التفرد (رياضيات)

في التحليل الحقيقي ، تكون التفردات إما انقطاعًا أو انقطاعًا للمشتق (أحيانًا أيضًا انقطاع للمشتقات ذات الترتيب الأعلى). هناك أربعة أنواع من حالات الانقطاع: النوع الأول ، الذي يحتوي على نوعين فرعيين ، والنوع الثاني ، والذي يمكن أيضًا تقسيمه إلى نوعين فرعيين (على الرغم من أنه ليس كذلك عادةً).

لوصف طريقة استخدام هذين النوعين من الحدود ، افترض ذلك ${\ displaystyle f (x)}$ هي دالة في حجة حقيقية ${\ displaystyle x}$، ولأي قيمة لحجتها ، على سبيل المثال ${\ displaystyle c}$، ثم الحد الأيسر ،${\ displaystyle f (c ^ {-})}$، والحد الأيمن ،${\ displaystyle f (c ^ {+})}$، يتم تحديدها من خلال:

${\ displaystyle f (c ^ {-}) = \ lim _ {x \ to c} f (x)}$، مقيدة ${\ displaystyle x$ و

${\ displaystyle f (c ^ {+}) = \ lim _ {x \ to c} f (x)}$، مقيدة ${\ displaystyle x> c}$.

القيمة ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ هي قيمة الدالة ${\ displaystyle f (x)}$ يميل نحو القيمة ${\ displaystyle x}$ اقتراب ${\ displaystyle c}$من الأسفل ، والقيمة${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ هي قيمة الدالة ${\ displaystyle f (x)}$ يميل نحو القيمة ${\ displaystyle x}$ اقتراب ${\ displaystyle c}$من أعلى ، بغض النظر عن القيمة الفعلية للوظيفة عند النقطة التي يكون فيها${\ displaystyle x = c}$ .

هناك بعض الوظائف التي لا توجد لها هذه الحدود على الإطلاق. على سبيل المثال ، الوظيفة

${\ displaystyle g (x) = \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$

لا يميل نحو أي شيء مثل ${\ displaystyle x}$ اقتراب ${\ displaystyle c = 0}$. الحدود في هذه الحالة ليست لانهائية ، بل هي بالأحرى غير محددة : ليس هناك قيمة لذلك${\ displaystyle g (x)}$يستقر في. بالاقتراض من التحليل المعقد ، يسمى هذا أحيانًا التفرد الأساسي .

الحالات المحتملة بقيمة معينة ${\ displaystyle c}$ للحجة هي على النحو التالي.

• A نقطة الاستمرارية هي قيمة${\ displaystyle c}$ لأي منهم ${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c) = f (c ^ {+})}$، كما يتوقع المرء لوظيفة سلسة. يجب أن تكون جميع القيم محدودة. إذا${\ displaystyle c}$ ليست نقطة استمرارية ، ثم يحدث الانقطاع عند ${\ displaystyle c}$.
• و النوع الأول الانقطاع يحدث عند كل${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ و ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ موجودة ومحدودة ، ولكن ينطبق أيضًا شرط واحد على الأقل من الشروط الثلاثة التالية:
  • ${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$؛
  • ${\ displaystyle f (x)}$ لم يتم تعريفه لحالة ${\ displaystyle x = c}$؛ أو
  • ${\ displaystyle f (c)}$ له قيمة محددة ، والتي ، مع ذلك ، لا تتطابق مع قيمة الحدين.

يمكن تمييز الانقطاعات من النوع الأول بشكل أكبر على أنها واحدة من الأنواع الفرعية التالية:

• A انقطاع قفزة يحدث عندما${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$، بغض النظر عن ${\ displaystyle f (c)}$ يتم تعريفه ، وبغض النظر عن قيمته إذا تم تعريفه.
• A انقطاع القابلة للإزالة يحدث عندما${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c ^ {+})}$، أيضًا بغض النظر عما إذا كان ${\ displaystyle f (c)}$ يتم تعريفه ، وبغض النظر عن قيمته إذا تم تعريفه (ولكن لا يتطابق مع قيمة الحدين).

