جسم كروى

A المجال (من اليونانية σφαῖρα - sphaira ، "العالم، الكرة" ^[1] ) هو هندسي كائن في حيز ثلاثي الأبعاد وهذا هو سطح الكرة . (بمعنى، مماثلة لكائنات دائرية في بعدين، حيث " دائرة "تحدد" قرصها " ).

إسقاط منظور ثنائي الأبعاد للكرة

مثل الدائرة في فضاء ثنائي الأبعاد ، يتم تعريف الكرة رياضيًا على أنها مجموعة من النقاط التي تقع جميعها على نفس المسافة $ص$ من نقطة معينة في فضاء ثلاثي الأبعاد. ^[2] وهذه المسافة $ص$ هو نصف قطر الكرة، والتي تتكون من جميع النقاط مع مسافة تقل عن (أو، لكرة مغلقة، وأقل من أو يساوي ) $ص$ من نقطة معينة، وهو مركز لل الكرة الرياضية. يشار إلى هذه أيضًا باسم نصف القطر ومركز الكرة ، على التوالي. أطول جزء من الخط المستقيم عبر الكرة ، والذي يربط بين نقطتين من الكرة ، يمر عبر المركز وبالتالي يكون طوله ضعف نصف القطر ؛ إنه قطر كل من الكرة والكرة.

بينما خارج الرياضيات ، يتم استخدام المصطلحين "كرة" و "كرة" أحيانًا بالتبادل ، في الرياضيات ، يتم التمييز أعلاه بين كرة ، وهي عبارة عن سطح مغلق ثنائي الأبعاد مضمن في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد ، وكرة ، والتي هو شكل ثلاثي الأبعاد يتضمن الكرة وكل شيء داخل الكرة ( كرة مغلقة ) ، أو ، في كثير من الأحيان ، مجرد نقاط بداخله ، ولكن ليس على الكرة ( كرة مفتوحة ). الفرق بين الكرة و الكرة لم تكن دائما الحفاظ على والمراجع الرياضية وخاصة كبار السن يتحدثون عن كرة كمادة صلبة. هذا مشابه للموقف في الطائرة ، حيث يمكن أيضًا الخلط بين مصطلحي "دائرة" و "قرص".

المعادلات في الفضاء ثلاثي الأبعاد

نصف قطر متعامد للكرة

في الهندسة التحليلية ، الكرة ذات المركز $(x 0 ، y 0 ، z 0)$ ونصف القطر $r$ هي موضع جميع النقاط $(x ، y ، z)$ بحيث

{\ displaystyle (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2} + (z-z_ {0}) ^ {2} = r ^ {2}.}

لنفترض أن $a ، b ، c ، d ، e$ أرقام حقيقية مع $a 0$ ونضعها

{\ displaystyle x_ {0} = {\ frac {-b} {a}}، \ quad y_ {0} = {\ frac {-c} {a}}، \ quad z_ {0} = {\ frac { -d} {a}}، \ quad \ rho = {\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} -ae} {a ^ {2}}}.}

ثم المعادلة

{\ displaystyle f (x، y، z) = a (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) + 2 (bx + cy + dz) + e = 0}

ليس لديه نقاط حقيقية كحلول إذا ${\ displaystyle \ rho <0}$ وتسمى معادلة الكرة التخيلية . إذا ${\ displaystyle \ rho = 0}$ ، الحل الوحيد ل ${\ displaystyle f (x، y، z) = 0}$ هي النقطة ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}، y_ {0}، z_ {0})}$ ويقال أن المعادلة هي معادلة الكرة النقطية . أخيرا ، في القضية ${\ displaystyle \ rho> 0}$ و ${\ displaystyle f (x، y، z) = 0}$ هي معادلة كرة مركزها ${\ displaystyle P_ {0}}$ ونصف قطره ${\ displaystyle {\ sqrt {\ rho}}}$ . ^[2]

إذا كان $a$ في المعادلة أعلاه صفرًا ، فإن $f (x ، y ، z) = 0$ هي معادلة المستوى. وبالتالي ، يمكن اعتبار الطائرة على أنها كرة ذات نصف قطر لانهائي يكون مركزها نقطة عند اللانهاية . ^[3]

النقاط على الكرة ذات نصف القطر ${\ displaystyle r> 0}$ والمركز ${\ displaystyle (x_ {0}، y_ {0}، z_ {0})}$ يمكن تحديد المعلمات عبر

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = x_ {0} + r \ sin \ theta \؛ \ cos \ varphi \ y & = y_ {0} + r \ sin \ theta \؛ \ sin \ varphi \ qquad ( 0 \ leq \ theta \ leq \ pi، \؛ 0 \ leq \ varphi <2 \ pi) \\ z & = z_ {0} + r \ cos \ theta \، \ end {align}}}

^[4]

المعلمة ${\ displaystyle \ theta}$ يمكن أن تترافق مع الزاوية التي يتم عدها موجبة من اتجاه المحور z الموجب عبر المركز إلى متجه نصف القطر ، والمعلمة ${\ displaystyle \ varphi}$ يمكن أن تترافق مع الزاوية التي يتم عدها موجبة من اتجاه المحور x الموجب عبر المركز إلى إسقاط متجه الشعاع على المستوى xy .

