منحنى يملأ الفراغ

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى الملاحة اذهب إلى البحث
ثلاثة تكرارات لبناء منحنى Peano ، والتي يكون حدها منحنى يملأ الفراغ.

في التحليل الرياضي ، و منحنى ملء الفضاء هو منحنى الذي نطاق يحتوي على كامل 2-الأبعاد الوحدة مربع (أو أكثر عموما ن وحدة الأبعاد الزائدي ). نظرًا لأن جوزيبي بينو (1858-1932) كان أول من اكتشف واحدًا ، فإن منحنيات ملء الفراغ في المستوى ثنائي الأبعاد تسمى أحيانًا منحنيات Peano ، لكن هذه العبارة تشير أيضًا إلى منحنى Peano ، وهو مثال محدد لمنحنى ملء الفراغ تم العثور عليها بواسطة Peano.

تعريف [ عدل ]

حدسيًا ، يمكن اعتبار المنحنى ذي البعدين أو الثلاثة (أو أعلى) بمثابة مسار لنقطة تتحرك باستمرار. للقضاء على الغموض المتأصل في هذه الفكرة ، قدم الأردن في عام 1887 التعريف الدقيق التالي ، والذي تم اعتماده منذ ذلك الحين كوصف دقيق لمفهوم المنحنى :

المنحنى (مع نقاط النهاية) هو دالة متصلة ومجالها هو فاصل الوحدة [0 ، 1] .

في الشكل الأكثر عمومية ، قد يقع نطاق مثل هذه الوظيفة في فضاء طوبولوجي تعسفي ، ولكن في الحالات الأكثر شيوعًا التي تمت دراستها ، سيكون النطاق في مساحة إقليدية مثل المستوى ثنائي الأبعاد ( منحنى مستو ) أو الفضاء ثلاثي الأبعاد ( منحنى الفضاء ).

في بعض الأحيان ، يتم تحديد المنحنى بصورة الوظيفة (مجموعة جميع القيم الممكنة للوظيفة) ، بدلاً من الوظيفة نفسها. من الممكن أيضًا تحديد المنحنيات بدون نقاط نهاية لتكون دالة مستمرة على الخط الحقيقي (أو على فاصل الوحدة المفتوحة  (0 ، 1) ).

التاريخ [ تحرير ]

في عام 1890 ، اكتشف Peano منحنى مستمر ، يسمى الآن منحنى Peano ، يمر عبر كل نقطة من مربع الوحدة ( Peano (1890) ). كان هدفه هو إنشاء رسم خرائط مستمر من فاصل الوحدة إلى مربع الوحدة . كان الدافع وراء بيانو التي كتبها جورج كانتور الصورة نتيجة في وقت سابق من الحدس أن عدد لا حصر له من النقاط في فترة الوحدة هو نفس أصل مثل عدد لا حصر له من النقاط في أي-محدود الأبعاد المتعددة، مثل مربع الوحدة. كانت المشكلة التي حلها Peano هي ما إذا كان هذا التعيين يمكن أن يكون مستمرًا ؛ على سبيل المثال ، منحنى يملأ فراغًا. لا يُنشئ حل Peano تناظرًا مستمرًا واحدًا لواحد بين فاصل الوحدة ومربع الوحدة ، وبالفعل مثل هذا التطابق غير موجود (انظر "الخصائص" أدناه).

كان من الشائع ربط المفاهيم الغامضة للنحافة والأبعاد الواحدة بالمنحنيات ؛ كانت جميع المنحنيات التي يتم مواجهتها عادةً قابلة للتفاضل متعدد الجوانب (أي تحتوي على مشتقات متواصلة متعددة التعريف) ، ولا يمكن لهذه المنحنيات أن تملأ مربع الوحدة بأكمله. لذلك ، وجد أن منحنى ملء الفراغ بينو غير بديهي للغاية.

من مثال Peano ، كان من السهل استنتاج المنحنيات المستمرة التي تحتوي نطاقاتها على المكعب المفرط ذي الأبعاد n (لأي عدد صحيح موجب n ). كان من السهل أيضًا توسيع مثال Peano ليشمل منحنيات مستمرة بدون نقاط نهاية ، والتي تملأ الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n بالكامل (حيث n هي 2 ، 3 ، أو أي عدد صحيح موجب آخر).

يتم إنشاء معظم منحنيات ملء الفراغ المعروفة بشكل تكراري كحد لسلسلة من المنحنيات المستمرة الخطية متعددة التعزيزات ، وكل واحدة منها تقترب عن كثب من حد ملء الفراغ.

وتضمنت بيانو المادة يفتح آفاقا جديدة لم الرسوم التوضيحية البناء له، والتي تم تعريفها من حيث التوسعات الثلاثي و مشغل النسخ المتطابق . لكن البناء الرسومي كان واضحًا تمامًا بالنسبة له - فقد صنع بلاطًا زخرفيًا يظهر صورة للمنحنى في منزله في تورين. تنتهي مقالة Peano أيضًا بملاحظة أنه من الواضح أن التقنية يمكن أن تمتد إلى قواعد غريبة أخرى إلى جانب القاعدة 3. اختياره لتجنب أي جاذبية للتخيل الرسوميكان الدافع ، بلا شك ، هو الرغبة في إثبات راسخ ودقيق تمامًا لا يعود بأي شيء للصور. في ذلك الوقت (بداية تأسيس الطوبولوجيا العامة) ، كانت الحجج الرسومية لا تزال مدرجة في البراهين ، ومع ذلك فقد أصبحت عائقًا أمام فهم النتائج غير البديهية في كثير من الأحيان.