• و النوع الثاني يحدث الانقطاع عند أي${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ أو ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$غير موجود (ربما كلاهما). هذا له نوعان فرعيان ، لا يتم اعتبارهما عادةً بشكل منفصل:
  • و الانقطاع لا حصر له هو حالة خاصة عندما يكون أي اليد اليسرى أو الحد اليد اليمنى لا وجود لها، وتحديدا لأنه هو لانهائي، والحد الآخر هو إما أيضا لانهائي، أو بعض عدد محدود واضحة المعالم. وبعبارة أخرى ، فإن الوظيفة لها انقطاع لانهائي عندما يكون للرسم البياني الخاص بها خط مقارب عمودي .
  • و تفرد أساسي هو مصطلح اقترضت من تحليل مركب (انظر أدناه). هذا هو الحال عندما يكون أحدهما أو الآخر${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ أو ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$غير موجود ، ولكن ليس لأنه انقطاع لانهائي . لا تقترب التفردات الأساسية من حدود ، ولا حتى إذا تم تمديد الإجابات الصحيحة لتشمل${\ displaystyle \ pm \ infty}$.

في التحليل الحقيقي ، التفرد أو عدم الاستمرارية هي خاصية لوظيفة فقط. تعتبر أي تفردات قد توجد في مشتق دالة على أنها تنتمي إلى المشتق ، وليس إلى الوظيفة الأصلية.

تنسيق التفردات

A تنسيق التفرد يحدث عند حدوث التفرد واضح أو انقطاع في واحدة تنسيق الإطار، والتي يمكن إزالتها عن طريق اختيار إطار مختلف. مثال على ذلك هو التفرد الظاهر عند خط عرض 90 درجة في الإحداثيات الكروية . جسم يتحرك باتجاه الشمال (على سبيل المثال ، على طول الخط 0 درجة خط الطول) على سطح كرة سيشهد فجأة تغيرًا فوريًا في خط الطول عند القطب (في حالة المثال ، القفز من خط الطول 0 إلى خط الطول 180 درجة) . هذا الانقطاع ، مع ذلك ، هو ظاهر فقط. إنها قطعة أثرية من نظام الإحداثيات المختار ، وهو فريد في القطبين. قد يؤدي نظام إحداثيات مختلف إلى القضاء على الانقطاع الظاهر (على سبيل المثال ، عن طريق استبدال تمثيل خطوط الطول / العرض بتمثيل n -vector ).

في التحليل المعقد ، هناك عدة فئات من التفردات. وتشمل هذه التفردات المعزولة ، والتفردات غير المعزولة ونقاط التفرع.

تفردات متفرقة

لنفترض أن U هو فرعية مفتوحة من التعقيد أرقام C ، مع نقطة ل كونه عنصرا من عناصر U ، وذلك و هو اختلاف وظيفة معقدة تعرف على بعض الأحياء في جميع أنحاء ل ، باستثناء ل : U \ { على }، ثم:

• النقطة a هي وحدة مفردة قابلة للإزالة لـ f إذا كانت هناك دالة شاملة g محددة على كل U بحيث أن f ( z ) = g ( z ) لجميع z في U \ { a }. الوظيفة g هي استبدال مستمر للدالة f . ^[6]
• النقطة a هي قطب أو تفرد غير أساسي لـ f إذا كانت هناك دالة كاملة الشكل g محددة على U مع g ( a ) غير صفري ، ورقم طبيعي n مثل f ( z ) = g ( z ) / ( z - أ ) ^ن لجميع z في U \ { a }. أقل عدد ن يسمى ترتيب القطب . المشتق في حالة تفرد غير أساسية بحد ذاته له تفرد غير أساسي ، مع زيادة n بمقدار 1 (إلا إذا كانت n تساوي 0 بحيث يمكن إزالة التفرد).
• النقطة a هي التفرد الأساسي لـ f إذا لم تكن مفردة قابلة للإزالة ولا قطبًا. النقطة a هي التفرد الأساسي إذا وفقط إذا كانت سلسلة Laurent تحتوي على عدد لا نهائي من القوى ذات الدرجة السالبة. ^[2]

التفردات غير المعزولة

بخلاف التفردات المعزولة ، قد تظهر الوظائف المعقدة لمتغير واحد سلوكًا فرديًا آخر. تسمى هذه التفردات غير المعزولة ، والتي يوجد نوعان منها:

• نقاط الكتلة : نقاط الحد من التفردات المعزولة. إذا كانوا جميعًا أعمدة ، على الرغم من الاعتراف بتوسعات سلسلة Laurent على كل منهم ، فلن يكون مثل هذا التوسع ممكنًا في حدوده.
• الحدود الطبيعية : أي مجموعة غير معزولة (مثل منحنى) والتي لا يمكن أن تستمر الوظائف بشكل تحليلي حولها (أو خارجها إذا كانت منحنيات مغلقة في كرة ريمان ).