الكرة من أي نصف قطر تتمحور حول الصفر هي سطح لا يتجزأ من الشكل التفاضلي التالي :

{\ displaystyle x \، dx + y \، dy + z \، dz = 0}

تعكس هذه المعادلة متجهات الموقع والسرعة لنقطة $(x ، y ، z)$ و $(dx ، dy ، dz)$ ، التي تسافر على الكرة دائمًا متعامدة مع بعضها البعض.

يمكن أيضًا إنشاء كرة على شكل سطح يتشكل من خلال تدوير دائرة حول أي من أقطارها . نظرًا لأن الدائرة هي نوع خاص من القطع الناقص ، فإن الكرة هي نوع خاص من الأشكال الإهليلجية للثورة . استبدال دائرة مع القطع الناقص استدارة حول لها محور رئيسي ، ويصبح شكل واسترخاء كروي . استدارة حول المحور الثانوي ، كروي مفلطح. ^[5]

الحجم المغلق

الكرة والأسطوانة المحصورة

في ثلاثة أبعاد ، الحجم داخل الكرة (أي حجم الكرة ، ولكن يشار إليه تقليديًا باسم حجم الكرة) هو

{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {\ pi} {6}} \ d ^ {3} \ almost 0.5236 \ cdot d ^ {3} }

حيث $r$ هو نصف القطر و $d$ هو قطر الكرة. اشتق أرخميدس هذه الصيغة أولاً من خلال إظهار أن الحجم داخل الكرة هو ضعف الحجم بين الكرة والأسطوانة المقيدة لتلك الكرة (التي يساوي ارتفاعها وقطرها قطر الكرة). ^[6] يمكن إثبات ذلك من خلال كتابة مخروط مقلوبًا في نصف كرة ، مع ملاحظة أن مساحة المقطع العرضي للمخروط بالإضافة إلى مساحة المقطع العرضي للكرة هي نفس مساحة المقطع العرضي للكرة. الأسطوانة المحيطة وتطبيق مبدأ كافالييري . ^[7] ويمكن أيضا أن تستمد هذه الصيغة باستخدام حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ ، أي التكامل القرص لتلخيص كميات من عدد لا حصر له من التعميم الأقراص من المتناهي الصغر الجانب سمك مكدسة جنبا إلى جنب، وتركزت على طول $س$ -axis من $س$ $= -$ $ص$ إلى $س$ $=$ $r$ ، بافتراض أن مجال نصف القطر $r$ يتركز في الأصل.

في أي $x$ ، الحجم الإضافي ( $δV$ ) يساوي $حاصل ضرب$ منطقة المقطع العرضي للقرص عند $x$ وسمكها ( $δx$ ):

{\ displaystyle \ delta V \ almost \ pi y ^ {2} \ cdot \ delta x.}

الحجم الإجمالي هو مجموع جميع الأحجام المتزايدة:

{\ displaystyle V \ almost \ sum \ pi y ^ {2} \ cdot \ delta x.}

في $النهاية$ عندما تقترب $δx من$ الصفر ، ^[8] تصبح هذه المعادلة:

{\ displaystyle V = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi y ^ {2} dx.}

في أي $x$ ، مثلث قائم الزاوية يربط $x$ و $y$ و $r$ بالأصل ؛ ومن ثم ، فإن تطبيق نظرية فيثاغورس ينتج عنه:

{\ displaystyle y ^ {2} = r ^ {2} -x ^ {2}.}

باستخدام هذا الاستبدال يعطي

{\ displaystyle V = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi \ left (r ^ {2} -x ^ {2} \ right) dx،}

والتي يمكن تقييمها لإعطاء النتيجة

{\ displaystyle V = \ pi \ left [r ^ {2} x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ right] _ {- r} ^ {r} = \ pi \ left (r ^ {3} - {\ frac {r ^ {3}} {3}} \ right) - \ pi \ left (-r ^ {3} + {\ frac {r ^ {3}} {3}} \ right) = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}

تم العثور على صيغة بديلة باستخدام الإحداثيات الكروية ، مع عنصر الحجم

{\ displaystyle dV = r ^ {2} \ sin \ theta \، dr \، d \ theta \، d \ varphi}

وبالتالي

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {r} r '^ {2} \ sin \ theta \، dr '\، d \ theta \، d \ varphi = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {r} r' ^ {2} \ sin \ theta \، dr '\، d \ theta = 4 \ pi \ int _ {0} ^ {r} r' ^ {2} \، dr '\ = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}. }

لمعظم الأغراض العملية ، يمكن تقريب الحجم داخل كرة منقوشة في مكعب بنسبة 52.4٪ من حجم المكعب ، حيث أن $V =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/6 د 3$ ، حيث $د$ هو قطر الكرة وطول جانب من المكعب و $π$ /6 وون كوري جنوبي 0.5236. على سبيل المثال ، كرة قطرها 1 م لها 52.4٪ من حجم مكعب بطول حرف 1 م ، أو حوالي 0.524 م ³ .

