مجموعة (رياضيات)

ظهر مفهوم المجموعة في الرياضيات في نهاية القرن التاسع عشر. ^[6] الكلمة الألمانية للمجموعة ، مينج ، صاغها برنارد بولزانو في عمله مفارقات اللانهائية . ^{[7] [8] [9]}

مقطع مع ترجمة لتعريف المجموعة الأصلي لجورج كانتور. الكلمة الألمانية MENGE ل مجموعة تترجم مع مجموع المباراتين هنا.

قدم جورج كانتور ، أحد مؤسسي نظرية المجموعات ، التعريف التالي في بداية كتابه Beiträge zur Begründung der Transfiniten Mengenlehre : ^[10]

المجموعة هي تجمع معًا في مجموعة كاملة من الأشياء المحددة والمتميزة لإدراكنا أو فكرنا - والتي تسمى عناصر المجموعة.

نظرية المجموعة الساذجة

الخاصية الأولى للمجموعة هي أنه يمكن أن تحتوي على عناصر ، تسمى أيضًا أعضاء . مجموعتان متساويتان عندما يكون لهما نفس العناصر. بتعبير أدق ، تكون المجموعتان A و B متساويتين إذا كان كل عنصر من A عضوًا في B ، وكل عنصر من B هو عنصر من A ؛ هذه الخاصية تسمى تمدد المجموعات . ^[11]

ثبت أن المفهوم البسيط للمجموعة مفيد للغاية في الرياضيات ، ولكن تظهر المفارقات إذا لم يتم وضع قيود على كيفية بناء المجموعات:

• توضح مفارقة راسل أن "مجموعة كل المجموعات التي لا تحتوي على نفسها " ، أي { x | x مجموعة و x ∉ x } لا يمكن أن توجد.
• تظهر مفارقة كانتور أن "مجموعة كل المجموعات" لا يمكن أن توجد.

تعرف نظرية المجموعة الساذجة المجموعة على أنها أي مجموعة محددة جيدًا من العناصر المتميزة ، لكن المشاكل تنشأ من غموض المصطلح المحدد جيدًا .

نظرية المجموعة البديهية

في الجهود اللاحقة لحل هذه المفارقات منذ زمن الصياغة الأصلية لنظرية المجموعة الساذجة ، تم تحديد خصائص المجموعات بواسطة البديهيات . تأخذ نظرية المجموعة البديهية مفهوم المجموعة كمفهوم بدائي . ^[12] الغرض من البديهيات هو توفير إطار عمل أساسي يمكن من خلاله استنتاج حقيقة أو خطأ افتراضات (عبارات) رياضية معينة حول المجموعات ، باستخدام منطق من الدرجة الأولى . وفقًا لنظريات عدم الاكتمال لـ Gödel ، لا يمكن استخدام منطق الدرجة الأولى لإثبات أن أي نظرية مجموعة بديهية معينة خالية من التناقض. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

النصوص الرياضية عادة مجموعات اشارة به حروف ^{[13] [4] [14]} في مائل ، مثل A ، B ، C . ^{[14] [15]} قد تسمى المجموعة أيضًا مجموعة أو عائلة ، خاصةً عندما تكون عناصرها هي نفسها مجموعات.

التعريف الدلالي

تتمثل إحدى طرق تعريف المجموعة في استخدام قاعدة لتحديد العناصر:

لنفترض أن A هي المجموعة التي يكون أعضاؤها أول أربعة أعداد صحيحة موجبة .

دع B يكون مجموعة ألوان العلم الفرنسي .

يسمى هذا التعريف أيضًا بالوصف الدلالي . ^{[16] [17]}

تدوين القائمة

يحدد تدوين الجدول أو التعداد مجموعة من خلال سرد عناصرها بين قوسين معقوفين ، مفصولة بفواصل: ^{[18] [19] [20] [21]}

أ = {4 ، 2 ، 1 ، 3}

ب = {أزرق ، أبيض ، أحمر}.

