استخدامًا في الحساب من الدرجة الأولى . إنها مجموعة من البديهيات قوية بما يكفي لإثبات العديد من الحقائق المهمة حول نظرية الأعداد وقد سمحت لجودل بتأسيس نظرية عدم الاكتمال الثانية الشهيرة . ^[17]

لدينا لغة ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {NT} = \ {0، S \}}$ أين ${\ displaystyle 0}$ هو رمز ثابت و ${\ displaystyle S}$هي وظيفة أحادية والبديهيات التالية:

1. ${\ displaystyle \ forall x. \ lnot (Sx = 0)}$
2. ${\ displaystyle \ forall x. \ forall y. (Sx = Sy \ to x = y)}$
3. ${\ displaystyle (\ phi (0) \ land \ forall x. \ (\ phi (x) \ to \ phi (Sx))) \ to \ forall x. \ phi (x)}$ لأي ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {NT}}$ معادلة ${\ displaystyle \ phi}$ مع متغير واحد مجاني.

الهيكل القياسي هو ${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} = \ langle \ mathbb {N}، 0، S \ rangle}$ أين ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ هي مجموعة الأعداد الطبيعية ، ${\ displaystyle S}$هي وظيفة الخلف و${\ displaystyle 0}$ يتم تفسيره بشكل طبيعي على أنه الرقم 0.

الهندسة الإقليدية

ربما أقدم، والأكثر شهرة، قائمة من البديهيات هي 4 + 1 المسلمات إقليدس من الهندسة المستوية . يُشار إلى البديهيات باسم "4 + 1" لأنه منذ ما يقرب من ألفي عام ، كان يُشتبه في أن الافتراض الخامس (الموازي) ("من خلال نقطة خارج الخط يوجد متوازي واحد تمامًا") يمكن اشتقاقه من الأربعة الأولى. في النهاية ، تم العثور على الفرضية الخامسة لتكون مستقلة عن الأربعة الأولى. يمكن للمرء أن يفترض وجود موازٍ واحد بالضبط عبر نقطة خارج الخط ، أو أن هناك عددًا لا نهائيًا. هذا الاختيار يعطينا اثنين من أشكال بديلة للهندسة فيها الداخلية زوايا من المثلث تضيف ما يصل الى 180 درجة بالضبط أو أقل، على التوالي، والمعروفة باسم الإقليدية و القطعي هندستها. إذا أزال المرء أيضًا الافتراض الثاني ("يمكن تمديد الخط إلى أجل غير مسمى") ، فإن الهندسة البيضاوية تنشأ ، حيث لا يوجد موازٍ خلال نقطة خارج الخط ، وحيث تكون الزوايا الداخلية للمثلث تضيف ما يصل إلى أكثر من 180 درجة .

تحليل حقيقي

أهداف الدراسة في مجال الأعداد الحقيقية . يتم اختيار الأرقام الحقيقية بشكل فريد (حتى التماثل ) بواسطة خصائص الحقل المرتب الكامل Dedekind ، مما يعني أن أي مجموعة غير فارغة من الأرقام الحقيقية ذات الحد الأعلى لها حد أعلى أقل. ومع ذلك ، فإن التعبير عن هذه الخصائص كبديهيات يتطلب استخدام منطق من الدرجة الثانية . و النظريات Löwenheim-Skolem تخبرنا أنه إذا اقتصرنا على المنطق من الدرجة الأولى ، أي نظام بديهية لريال يعترف نماذج أخرى، بما في ذلك النماذج التي هي أصغر من ريال والنماذج التي هي أكبر. تمت دراسة بعض هذه الأخيرة في تحليل غير قياسي .

دور في المنطق الرياضي

النظم الاستنتاجية واكتمالها

و استنتاجي نظام يتكون من مجموعة${\ displaystyle \ Lambda}$ من البديهيات المنطقية ، مجموعة ${\ displaystyle \ Sigma}$ من البديهيات غير المنطقية ، ومجموعة ${\ displaystyle \ {(\ Gamma، \ phi) \}}$من قواعد الاستدلال . من الخصائص المرغوبة للنظام الاستنتاجي أن يكون كاملاً . يقال إن النظام يكون مكتملًا لجميع الصيغ${\ displaystyle \ phi}$و

أي بالنسبة لأي بيان يكون نتيجة منطقية لـ${\ displaystyle \ Sigma}$يوجد بالفعل خصم من البيان من${\ displaystyle \ Sigma}$. يتم التعبير عن هذا أحيانًا على أنه "كل ما هو صحيح يمكن إثباته" ، ولكن يجب أن نفهم أن "صحيح" هنا تعني "تحقق من خلال مجموعة البديهيات" ، وليس ، على سبيل المثال ، "صحيح في التفسير المقصود". تثبت نظرية الاكتمال لجودل اكتمال نوع معين شائع الاستخدام من النظام الاستنتاجي.

علما بأن "كمال" له معنى مختلف هنا من يفعل في سياق الأولى نظرية عدم اكتمال جوديل ، والتي تنص على أنه لا العودية ، بما يتفق مجموعة من البديهيات غير منطقية${\ displaystyle \ Sigma}$نظرية الحساب كاملة ، بمعنى أنه سيكون هناك دائمًا بيان حسابي${\ displaystyle \ phi}$ مثل هذا لا ${\ displaystyle \ phi}$ ولا ${\ displaystyle \ lnot \ phi}$ يمكن إثباته من مجموعة البديهيات المعطاة.

هناك بالتالي ، من ناحية ، مفهوم اكتمال النظام الاستنتاجي ومن ناحية أخرى مفهوم اكتمال مجموعة من البديهيات غير المنطقية . نظرية الاكتمال ونظرية عدم الاكتمال ، على الرغم من تسميتها ، لا تتعارض مع بعضها البعض.

مزيد من المناقشة

اعتبر علماء الرياضيات الأوائل الهندسة البديهية كنموذج للفضاء المادي ، ومن الواضح أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى نموذج واحد من هذا القبيل. كانت فكرة وجود أنظمة رياضية بديلة مزعجة للغاية لعلماء الرياضيات في القرن التاسع عشر ، وقد بذل مطورو أنظمة مثل الجبر البولي جهودًا متقنة لاشتقاقها من الحساب التقليدي. أظهر جالوا قبل وفاته المفاجئة أن هذه الجهود قد ضاعت إلى حد كبير. في نهاية المطاف ، كان ينظر إلى أوجه التشابه المجردة بين الأنظمة الجبرية على أنها أكثر أهمية من التفاصيل ، وولد الجبر الحديث . في وجهة النظر الحديثة ، قد تكون البديهيات عبارة عن مجموعة من الصيغ ، طالما أنه من غير المعروف أنها غير متسقة.

• نظام أكسيوماتيك
• العقيدة
• المبدأ الأول ، البديهية في العلم والفلسفة
• قائمة البديهيات
• نظرية النموذج
• Regulæ جوريس
• نظرية
• الافتراض
• القانون الفيزيائي
• مبدأ

• مندلسون ، إليوت (1987). مقدمة في المنطق الرياضي. بلمونت ، كاليفورنيا: وادزورث وبروكس. ردمك  0-534-06624-0
• ويلسون ، جون كوك (1889). في نظرية التطور للبديهيات  . أكسفورد: مطبعة كلارندون.

• اكسيوم في PhilPapers
• اكسيوم في PlanetMath .
• صفحة بديهيات Metamath