مساحة السطح

على مساحة من كرة نصف قطرها $ص$ هي:

{\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}.}

اشتق أرخميدس هذه الصيغة لأول مرة ^[9] من حقيقة أن الإسقاط على السطح الجانبي لأسطوانة مقيدة يحافظ على المنطقة. ^[10] هناك طريقة أخرى للحصول على الصيغة تأتي من حقيقة أنها تساوي مشتق صيغة الحجم بالنسبة إلى $r$ لأن الحجم الكلي داخل كرة نصف قطر $r$ يمكن اعتباره مجموع مساحة سطح عدد لا حصر له من الأصداف الكروية ذات السماكة المتناهية الصغر مكدسة بشكل مركز داخل بعضها البعض من نصف القطر 0 إلى نصف القطر $r$ . في السماكة المتناهية الصغر ، يكون التناقض بين مساحة السطح الداخلية والخارجية لأي غلاف معين متناهي الصغر ، والحجم الأولي عند نصف القطر $r$ هو ببساطة نتاج مساحة السطح عند نصف القطر $r$ والسمك اللامتناهي.

في أي نصف قطر محدد $r$ ، ^{[ملاحظة 1]} الحجم المتزايد ( $δV$ ) يساوي ناتج مساحة السطح عند نصف القطر $r$ ( $A (r)$ ) وسمك الغلاف ( $δr$ ):

{\ displaystyle \ delta V \ almost A (r) \ cdot \ delta r.}

الحجم الإجمالي هو مجموع جميع أحجام الغلاف:

{\ displaystyle V \ almost \ sum A (r) \ cdot \ delta r.}

في $النهاية$ عندما تقترب $δr من$ الصفر ^[8] تصبح هذه المعادلة:

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {r} A (r) \، dr.}

البديل $الخامس$ :

{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = \ int _ {0} ^ {r} A (r) \، dr.}

إن التفريق بين طرفي هذه المعادلة فيما يتعلق بـ $r$ ينتج عنه $A$ كدالة لـ $r$ :

{\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2} = A (r).}

يتم اختصار هذا بشكل عام على النحو التالي:

{\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}،}

حيث $r$ يعتبر الآن نصف القطر الثابت للكرة.

وبدلاً من ذلك ، يُعطى عنصر المساحة على الكرة في إحداثيات كروية بواسطة $dA = r 2 sin θ dθ dφ$ . في الإحداثيات الديكارتية ، يكون عنصر المنطقة ^{[ بحاجة لمصدر ]}

{\ displaystyle dS = {\ frac {r} {\ sqrt {r ^ {2} - {\ displaystyle \ sum _ {i \ neq k} x_ {i} ^ {2}}}}} \ prod _ {i \ neq k} dx_ {i} ، \ ؛ \ forall k.}

وبالتالي يمكن الحصول على المساحة الإجمالية عن طريق التكامل :

{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} r ^ {2} \ sin \ theta \، d \ theta \، d \ varphi = 4 \ بي ص ^ {2}.}

الكرة لديها أصغر مساحة سطح من بين جميع الأسطح التي تحتوي على حجم معين ، وهي تحيط بأكبر حجم بين جميع الأسطح المغلقة مع مساحة سطح معينة. ^[11] وبالتالي تظهر الكرة في الطبيعة: على سبيل المثال ، تكون الفقاعات وقطرات الماء الصغيرة كروية تقريبًا لأن التوتر السطحي يقلل مساحة السطح محليًا.

تسمى مساحة السطح بالنسبة إلى كتلة الكرة مساحة السطح المحددة ويمكن التعبير عنها من المعادلات المذكورة أعلاه على النحو التالي

{\ displaystyle \ mathrm {SSA} = {\ frac {A} {V \ rho}} = {\ frac {3} {r \ rho}}،}

حيث $ρ$ هي الكثافة (نسبة الكتلة إلى الحجم).

المنحنيات على الكرة

قسم مستوي من كرة: دائرة واحدة

التقاطع المحوري للكرة والأسطوانة: دائرتان

الدوائر

تقاطع الكرة والمستوى عبارة عن دائرة أو نقطة أو فارغة.

في حالة الدائرة يمكن وصف الدائرة بمعادلة حدودية ${\ displaystyle \؛ {\ vec {x}} = ({\ vec {e}} _ {0} + {\ vec {e}} _ {1} \ cos t + {\ vec {e}} _ {2 } \ sin t) ^ {T} \؛}$ : انظر الجزء المستوي من الشكل الإهليلجي .

لكن الأسطح الأكثر تعقيدًا قد تتقاطع مع كرة في دوائر أيضًا:

التقاطع غير الفارغ للكرة مع سطح الدوران ، الذي يحتوي محوره على مركز الكرة ( محوري ) يتكون من دوائر و / أو نقاط.