في مجموعة، كل ما يهم هو ما إذا كان كل عنصر في ذلك أم لا، وبالتالي فإن ترتيب العناصر في تدوين قائمة غير ذي صلة (في المقابل، في تسلسل ، و الصفوف (tuple) ، أو التقليب من مجموعة ، وطلب من الشروط مهمة). على سبيل المثال ، {2 ، 4 ، 6} و {4 ، 6 ، 2} تمثل نفس المجموعة. ^{[22] [15] [23]}

بالنسبة للمجموعات التي تحتوي على العديد من العناصر ، خاصة تلك التي تتبع نمطًا ضمنيًا ، يمكن اختصار قائمة الأعضاء باستخدام علامة القطع "...". ^{[24] [25]} على سبيل المثال ، يمكن تحديد مجموعة أول ألف من الأعداد الصحيحة الموجبة في تدوين القائمة على أنها

{1، 2، 3، ...، 1000}.

مجموعات لانهائية في تدوين القائمة

و مجموعة لانهائية عبارة عن مجموعة مع قائمة لا تنتهي من العناصر. لوصف مجموعة لا نهائية في تدوين الجدول ، يتم وضع علامة حذف في نهاية القائمة ، أو في كلا الطرفين ، للإشارة إلى استمرار القائمة إلى الأبد. على سبيل المثال ، مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة هي

{0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...} ،

ومجموعة جميع الأعداد الصحيحة هي

{... ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...}.

تعيين تدوين منشئ

يحدد تدوين Set-builder مجموعة على أنها تحديد من مجموعة أكبر ، يتم تحديدها بواسطة شرط على العناصر. ^{[17] [26] [27]} على سبيل المثال ، يمكن تعريف المجموعة F على النحو التالي:

F${\ displaystyle = \ {n \ mid n {\ text {عدد صحيح و}} 0 \ leq n \ leq 19 \}.}$

في هذا الترميز ، الشريط العمودي "|" تعني "مثل ذلك" ، ويمكن تفسير الوصف على أنه " F هي مجموعة جميع الأرقام n بحيث يكون n عددًا صحيحًا في النطاق من 0 إلى 19 ضمناً". يستخدم بعض المؤلفين النقطتين ":" بدلاً من الشريط العمودي. ^[28]

طرق التصنيف للتعريف

تستخدم الفلسفة مصطلحات محددة لتصنيف أنواع التعريفات:

• ل تعريف intensional يستخدم قاعدة لتحديد العضوية. التعريفات والتعريفات الدلالية باستخدام تدوين مجموعة البناء هي أمثلة.
• ل تعريف الامتدادية يصف مجموعة من سرد كافة عناصرها . ^[17] تسمى هذه التعريفات أيضًا بالتعداد .
• ل تعريف زاعم واحد هو أن يصف مجموعة من خلال إعطاء أمثلة من العناصر؛ ستكون القائمة التي تتضمن علامة حذف مثالاً.

إذا كانت B مجموعة و x عنصرًا من B ، فهذا مكتوب باختصار مثل x ∈ B ، والذي يمكن قراءته أيضًا على أنه "x ينتمي إلى B" ، أو "x في B" . ^[11] العبارة "y ليس عنصرًا من B" مكتوبة بالشكل y ∉ B ، والتي يمكن قراءتها أيضًا أو "y ليس في B" . ^{[29] [14] [30]}

على سبيل المثال ، فيما يتعلق بالمجموعات أ = {1 ، 2 ، 3 ، 4} ، ب = {أزرق ، أبيض ، أحمر} ، و F = { n | ن عدد صحيح ، و 0 ن ≤ 19} ،

4 ∈ A و 12 F ؛ و

20 ∉ F والأخضر ∉ B .

و مجموعة فارغة (أو مجموعة لاغية ) هو مجموعة فريدة ليس لها أعضاء. يشار إليه ∅ أو${\ displaystyle \ emptyset}$أو { }. ^{[31] [14] [32]}

A مجموعة المفرد هو عبارة عن مجموعة مع عنصر واحد بالضبط. قد تسمى هذه المجموعة أيضًا مجموعة الوحدات . ^[5] يمكن كتابة أي مجموعة كـ { x } ، حيث x هو العنصر. المجموعة { x } والعنصر x تعنيان أشياء مختلفة ؛ يرسم Halmos ^[33] تشبيهًا بأن الصندوق الذي يحتوي على قبعة ليس هو نفسه القبعة.