بعد عام ، نشر ديفيد هيلبرت في نفس المجلة نسخة مختلفة من بناء بينو ( هيلبرت 1891 ). كانت مقالة هيلبرت هي الأولى التي تضمنت صورة تساعد على تصور تقنية البناء ، بشكل أساسي كما هو موضح هنا. ومع ذلك ، فإن الشكل التحليلي لمنحنى هيلبرت أكثر تعقيدًا من بينو.

ستة تكرارات لبناء منحنى هيلبرت ، الذي ابتكر منحنى ملء الفراغ المحدود من قبل عالم الرياضيات ديفيد هيلبرت .

مخطط بناء منحنى يملأ الفراغ [ عدل ]

دعنا نشير إلى مساحة كانتور .

نبدأ بوظيفة مستمرة من مساحة كانتور إلى فاصل الوحدة بأكمله . (وتقييد وظيفة كانتور ل مجموعة كانتور هو مثال على وظيفة مثل هذه.) من ذلك، نحصل على وظيفة مستمرة من المنتج الطوبوغرافية على الساحة حدة بأكمله قبل الإعداد

نظرًا لأن مجموعة Cantor متجانسة مع المنتج ، فهناك انحراف مستمر من مجموعة Cantor المضبوطة . تركيبة من و هو تعيين وظيفة المستمر تعيين كانتور على الساحة حدة بأكمله. (بدلاً من ذلك ، يمكننا استخدام النظرية القائلة بأن كل مساحة مترية مضغوطة هي صورة مستمرة لمجموعة كانتور للحصول على الوظيفة .)

أخيرًا ، يمكن للمرء أن يمتد إلى دالة مستمرة يكون مجالها هو فاصل الوحدة بأكمله . يمكن القيام بذلك إما باستخدام نظرية امتداد Tietze على كل مكون من مكونات ، أو ببساطة عن طريق تمديد "خطيًا" (أي ، في كل فترة مفتوحة محذوفة في إنشاء مجموعة Cantor ، نحدد جزء الامتداد من على أن تكون القطعة المستقيمة داخل المربع وحدة الانضمام إلى القيم و ).

خصائص [ تحرير ]

منحنيات Morton و Hilbert من المستوى 6 (4 5 = 1024 خلية في قسم مربع تكراري ) يرسمان كل عنوان بلون مختلف في معيار RGB ، وباستخدام ملصقات Geohash . تتميز الأحياء بألوان متشابهة ، لكن كل منحنى يقدم نمطًا مختلفًا لتجميع المتشابهات في مقاييس أصغر.

إذا لم يكن المنحنى حقنيًا ، فيمكن عندئذٍ العثور على منحنيين فرعيين متقاطعين للمنحنى ، يتم الحصول على كل منهما من خلال النظر في صور مقطعين منفصلين من مجال المنحنى (جزء خط الوحدة). يتقاطع المنحنيان الفرعيان إذا كان تقاطع الصورتين غير فارغ . قد يميل المرء إلى الاعتقاد بأن معنى تقاطع المنحنيات هو أنها بالضرورة تتقاطع مع بعضها البعض ، مثل نقطة تقاطع خطين غير متوازيين ، من جانب إلى آخر. ومع ذلك ، فإن منحنيين (أو منحنين فرعيين لمنحنى واحد) قد يتصلان ببعضهما البعض دون تقاطع ، كما هو الحال ، على سبيل المثال ، خط مماس لدائرة.

لا يمكن للمنحنى المستمر غير المتقاطع ذاتيًا أن يملأ مربع الوحدة لأن ذلك سيجعل المنحنى تشابهًا متجانسًا من فاصل الوحدة إلى مربع الوحدة (أي انحياز مستمر من مساحة مضغوطة على مساحة Hausdorff هو تشابه متماثل). لكن مربع الوحدة لا يحتوي على نقطة قطع ، وبالتالي لا يمكن أن يكون متماثلًا مع فاصل الوحدة ، حيث تكون جميع النقاط باستثناء نقاط النهاية هي نقاط القطع. توجد منحنيات غير ذاتية التقاطع لمنطقة غير صفرية ، منحنيات Osgood ، لكنها لا تملأ الفراغ.