يوضح الرسم البياني الحالة ، حيث يتكون تقاطع الأسطوانة والكرة من دائرتين. هل سيكون نصف قطر الأسطوانة مساويًا لنصف قطر الكرة ، سيكون التقاطع دائرة واحدة ، حيث يكون كلا السطحين مماسًا.

في حالة وجود جسم كروي له نفس المركز والمحور الرئيسي مثل الكرة ، فإن التقاطع يتكون من نقطتين (رؤوس) ، حيث تكون الأسطح مماسًا.

منحنيات Clelia

مع حلزوني كروي

{\ displaystyle c = 8}

إذا تم وصف الكرة بتمثيل حدودي

{\ displaystyle {\ vec {x}} = (r \ cos \ theta \ cos \ varphi، r \ cos \ theta \ sin \ varphi، r \ sin \ theta) ^ {T}}

يحصل المرء على منحنيات Clelia ، إذا كانت الزوايا متصلة بالمعادلة

${\ displaystyle \ varphi = c \؛ \ theta \؛، \ c> 0 \ ؛.}$

الحالات الخاصة هي: منحنى فيفياني ( ${\ displaystyle c = 1}$ ) واللوالب الكروية ( ${\ displaystyle c> 2}$ ) ، مثل دوامة سيفرت .

لوكودروم

في الملاحة ، و خط أحد إتجاهات البوصلة أو loxodrome هو قوس عبور كل خطوط الطول من العرض في نفس الزاوية. لا يعتبر خط الاتجاه الدائري حلزونيًا كرويًا. لا توجد علاقة بسيطة بين الزوايا ${\ displaystyle \ varphi}$ و ${\ displaystyle \ theta}$ .

تقاطع كرة ذات سطح أكثر عمومية

تقاطع عام كروي اسطوانة

إذا تقاطعت الكرة بسطح آخر ، فقد تكون هناك منحنيات كروية أكثر تعقيدًا.

مثال: كرة - اسطوانة

تقاطع الكرة مع المعادلة ${\ displaystyle \؛ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2} \؛}$ والأسطوانة مع المعادلة ${\ displaystyle \؛ (y-y_ {0}) ^ {2} + z ^ {2} = a ^ {2}، \؛ y_ {0} \ neq 0 \؛}$ ليست مجرد دائرة واحدة أو دائرتين. إنه حل نظام المعادلات غير الخطي

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2} = 0}

{\ displaystyle (y-y_ {0}) ^ {2} + z ^ {2} -a ^ {2} = 0 \.}

(انظر المنحنى الضمني والرسم البياني)

الخصائص الهندسية

يتم تحديد الكرة بشكل فريد من خلال أربع نقاط ليست متحد المستوى . بشكل عام ، يتم تحديد الكرة بشكل فريد من خلال أربعة شروط مثل المرور عبر نقطة ، أو التماس لمستوى ، وما إلى ذلك. ^[12] هذه الخاصية مماثلة لخاصية أن ثلاث نقاط غير متداخلة تحدد دائرة فريدة في المستوى.

وبالتالي ، يتم تحديد الكرة بشكل فريد من خلال (أي تمر عبر) دائرة ونقطة ليست في مستوى تلك الدائرة.

من خلال فحص الحلول المشتركة لمعادلات المجالين ، يمكن ملاحظة أن مجالين يتقاطعان في دائرة ويطلق على المستوى الذي يحتوي على تلك الدائرة اسم المستوى الجذري للكرات المتقاطعة. ^{[13] على} الرغم من أن المستوى الجذري هو مستوى حقيقي ، إلا أن الدائرة قد تكون خيالية (لا توجد نقطة مشتركة بين الكرات) أو تتكون من نقطة واحدة (تكون الكرات مماسًا عند هذه النقطة). ^[14]

الزاوية بين كرتين عند نقطة تقاطع حقيقية هي الزاوية ثنائية السطوح التي تحددها مستويات المماس للكرات عند تلك النقطة. يتقاطع كروان في نفس الزاوية في جميع نقاط دائرة تقاطعهما. ^[15] إنها تتقاطع بزوايا قائمة ( متعامدة ) إذا وفقط إذا كان مربع المسافة بين مراكزها مساويًا لمجموع مربعات أنصاف أقطارها. ^[3]

قلم رصاص من المجالات

إذا كانت $f (x ، y ، z) = 0$ و $g (x ، y ، z) = 0$ هي معادلات مجالين متميزين إذن

{displaystyle sf (x، y، z) + tg (x، y، z) = 0}

هي أيضًا معادلة كرة للقيم التعسفية للمعلمات $s$ و $t$ . تسمى مجموعة جميع المجالات التي تحقق هذه المعادلة بقلم رصاص من المجالات التي يحددها المجالان الأصليان. في هذا التعريف ، يُسمح للكرة بأن تكون مستويًا (نصف القطر اللانهائي ، المركز عند اللانهاية) وإذا كان كلا المجالين الأصليين مستويين ، فإن كل مجالات قلم الرصاص عبارة عن طائرات ، وإلا فهناك مستوى واحد فقط (المستوى الجذري) في قلم. ^[3]