إذا كان كل عنصر من مجموعة A هو أيضا في B ، ثم و يوصف بأنه فرعية من B ، أو الواردة في B ، وكتب و ⊆ B . ^[34] B ⊇ A تعني B تحتوي على A ، B تتضمن A ، أو B هي مجموعة شاملة من A ؛ B ⊇ A يعادل A ⊆ B . ^{[35] [14]} و العلاقة يسمى بين مجموعات أنشأها ⊆ إدراج أو الاحتواء . مجموعتين متساوية إذا كانت تحتوي على بعضها البعض: A ⊆ B و B ⊆ A يعادل A = B . ^[26]

إذا A هو مجموعة فرعية من B ، ولكن هناك هو لا يساوي B ، ثم و يسمى فرعية المناسبة من B . وهذا يمكن أن تكون مكتوبة و ⊊ B . وبالمثل، B ⊋ A يعني B هو شاملة السليم للA ، أي B تحتوي على A ، وليس يساوي A .

وتستخدم زوج الثالث من مشغلي ⊂ و⊃ بشكل مختلف من قبل مؤلفين مختلفين: بعض المؤلفين تستخدم A ⊂ B و B ⊃ A إلى متوسط A هو أي مجموعة فرعية من B (وليس بالضرورة مجموعة فرعية المناسبة)، ^{[36] [29]} في حين أن آخرين احتياطي A ⊂ B و B ⊃ A في الحالات التي A هي مجموعة فرعية السليم لل B . ^[34]

أمثلة:

• مجموعة كل البشر هي مجموعة فرعية مناسبة من مجموعة كل الثدييات.
• {1، 3} ⊂ {1، 2، 3، 4}.
• {1، 2، 3، 4} ⊆ {1، 2، 3، 4}.

المجموعة الفارغة هي مجموعة فرعية من كل مجموعة ، ^[31] وكل مجموعة هي مجموعة فرعية من نفسها: ^[36]

• ∅ ⊆ أ .
• أ ⊆ أ .

أ هي مجموعة فرعية من ب

و يولر المخطط هو تمثيل رسومي من مجموعة من مجموعات. تم تصوير كل مجموعة على أنها منطقة مستوية محاطة بحلقة ، مع عناصرها في الداخل. إذا A هو مجموعة فرعية من B ، ثم المنطقة تمثل A هو تماما داخل المنطقة تمثل B . إذا لم تكن هناك عناصر مشتركة بين مجموعتين ، فلن تتداخل المناطق.

A فين الرسم البياني ، في المقابل، هو تمثيل رسومي لل ن مجموعات فيها ن حلقات تقسيم الطائرة إلى 2 ^ن مناطق مثل أن لكل طريقة اختيار بعض ن مجموعات (ربما فقط أو لا شيء)، وهناك منطقة ل العناصر التي تنتمي إلى جميع المجموعات المحددة وليس أي من العناصر الأخرى. على سبيل المثال ، إذا كانت المجموعات A و B و C ، فيجب أن تكون هناك منطقة للعناصر الموجودة داخل A و C وخارج B (حتى لو لم تكن هذه العناصر موجودة).

في الأعداد الطبيعية وترد ℕ في الأعداد الصحيحة ℤ، التي ترد في أرقام عقلانية ℚ، التي ترد في أرقام حقيقية ℝ، التي ترد في أرقام معقدة ℂ

هناك مجموعات ذات أهمية رياضية ، يشير إليها علماء الرياضيات بشكل متكرر ، لدرجة أنهم اكتسبوا أسماء خاصة واصطلاحات ترميزية للتعرف عليها.

يتم تمثيل العديد من هذه المجموعات المهمة في نصوص رياضية باستخدام غامق (على سبيل المثال Z ) أو السبورة العريضة (على سبيل المثال${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$) محرف. ^[37] وتشمل هذه ^[14]

• N أو${\ displaystyle \ mathbb {N}}$، مجموعة الأعداد الطبيعية بالكامل : N = {0، 1، 2، 3، ...} (يستبعد بعض المؤلفين 0 )؛ ^[37]
• Z أو${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$، مجموعة جميع الأعداد الصحيحة (سواء كانت موجبة أو سالبة أو صفرية): Z = {...، −2، −1، 0، 1، 2، ...} ؛ ^[37]
• س او${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$، مجموعة جميع الأعداد النسبية (أي مجموعة جميع الكسور الصحيحة وغير الصحيحة ): Q = { a / b | و ، ب ∈ Z ، ب ≠ 0} . على سبيل المثال ، -7/4 ∈ Q و 5 = 5/1 ∈ Q ؛ ^[37]
• R أو${\ displaystyle \ mathbb {R}}$، كل مجموعة من الأعداد الحقيقية ، بما في ذلك جميع أرقام عقلانية وجميع اللاعقلانية الأرقام (التي تشمل عدد جبري مثل √ 2 التي لا يمكن كتابتها كما كسور، فضلا عن عدد متسام مثل π و ه )؛ ^[37]
• ج أو${\ displaystyle \ mathbb {C}}$، مجموعة كل الأعداد المركبة : C = { a + bi | و ، ب ∈ R } ، على سبيل المثال، 1 + 2 ط ∈ C . ^[37]