بالنسبة لمنحنيات Peano و Hilbert الكلاسيكية لملء الفراغ ، حيث يتقاطع منحنيان فرعيان (بالمعنى التقني) ، يوجد اتصال ذاتي بدون عبور ذاتي. يمكن أن يكون منحنى ملء الفراغ (في كل مكان) معبرًا ذاتيًا إذا كانت منحنياته التقريبية تتقاطع مع نفسها. يمكن أن تكون التقديرات التقريبية لمنحنى ملء الفراغ ذاتية تجنبها ، كما توضح الأشكال أعلاه. في 3 أبعاد، يمكن منحنيات تقريب-تجنب الذاتي يحتوي حتى عقدة . تظل منحنيات التقريب ضمن جزء محدد من الفضاء ذي البعد n ، لكن أطوالها تزداد بلا حدود.

منحنيات ملء الفراغ هي حالات خاصة من المنحنيات الكسورية . لا يمكن أن يوجد منحنى قابل للتفاضل لملء الفراغ. بشكل تقريبي ، يضع التفاضل حداً لمدى سرعة دوران المنحنى.

نظرية هان مازوركيفيتش [ عدل ]

و هان - Mazurkiewicz نظرية هي توصيف التالية من المساحات التي هي صورة مستمرة من المنحنيات:

A غير فارغة هاوسدورف الفضاء الطوبوغرافية هي صورة مستمرة من فترة الوحدة إذا وفقط إذا كان هو، والتعاقد على اتصال ، اتصال محليا ، الفضاء معدود الثانية .

أحيانًا تسمى المسافات التي هي صورة مستمرة لفاصل وحدة بمسافات Peano .

في العديد من صيغ نظرية هان مازوركيفيتش ، يتم استبدال العد الثاني بالقياس . هاتان الصيغتان متكافئتان. في اتجاه واحد مساحة هاوسدورف المدمجة هو الفضاء الطبيعي ، وبحلول Urysohn metrization نظرية والثانية وقابل للعد يعني ثم metrizable. على العكس من ذلك ، فإن المساحة المترية المدمجة يمكن حسابها بالثانية.

مجموعات كلاينيان [ عدل ]

هناك العديد من الأمثلة الطبيعية لمنحنيات ملء الفراغ ، أو بالأحرى ملء الكرة ، في نظرية المجموعات Kleinian المتدهورة بشكل مضاعف . على سبيل المثال، المدفع وثورستون (2007) أظهرت أن دائرة في انهائية تغطية شاملة من الألياف من الحيد رسم الخرائط من خريطة شبه Anosov هو منحنى ملء المجال. (هنا الكرة هي الكرة اللانهائية للفضاء الزائدي 3 ).

تكامل [ عدل ]

أشار وينر في كتابه Fourier Integral وبعض تطبيقاته إلى أنه يمكن استخدام منحنيات ملء الفراغ لتقليل تكامل Lebesgue في أبعاد أعلى لتكامل Lebesgue في بُعد واحد.

انظر أيضا [ تحرير ]

  • منحنى التنين
  • منحنى جوسبر
  • منحنى هلبرت
  • منحنى كوخ
  • منحنى مور
  • مضلع موراي
  • منحنى Sierpiński
  • شجرة تملأ الفراغ
  • الفهرس المكاني
  • هيلبرت آر تري
  • ب x شجرة
  • ترتيب Z (منحنى) (ترتيب مورتون)
  • قائمة الفركتلات حسب أبعاد Hausdorff

المراجع [ عدل ]

  • كانون ، جيمس دبليو. Thurston ، William P. (2007) [1982] ، "مجموعة منحنيات Peano الثابتة" ، الهندسة والطوبولوجيا ، 11 (3): 1315-1355 ، دوى : 10.2140 / GT.2007.11.1315 ، ISSN  1465-3060 ، MR  2326947
  • Hilbert، D. (1891)، "Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück" ، Mathematische Annalen (in German)، 38 (3): 459–460، doi : 10.1007 / BF01199431 ، S2CID  123643081
  • Mandelbrot، BB (1982)، "Ch.7: Harnessing the Peano Monster Curves"، The Fractal Geometry of Nature ، WH Freeman.
  • McKenna، Douglas M. (1994)، "SquaRecurves، E-Tours، Eddies، and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid"، in Guy، Richard Kوودرو ، روبرت إي (محرران) ، الجانب الأخف من الرياضيات: وقائع مؤتمر يوجين سترينز التذكاري للرياضيات الترفيهية وتاريخها ، الرابطة الرياضية الأمريكية ، ص  49-73 ، ISBN 978-0-88385-516-4.
  • Peano، G. (1890)، "Sur une courbe، qui remplit toute une aire plane" ، Mathematische Annalen (in French)، 36 (1): 157-160، doi : 10.1007 / BF01199438 ، S2CID  179177780.
  • ساجان ، هانز (1994) ، منحنيات ملء الفضاء ، Universitext ، Springer-Verlag ، دوى : 10.1007 / 978-1-4612-0871-6 ، ISBN 0-387-94265-3، MR  1299533.

روابط خارجية [ تحرير ]

  • منحنيات متعددة الأبعاد لملء الفراغ
  • دليل على وجود انحياز عند قطع العقدة

تطبيقات Java الصغيرة:

  • منحنيات ملء مستوي البينو عند قطع العقدة
  • منحنيات هيلبرت ومور لملء الطائرة عند قطع العقدة
  • جميع منحنيات تعبئة Peano Plane عند قطع العقدة