المصطلح

أقسام الطائرة

A دائرة كبيرة على الكرة لديه نفس المركز ونصف القطر كما تقسيمه إلى قسمين متساويين وبالتالي المجال. على أبواب الطائرة وتسمى لكرة sections- كروي وهي إما دوائر كبرى للطائرات من خلال مركز المجال أو دوائر صغيرة لجميع الآخرين. ^[16]

أي مستوى يتضمن مركز كرة يقسمها إلى نصفي كرة متساويين . أي اثنين المتقاطعة الطائرات التي تتضمن مركز للكرة تقسم المجال إلى أربعة lunes أو biangles، والقمم التي تتزامن مع نقطة متقابلة الكذب على خط تقاطع الطائرات.

فروع الهندسة

مسافة غير إقليدية

أي زوج من النقاط على الكرة التي تقع على خط مستقيم عبر مركز الكرة (أي القطر) تسمى نقاطًا عكسية - على الكرة ، المسافة بينهما هي بالضبط نصف طول المحيط. ^{[note 2]} أي زوج آخر (ليس متناقضًا) من النقاط المميزة على الكرة

استلقي على دائرة فريدة من نوعها ،
قسمها إلى قوس ثانوي (أي أقصر) وآخر رئيسي (أي أطول) ، و
اجعل طول القوس الصغير هو أقصر مسافة بينهما على الكرة. ^{[ملاحظة 3]}

تشترك الهندسة الكروية ^{[الملاحظة 4] في} العديد من الخصائص المماثلة للإقليدية التي كانت مجهزة بـ " مسافة الدائرة العظمى " هذه .

الهندسة التفاضلية

كما أن التعميم الأكثر تجريدًا للهندسة يستخدم أيضًا نفس مفهوم المسافة في دائرة ريمان .

يُخمن أن نصف الكرة الأرضية هي الملء الأمثل (الأقل مساحة) متساوي القياس لدائرة ريماني.

الهندسة الإسقاطية

حاصل قسمة الأضلاع للكرة هو السطح المسمى بالمستوى الإسقاطي الحقيقي ، والذي يمكن اعتباره أيضًا نصف الكرة الشمالي مع تحديد النقاط المتناقضة لخط الاستواء.

جغرافية

المصطلحات المستعارة مباشرة من جغرافيا الأرض ، على الرغم من أن شكلها الكروي له انحرافات أكبر أو أقل من الكرة المثالية (انظر الجيود ) ، هي مفهومة على نطاق واسع. في الهندسة غير المتعلقة بالأجسام الفلكية ، يجب استخدام المصطلحات المتعلقة بمركز الأرض فقط للتوضيح ويتم الإشارة إليها على هذا النحو ، ما لم تكن هناك فرصة لسوء الفهم.

الأقطاب وخطوط الطول وخطوط العرض

إذا تم تحديد نقطة معينة على الكرة (بشكل تعسفي) على أنها قطبها الشمالي ، فإن النقطة المعاكسة لها تسمى القطب الجنوبي . الدائرة الكبرى التي تقع على مسافة متساوية هي خط الاستواء . الدوائر الكبرى عبر القطبين تسمى خطوط الطول (أو خطوط الطول ). قد يسمى الخط ليس على الكرة ولكن من خلال مركزها الذي يربط القطبين بمحور الدوران . الدوائر على الكرة الموازية (أي ليست دوائر كبيرة) لخط الاستواء هي خطوط عرض .

التعميمات

الأبعاد

يمكن تعميم الكرات على مسافات من أي عدد من الأبعاد . بالنسبة إلى أي عدد طبيعي $n$ ، فإن " $n$ -sphere" ، والتي غالبًا ما تكتب كـ $S n$ ، هي مجموعة النقاط في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد ( $n + 1$ ) التي تقع على مسافة ثابتة $r$ من نقطة مركزية لذلك الفضاء ، حيث $r$ ، كما كان من قبل ، رقم حقيقي موجب. خاصه:

$S 0$ : الكرة 0 هي زوج من نقاط النهاية لفاصل زمني $[- r ، r]$ من الخط الحقيقي
$S 1$ : الكرة ذات 1 هي دائرة نصف قطرها r
$S 2$ : 2-sphere هو كرة عادية
$S 3$ : الكرة الثلاثية هي كرة في فضاء إقليدي رباعي الأبعاد.

تسمى أحيانًا المجالات الخاصة بـ $n > 2$ بالكريات الزائدة .

يُشار إلى المجال $n$ من نصف قطر الوحدة المتمركز في الأصل $S n$ وغالبًا ما يشار إليه باسم " $n$ " المجال. لاحظ أن الكرة العادية هي كرة ثنائية ، لأنها سطح ثنائي الأبعاد (مضمن في فضاء ثلاثي الأبعاد).