تحتوي كل مجموعة من مجموعات الأرقام المذكورة أعلاه على عدد لا حصر له من العناصر. كل مجموعة فرعية من المجموعات المدرجة أدناه.

يُشار أحيانًا إلى مجموعات من الأرقام الموجبة أو السالبة بعلامات علوية زائد وعلامة ناقص ، على التوالي. على سبيل المثال،${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {+}}$ يمثل مجموعة الأعداد المنطقية الموجبة.

و ظيفة (أو رسم الخرائط ) من مجموعة A لمجموعة B هي القاعدة التي يعين على كل "إدخال" عنصر من A إلى "إخراج" الذي هو عنصر B . أكثر رسميا، وهي وظيفة هي نوع خاص من العلاقة ، واحدة أن يرتبط كل عنصر من A إلى واحد بالضبط عنصر B . وظيفة تسمى

• حقني (أو واحد لواحد) إذا قام بتعيين أي عنصرين مختلفين من A إلى عناصر مختلفة من B ،
• تخميني (أو على) إذا كان لكل عنصر من عناصر B ، هناك عنصر واحد على الأقل من A يعينه ، و
• متحيز (أو تناظر واحد لواحد) إذا كانت الوظيفة حقنة وسخرية - في هذه الحالة ، يتم إقران كل عنصر من عناصر A مع عنصر فريد من B ، ويتم إقران كل عنصر من B مع عنصر فريد من A ، بحيث لا توجد عناصر غير متزاوجة.

وتسمى وظيفة الحقن حقنة ، وتسمى الوظيفة التخمينية بالإفراج ، وتسمى الوظيفة الاحيائية التحيز أو المراسلات الفردية .

أصل مجموعة S ، يُشار إليها | S |، هو عدد أعضاء S . ^[38] على سبيل المثال ، إذا كان ب = {أزرق ، أبيض ، أحمر} ، إذن | ب | = 3 . لا يتم احتساب الأعضاء المتكررين في تدوين الجدول ، ^{[39] [40]} لذلك | {أزرق ، أبيض ، أحمر ، أزرق ، أبيض} | = 3 أيضًا.

بشكل أكثر رسمية ، تشترك مجموعتان في نفس العلاقة الأساسية إذا كان هناك تطابق واحد لواحد بينهما.

عدد العناصر الأساسية للمجموعة الفارغة هو صفر. ^[41]

المجموعات اللانهائية والعدد اللانهائي

قائمة عناصر بعض المجموعات لا حصر لها أو لانهائية . على سبيل المثال ، المجموعة${\ displaystyle \ mathbb {N}}$من الأعداد الطبيعية لانهائية. ^[26] في الواقع ، جميع مجموعات الأرقام الخاصة المذكورة في القسم أعلاه لا نهائية. المجموعات اللانهائية لها عدد لا نهائي من العناصر .

بعض الكاردينالات اللانهائية أكبر من غيرها. مجموعات مع نفس الأصل مثل${\ displaystyle \ mathbb {N}}$تسمى مجموعات معدودة . يمكن القول إن إحدى أهم النتائج من نظرية المجموعات هي أن مجموعة الأعداد الحقيقية لها عدد أكبر من الأعداد من مجموعة الأعداد الطبيعية. ^[42] تسمى المجموعات التي تحتوي على عدد أكبر من مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعات غير معدودة .