نقاط الفرع

نقاط الفروع هي بشكل عام نتيجة دالة متعددة القيم ، مثل${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$ أو ${displaystyle log (z)}$، والتي يتم تحديدها ضمن مجال محدود معين بحيث يمكن جعل الوظيفة ذات قيمة واحدة داخل المجال. القطع عبارة عن خط أو منحنى مستبعد من المجال لإدخال فصل تقني بين القيم المتقطعة للوظيفة. عندما يكون القطع مطلوبًا حقًا ، سيكون للوظيفة قيم مختلفة بوضوح على كل جانب من جوانب قطع الفرع. يعد شكل قطع الفرع مسألة اختيار ، على الرغم من أنه يجب أن يربط نقطتين فرعيتين مختلفتين (مثل${\ displaystyle z = 0}$ و ${\ displaystyle z = \ infty}$ ل ${displaystyle log (z)}$) التي تم إصلاحها في مكانها.

و ظيفة متبادلة ، واظهار النمو القطعي .

A التفرد الوقت محدود يحدث عند واحد متغير الإدخال الوقت، وزيادة الناتج متغير نحو اللانهاية في وقت محدود. هذه مهمة في علم الحركة و PDEs (المعادلات التفاضلية الجزئية ) - اللانهايات لا تحدث جسديًا ، لكن السلوك بالقرب من التفرد غالبًا ما يكون ذا أهمية. رياضياً ، أبسط تفردات الزمن المحدود هي قوانين القوة لمختلف دعاة النموذج${\ displaystyle x ^ {- \ alpha}،}$أبسطها هو النمو الزائدي ، حيث يكون الأس (سلبي) 1:${\ displaystyle x ^ {- 1}.}$ بتعبير أدق ، من أجل الحصول على التفرد في الوقت الإيجابي مع تقدم الوقت (وبالتالي ينمو الناتج إلى ما لا نهاية) ، يستخدم المرء بدلاً من ذلك ${\ displaystyle (t_ {0} -t) ^ {- alpha}}$(باستخدام t للوقت ، عكس الاتجاه إلى${\ displaystyle -t}$ بحيث يزداد هذا الوقت إلى ما لا نهاية ، ويحول التفرد إلى الأمام من 0 إلى وقت ثابت ${\ displaystyle t_ {0}}$).

مثال على ذلك هو الحركة الارتدادية للكرة غير المرنة على متن طائرة. إذا تم أخذ الحركة المثالية في الاعتبار ، حيث يتم فقد نفس جزء الطاقة الحركية عند كل ارتداد ، يصبح تكرار الارتداد غير محدود ، حيث تستقر الكرة في وقت محدد. تشمل الأمثلة الأخرى على تفردات الوقت المحدود الأشكال المختلفة لمفارقة Painlevé (على سبيل المثال ، ميل الطباشير إلى التخطي عند سحبه عبر السبورة) ، وكيف يتسارع معدل تحرك العملة المعدنية المغزولة على سطح مستو نحو اللانهاية - قبل التوقف فجأة (كما تمت دراسته باستخدام لعبة قرص أويلر ).

تشمل الأمثلة الافتراضية " معادلة يوم القيامة " الرائعة لهينز فون فورستر (تُنتج النماذج المبسطة عددًا لا نهائيًا من البشر في وقت محدود).

في الهندسة الجبرية ، يعتبر تفرد التنوع الجبري نقطة من التنوع حيث قد لا يتم تحديد مساحة الظل بشكل منتظم. أبسط مثال على التفردات هي المنحنيات التي تتقاطع مع نفسها. ولكن هناك أنواع أخرى من التفردات ، مثل الشرفات . على سبيل المثال ، المعادلة y ² - x ³ = 0 تحدد منحنى له أعتاب عند الأصل x = y = 0 . يمكن تعريف المحور السيني بأنه ظل في هذه المرحلة ، لكن هذا التعريف لا يمكن أن يكون هو نفسه التعريف في نقاط أخرى. في الحقيقة ، في هذه الحالة ، المحور السيني هو "ظل مزدوج".

ل أفيني و أصناف اسقاطي ، وشخصياته هي النقاط حيث مصفوفة مصفوفه جاكوبي لديها رتبة وهو أقل مما كانت عليه في نقاط أخرى من مجموعة متنوعة.

تعريف يعادل من حيث تبادلي الجبر يمكن إعطاء التي تمتد إلى أصناف مجردة و مخططات : نقطة هي فريدة إذا كان حلقة المحلية في هذه المرحلة ليست حلقة المحلية العادية .

• نظرية الكارثة
• محدد وغير محدد
• الانحطاط (الرياضيات)
• القسمة على صفر
• النمو الزائدي
• الباثولوجية (الرياضيات)
• حل فردي
• التفرد القابل للإزالة