مساحة سطح الوحدة ( $ن -1$ ) -الكرة هي

{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}}}

حيث $Γ (z)$ هي دالة جاما لأويلر .

تعبير آخر عن مساحة السطح هو

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \، r ^ {n-1}} {2 \ cdot 4 \ cdots (n-2)}} ، & {\ text {if}} n {\ text {is even}}؛ \\\\\ displaystyle {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \، r ^ { n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdots (n-2)}} ، و {\ text {if}} n {\ text {is odd}}. \ end {cases}}}

والحجم هو مساحة السطح مرات $ص / ن$ أو

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \، r ^ {n}} {2 \ cdot 4 \ cdots n}}، & {\ text { if}} n {\ text {is even}}؛ \\\\\ displaystyle {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \، r ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots n}} ، & {\ text {if}} n {\ text {is odd}}. \ end {cases}}}

توجد أيضًا صيغ عودية عامة لحجم n -ball .

المساحات المترية

بشكل عام ، في الفضاء المتري $(E ، d)$ ، تكون كرة المركز $x$ ونصف القطر $r > 0$ هي مجموعة النقاط $y$ بحيث أن $d (x ، y) = r$ .

إذا كان المركز عبارة عن نقطة مميزة تعتبر أصل $E$ ، كما هو الحال في مساحة معيارية ، فلا يتم ذكرها في التعريف والترميز. وينطبق الشيء نفسه على نصف القطر إذا كان يساوي واحدًا ، كما في حالة وحدة المجال .

على عكس الكرة ، حتى الكرة الكبيرة قد تكون مجموعة فارغة. على سبيل المثال، في $Z ن$ مع الإقليدية متري ، كرة نصف قطرها $ص$ هو غير فارغ إلا إذا $ص 2$ يمكن كتابة كما مبلغ $ن$ مربعات الأعداد الصحيحة .

البنية

في طوبولوجيا ، وهو $ن$ يعرف -sphere كمساحة homeomorphic إلى الحدود ل ( ن + 1) -ball . وبالتالي، فمن homeomorphic إلى الإقليدية $ن$ -sphere، ولكن ربما تفتقر لها متري .

الكرة 0 هي زوج من النقاط مع الهيكل المنفصل .
1-sphere هي دائرة ( تصل إلى homomorphism) ؛ وهكذا ، على سبيل المثال ، (صورة) أي عقدة هي 1-sphere.
2-sphere هو كرة عادية (حتى homomorphism) ؛ وبالتالي ، على سبيل المثال ، أي جسم كروي هو 2 كرة.

و $ن$ يرمز -sphere $S ن$ . إنه مثال على مشعب طوبولوجي مضغوط بدون حدود . لا يجب أن تكون الكرة سلسة ؛ إذا كان سلسًا ، فلا داعي لأن يكون مختلفًا عن الكرة الإقليدية ( كرة غريبة ).

تشير نظرية Heine-Borel إلى أن المجال $n$ الإقليدي مضغوط. الكرة هي الصورة المعكوسة لمجموعة من نقطة واحدة تحت دالة مستمرة $|| x ||$ . لذلك ، فإن الكرة مغلقة. يتم تقييد $S n$ أيضًا ؛ لذلك فهو مضغوط.

من اللافت للنظر أنه من الممكن قلب كرة عادية من الداخل إلى الخارج في فضاء ثلاثي الأبعاد مع وجود تقاطعات ذاتية محتملة ولكن دون إحداث أي تجعد ، في عملية تسمى انقلاب الكرة .

الهندسة الكروية

دائرة كبيرة على كرة

العناصر الأساسية لل هندسة الإقليدية الطائرة هي نقاط و خطوط . على الكرة ، يتم تحديد النقاط بالمعنى المعتاد. نظير "الخط" هو الجيوديسيا ، وهو عبارة عن دائرة كبيرة ؛ السمة المميزة للدائرة الكبرى هي أن المستوى الذي يحتوي على جميع نقاطه يمر أيضًا عبر مركز الكرة. يُظهر القياس بطول القوس أن أقصر مسار بين نقطتين ملقاة على الكرة هو الجزء الأقصر من الدائرة الكبرى الذي يتضمن النقاط.

العديد من النظريات من الهندسة الكلاسيكية ينطبق على الهندسة الكروية أيضا، ولكن ليس كل فعل بسبب فشل المجال لتلبية بعض من الهندسة الكلاسيكية و المسلمات ، بما في ذلك مسلمة موازية . في علم المثلثات الكروية ، يتم تحديد الزوايا بين الدوائر الكبرى. يختلف علم المثلثات الكروية من العاديين علم المثلثات في كثير من النواحي. على سبيل المثال ، مجموع الزوايا الداخلية للمثلث الكروي يتجاوز دائمًا 180 درجة. وأيضًا ، أي مثلثين كرويين متشابهين متطابقان.