ومع ذلك، فإنه يمكن أن تظهر أن أصل من خط مستقيم (أي عدد من النقاط على خط) هو نفس أصل في أي جزء من هذا الخط، من كامل الطائرة ، بل وأي -محدود الأبعاد الإقليدية الفضاء . ^[43]

فرضية الاستمرارية

فرضية الاستمرارية ، التي صاغها جورج كانتور في عام 1878 ، هي بيان أنه لا توجد مجموعة أساسية بشكل صارم بين أصل الأعداد الطبيعية وأصل الخط المستقيم. ^[44] في عام 1963 ، أثبت بول كوهين أن فرضية Continuum مستقلة عن نظام البديهية ZFC الذي يتكون من نظرية مجموعة Zermelo-Fraenkel مع بديهية الاختيار . ^[45] (ZFC هي النسخة الأكثر دراسة من نظرية المجموعات البديهية.)

مجموعة قوة مجموعة S هو كل مجموعة من مجموعات فرعية من S . ^[26] و مجموعة فارغة و S هي نفسها عناصر من مجموعة قوة S لأن هذه هي على حد سواء مجموعات فرعية من S . على سبيل المثال ، مجموعة القوة لـ {1 ، 2 ، 3} هي {∅ ، {1} ، {2} ، {3} ، {1 ، 2} ، {1 ، 3} ، {2 ، 3} ، {1 ، 2 ، 3}}. مجموعة قوة مجموعة S عادة كما هو مكتوب P ( S ) أو 2 ^P . ^{[26] [46] [14] [15]}

مجموعة القوة لمجموعة محدودة تحتوي على n من العناصر 2 ^{n من} العناصر. ^[47] على سبيل المثال ، تحتوي المجموعة {1 ، 2 ، 3} على ثلاثة عناصر ، ومجموعة الطاقة الموضحة أعلاه تحتوي على 2 ³ = 8 عناصر.

مجموعة قوة لانهائية (إما معدود أو لا يحصى ) مجموعة هو دائما لا يحصى. علاوة على ذلك ، ضمن الأطر الأكثر استخدامًا لنظرية المجموعات ، دائمًا ما تكون مجموعة القوة للمجموعة "أكبر" بشكل صارم من المجموعة الأصلية ، بمعنى أنه لا توجد طريقة لإقران كل عنصر من عناصر S مع عنصر واحد بالضبط من P ( س ). (لا يوجد إطلاقاً خريطة على الخريطة أو سور من S على P ( S ).) ^[48]

A تقسيم مجموعة S عبارة عن مجموعة من مجموعات فرعية غير فارغ من S ، بحيث كل عنصر العاشر في S هو بالضبط واحدة من هذه المجموعات الفرعية. وهذا يعني أن مجموعات فرعية هي منفصلتين البشرى (يعني أي مجموعتين القسم لا تحتوي على عنصر مشترك)، و اتحاد جميع مجموعات فرعية من التقسيم هو S . ^{[49] [50]}

هناك العديد من العمليات الأساسية لبناء مجموعات جديدة من مجموعات معينة.

النقابات

و الاتحاد من A و B ، تدل A ∪ B

يمكن "إضافة" مجموعتين معًا. و الاتحاد من A و B ، الرمز بواسطة A  ∪  B ، ^[14] هو مجموعة من كل شيء التي هي أعضاء في إما A أو B .

أمثلة:

• {1، 2} ∪ {1، 2} = {1، 2}.
• {1، 2} ∪ {2، 3} = {1، 2، 3}.
• {1، 2، 3} ∪ {3، 4، 5} = {1، 2، 3، 4، 5}

بعض الخصائص الأساسية للنقابات:

• أ ∪ ب = ب ∪ أ .
• A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C .
• أ ⊆ ( أ ∪ ب ).
• أ ∪ أ = أ .
• أ ∪ ∅ = أ .
• A ⊆ B إذا وفقط إذا A ∪ B = B .

التقاطعات

يمكن أيضًا إنشاء مجموعة جديدة من خلال تحديد الأعضاء الذين لديهم مجموعتان "مشتركون". و تقاطع من A و B ، الرمز بواسطة A ∩ B ، ^[14] هو مجموعة من كل شيء التي هي أعضاء في كل من A و B . إذا A ∩ B = ∅، ثم A و B ويقال ان منفصلتين .

و تقاطع من A و B ، الرمز A ∩ B .

أمثلة:

• {1، 2} ∩ {1، 2} = {1، 2}.
• {1، 2} ∩ {2، 3} = {2}.
• {1، 2} ∩ {3، 4} =.

بعض الخصائص الأساسية للتقاطعات:

• أ ∩ ب = ب ∩ أ .
• A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C .
• أ ∩ ب ⊆ أ .
• أ ∩ أ = أ .
• أ ∩ ∅ = ∅.
• A ⊆ B إذا وفقط إذا A ∩ B = A .

يكمل

و تكملة النسبي
من B في A

و تكملة ل A في U

و الفرق متماثل من A و B

يمكن أيضًا "طرح" مجموعتين. و تكملة النسبي من B في A (وتسمى أيضا -مجموعة نظري الفرق من A و B )، الرمز بواسطة A \ B (أو A - B )، ^[14] هو كل مجموعة من العناصر التي هي أعضاء في A، ولكن ليس أعضاء ب . من الصحيح "طرح" أعضاء مجموعة غير موجودة في المجموعة ، مثل إزالة العنصر الأخضر من المجموعة {1 ، 2 ، 3} ؛ القيام بذلك لن يؤثر على العناصر الموجودة في المجموعة.

في إعدادات معينة، تعتبر جميع مجموعات قيد المناقشة لتكون مجموعات فرعية من معين مجموعة عالمية U . في مثل هذه الحالات، U \ A يسمى تكملة المطلق أو ببساطة تكمل من A ، والرمز بواسطة A "أو A ^ج . ^[14]

• أ ′ = U \ A

أمثلة:

• {1، 2} \ {1، 2} =.
• {1، 2، 3، 4} \ {1، 3} = {2، 4}.
• إذا U هي مجموعة من الأعداد الصحيحة، E هو مجموعة من الأعداد الصحيحة حتى، و O هو مجموعة من الأعداد الصحيحة ونيف، ثم U \ E = E '= O .

تتضمن بعض الخصائص الأساسية للمكملات ما يلي:

• A \ B ≠ B \ A ل A ≠ B .
• A ∪ A '= U .
• أ ∩ أ ′ = ∅.
• ( أ ′) ′ = أ .
• ∅ \ A = ∅.
• أ \ ∅ = أ .
• أ \ أ = ∅.
• أ \ U = ∅.
• A \ A '= A و A ' \ A = A ".
• U '= ∅ و ∅' = U .
• أ \ ب = أ ∩ ب ′ .
• إذا كان A ⊆ B ثم A \ B =.

امتداد المكمل هو الفرق المتماثل ، المحدد للمجموعات A ، B as

${\ displaystyle A \، \ Delta \، B = (A \ setminus B) \ cup (B \ setminus A).}$

على سبيل المثال ، الاختلاف المتماثل {7 ، 8 ، 9 ، 10} و {9 ، 10 ، 11 ، 12} هو المجموعة {7 ، 8 ، 11 ، 12}. تصبح مجموعة الطاقة لأي مجموعة حلقة منطقية مع اختلاف متماثل كإضافة الحلقة (مع المجموعة الفارغة كعنصر محايد) والتقاطع كضرب للحلقة.

المنتج الديكارتي

يمكن إنشاء مجموعة جديدة من خلال ربط كل عنصر من مجموعة واحدة بكل عنصر من مجموعة أخرى. و المنتج الديكارتي مجموعتين A و B ، الرمز بواسطة A × B، ^[14] هو مجموعة من كل زوج مرتب ( و ، ب ) من النوع الذي ل عضو من A و ب هو عضو B .

أمثلة:

• {1 ، 2} × {أحمر ، أبيض ، أخضر} = {(1 ، أحمر) ، (1 ، أبيض) ، (1 ، أخضر) ، (2 ، أحمر) ، (2 ، أبيض) ، (2 ، أخضر) }.
• {1، 2} × {1، 2} = {(1، 1)، (1، 2)، (2، 1)، (2، 2)}.
• {أ ، ب ، ج} × {د ، هـ ، و} = {(أ ، د) ، (أ ، هـ) ، (أ ، و) ، (ب ، د) ، (ب ، هـ) ، (ب ، و) ، (ج ، د) ، (ج ، هـ) ، (ج ، و)}.

بعض الخصائص الأساسية للمنتجات الديكارتية:

• أ × ∅ = ∅.
• A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ).
• ( أ ∪ ب ) × ج = ( أ × ج ) ∪ ( ب × ج ).