إحدى عشرة خاصية للكرة

ناقل طبيعي للكرة ، ومستوى عادي وقسمه الطبيعي. انحناء منحنى التقاطع هو الانحناء المقطعي. بالنسبة للكرة ، سيكون كل قسم عادي يمر عبر نقطة معينة دائرة من نفس نصف القطر: نصف قطر الكرة. هذا يعني أن كل نقطة على الكرة ستكون نقطة سرية.

في كتابهما الهندسة والخيال ، ^[17] ديفيد هيلبرت و ستيفان كوهن فوسين وصف أحد عشر خصائص المجال ومناقشة ما إذا كانت هذه الخصائص تحديد فريد المجال. هناك العديد من الخصائص التي تحمل المستوى ، والتي يمكن اعتبارها كروية ذات نصف قطر لانهائي. هذه الخصائص هي:

جميع النقاط على الكرة هي نفس المسافة من نقطة ثابتة. كما أن نسبة مسافة نقطته من نقطتين ثابتتين هي نسبة ثابتة.
الجزء الأول هو التعريف المعتاد للكرة ويحددها بشكل فريد. الجزء الثاني يمكن استخلاصه بسهولة وتتبع مماثلة نتيجة ل أبولونيوس من برجة لل دائرة . هذا الجزء الثاني ينطبق أيضًا على الطائرة .
الدوائر والأجزاء المستوية للكرة هي دوائر.
هذه الخاصية تحدد المجال بشكل فريد.
للكرة عرض ثابت ومحيط ثابت.
عرض السطح هو المسافة بين أزواج مستويات الظل المتوازية. العديد من الأسطح المحدبة المغلقة الأخرى لها عرض ثابت ، على سبيل المثال جسم Meissner . محيط السطح هو محيط حدود الإسقاط المتعامد على مستوى. كل من هذه الخصائص تعني الآخر.
جميع نقاط الكرة هي السرة .
في أي نقطة على سطح ما يكون الاتجاه الطبيعي بزاوية قائمة على السطح لأن الكرة هذه هي الخطوط التي تشع من مركز الكرة. سيشكل تقاطع المستوى الذي يحتوي على المستوى الطبيعي مع السطح منحنى يسمى المقطع العادي ، وانحناء هذا المنحنى هو الانحناء الطبيعي . بالنسبة لمعظم النقاط على معظم الأسطح ، سيكون للأقسام المختلفة انحناءات مختلفة ؛ تسمى القيم القصوى والدنيا لهذه الانحناءات الرئيسية . سيحتوي أي سطح مغلق على أربع نقاط على الأقل تسمى النقاط السرية . عند السرة ، تكون جميع الانحناءات المقطعية متساوية ؛ على وجه الخصوص ، فإن الانحناءات الرئيسية متساوية. يمكن اعتبار النقاط السرية على أنها النقاط التي يتم فيها تقريب السطح بواسطة كرة.
بالنسبة للكرة ، تكون الانحناءات في جميع الأقسام العادية متساوية ، لذا فإن كل نقطة عبارة عن سرة. الكرة والطائرة هما السطحان الوحيدان لهذه الخاصية.
لا يحتوي الكرة على سطح من المراكز.
بالنسبة لقسم عادي معين ، توجد دائرة انحناء تساوي الانحناء المقطعي ، وهي مماس للسطح ، وتقع خطوط المركز على طول الخط الطبيعي. على سبيل المثال ، يُطلق على المركزين المتوافقين مع الانحناءات المقطعية القصوى والدنيا اسم النقاط المحورية ، وتشكل مجموعة كل هذه المراكز السطح البؤري .
بالنسبة لمعظم الأسطح ، يشكل السطح البؤري لوحين يكون كل منهما سطحًا ويلتقي عند النقاط السرية. عدة حالات خاصة:
* بالنسبة لأسطح القنوات ، تشكل إحدى الصفائح منحنى والورقة الأخرى عبارة عن سطح
* ل المخاريط ، اسطوانات، توري و cyclides على حد سواء ورقة شكل المنحنيات.
* بالنسبة للكرة ، يكون مركز كل دائرة متذبذبة في مركز الكرة ويشكل السطح البؤري نقطة واحدة. هذه الخاصية هي فريدة من نوعها في المجال.
جميع الجيوديسيا للكرة منحنيات مغلقة.
الجيوديسيا هي منحنيات على سطح تعطي أقصر مسافة بين نقطتين. إنها تعميم لمفهوم الخط المستقيم في المستوى. بالنسبة للكرة ، تعتبر الجيوديسيا دوائر كبيرة. العديد من الأسطح الأخرى تشترك في هذه الخاصية.
من بين جميع المواد الصلبة التي لها حجم معين ، تكون الكرة هي أصغر مساحة سطح ؛ من بين جميع المواد الصلبة التي لها مساحة سطح معينة ، فإن الكرة هي التي لها أكبر حجم.
يتبع من عدم المساواة متساوي القياس . تحدد هذه الخصائص الكرة بشكل فريد ويمكن رؤيتها في فقاعات الصابون : ستحيط فقاعة الصابون حجمًا ثابتًا ، ويقلل التوتر السطحي من مساحة سطحه لهذا الحجم. لذلك فإن فقاعة الصابون العائمة بحرية تقترب من كرة (على الرغم من أن قوى خارجية مثل الجاذبية ستشوه شكل الفقاعة قليلاً). يمكن رؤيته أيضًا في الكواكب والنجوم حيث تقلل الجاذبية من مساحة سطح الأجرام السماوية الكبيرة.
الكرة لديها أصغر متوسط انحناء إجمالي بين جميع المواد الصلبة المحدبة مع مساحة سطح معينة.
و انحناء يعني هو متوسط اثنين من التقوسات الرئيسية، وهو أمر ثابت لاثنين من التقوسات الرئيسية هي ثابتة في جميع نقاط المجال.
للكرة انحناء متوسط ثابت.
الكرة هي السطح الوحيد المدمج الذي يفتقر إلى الحدود أو التفردات مع انحناء متوسط موجب ثابت. الأسطح الأخرى المغمورة مثل الأسطح الدنيا لها انحناء متوسط ثابت.
للكرة انحناء غاوسي موجب ثابت.
الانحناء الغاوسي هو نتاج الانحناءين الرئيسيين. وهي خاصية الجوهرية التي يمكن تحديده من خلال قياس الطول والزوايا ومستقلة عن كيفية سطح جزءا لا يتجزأ في الفضاء. وبالتالي ، فإن ثني السطح لن يغير الانحناء الغاوسي ، ويمكن الحصول على الأسطح الأخرى ذات الانحناء الغاوسي الإيجابي الثابت عن طريق قطع شق صغير في الكرة وثنيها. كل هذه الأسطح الأخرى سيكون لها حدود ، والكرة هي السطح الوحيد الذي يفتقر إلى حدود مع انحناء غاوسي ثابت وإيجابي. و pseudosphere هو مثال على السطح مع سلبية مستمرة التمويه انحناء.
يتم تحويل الكرة إلى نفسها من خلال عائلة مكونة من ثلاثة معلمات من الحركات الصلبة.
بالتناوب حول أي محور وحدة كروية في الأصل سترسم الكرة على نفسها. يمكن التعبير عن أي دوران حول خط عبر الأصل على أنه مزيج من التدويرات حول المحور ذي الإحداثيات الثلاثة (انظر زوايا أويلر ). لذلك ، توجد عائلة من الدورات ثلاثية المعلمات بحيث يحول كل دوران الكرة إلى نفسها ؛ هذه العائلة هي مجموعة التناوب SO (3) . المستوى هو السطح الآخر الوحيد الذي يحتوي على عائلة من ثلاث معاملات من التحولات (الترجمات على طول المحاور $x$ و $y$ والدوران حول الأصل). اسطوانات دائرية هي السطوح الوحيدة مع العائلتين المعلمة الاقتراحات جامدة و أسطح الثورة و helicoids هي السطوح فقط مع عائلة من معلمة واحدة.