لنفترض أن A و B عبارة عن مجموعتين محددتين ؛ ثم أصل المنتج الديكارتي هو نتاج cardinalities:

• | أ × ب  | = | ب × أ  | = | أ  | × | ب  |.

المجموعات موجودة في كل مكان في الرياضيات الحديثة. على سبيل المثال، الهياكل في الجبر المجرد ، مثل جماعات ، حقول و خواتم ، ومجموعات مغلقة تحت عملية أو أكثر.

أحد التطبيقات الرئيسية لنظرية المجموعات الساذجة هو بناء العلاقات . A علاقة من نطاق A ل مجال مقابل B هي مجموعة فرعية من المنتج الديكارتي A × B . على سبيل المثال ، بالنظر إلى المجموعة S = {حجر ، ورق ، مقص} من الأشكال في اللعبة التي تحمل الاسم نفسه ، فإن العلاقة "إيقاعات" من S إلى S هي المجموعة B = {(مقص ، ورقة) ، (ورقة ، صخرة ) ، (صخرة ، مقص)} ؛ وبالتالي س يدق ذ في اللعبة إذا كان الزوج ( س ، ص ) هو عضو B . مثال آخر هو المجموعة F لجميع الأزواج ( x ، x ² ) ، حيث x حقيقي. هذه العلاقة هي مجموعة فرعية من R × R ، لأن مجموعة كل المربعات هي مجموعة فرعية من مجموعة جميع الأرقام الحقيقية. نظرًا لأنه لكل x في R ، يوجد زوج واحد فقط ( x ، ...) في F ، يطلق عليه وظيفة . في التدوين الوظيفي ، يمكن كتابة هذه العلاقة كـ F ( x ) = x ² .

يُستخدم مبدأ التضمين والاستبعاد لحساب حجم اتحاد المجموعات: حجم الاتحاد هو حجم المجموعتين ، مطروحًا منه حجم تقاطعهما.

مبدأ التضمين والاستبعاد هو أسلوب عد يمكن استخدامه لحساب عدد العناصر في اتحاد من مجموعتين - إذا كان حجم كل مجموعة وحجم تقاطعها معروفًا. يمكن التعبير عنها بشكل رمزي كـ

${\ displaystyle | A \ cup B | = | A | + | B | - | A \ cap B |.}$

يمكن استخدام شكل أكثر عمومية من المبدأ لإيجاد العلاقة الأساسية لأي اتحاد محدود للمجموعات:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left | A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup A_ {3} \ cup \ ldots \ cup A_ {n} \ right | = & left (\ left | A_ {1} \ right | + \ left | A_ {2} \ right | + \ left | A_ {3} \ right | + \ ldots \ left | A_ {n} \ right | \ right) \\ & {} - \ يسار (\ يسار | A_ {1} \ غطاء A_ {2} \ يمين | + \ يسار | A_ {1} \ غطاء A_ {3} \ يمين | + \ ldots \ يسار | A_ {n-1} \ غطاء A_ {n} \ right | \ right) \\ & {} + \ ldots \\ & {} + \ left (-1 \ right) ^ {n-1} \ left (\ left | A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap A_ {3} \ cap \ ldots \ cap A_ {n} \ right | \ right). \ end {align}}}$

أوغسطس دي مورغان ذكر قانونين حول مجموعات.

إذا كانت A و B أي مجموعتين ،

• (أ ∪ ب) ′ = أ ′ ∩ ب ′

تكملة A union B تساوي تكملة A متقاطعة مع تكملة B.

• (أ ∩ ب) ′ = أ ′ ∪ ب ′

تكملة A المتقاطعة مع B تساوي تكملة اتحاد A لتكملة B.

• دوبين ، جوزيف و. (1979). جورج كانتور: رياضياته وفلسفته اللانهائية . بوسطن: مطبعة جامعة هارفارد . رقم ISBN 0-691-02447-2.
• هالموس ، بول ر. (1960). نظرية المجموعة الساذجة . برينستون ، نيوجيرسي: فان نوستراند. رقم ISBN 0-387-90092-6.
• ستول ، روبرت ر. (1979). مجموعة النظرية والمنطق . مينيولا ، نيويورك: منشورات دوفر . رقم ISBN 0-486-63829-4.
• فيليمان ، دانيال (2006). كيف تثبت ذلك: نهج منظم . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 0-521-67599-5.

• أغنية "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (بالألمانية)