صالة عرض

صورة لواحد من أدق المجالات التي صنعها الإنسان ، حيث أنها تكسر صورة أينشتاين في الخلفية. كانت هذه الكرة عبارة عن جيروسكوب كوارتز مدمج لتجربة Gravity Probe B ، ويختلف في الشكل عن كرة مثالية بما لا يزيد عن 40 ذرة (أقل من 10 نانومتر) من السماكة. تم الإعلان في 1 يوليو 2008 أن العلماء الأستراليين قد ابتكروا حتى أكثر من الكرات شبه المثالية ، بدقة 0.3 نانومتر ، كجزء من مطاردة دولية للعثور على كيلوغرام قياسي عالمي جديد . ^[18]
ظهر ورق لعب يوضح الأدوات الهندسية ، إنجلترا ، 1702. ملك البستوني : كرات

المناطق

غطاء كروي
مضلع كروي
قطاع كروي
قطعة كروية
إسفين كروي
منطقة كروية

أنظر أيضا

3-المجال
مجال أفيني
كرة الإسكندر مقرن
المجالات السماوية
مكعب
انحناء
إحصائيات الاتجاه
قبة (رياضيات)
كرة دايسون
يد مع كرة عاكسة ، رسم صورة ذاتية MC Escher يوضح الانعكاس والخصائص البصرية للكرة المرآة
مجال هوبرمان
مجال التنادد
مجموعات Homotopy من المجالات
مجال Homotopy
فرط
لينارت سفير
مشكلة حلقة منديل
الجرم السماوي (البصريات)
الغلاف الكاذب
كرة ريمان
زاوية صلبة
التعبئة المجال
إحداثيات كروية
الأرض الكروية
اللولب الكروي ، المماس الداللي لمنحنى الحركة المستمرة
كروية
نظرية كرة التنس
كرة زول

ملاحظات ومراجع

ملاحظات

^ $r$ يعتبر متغيرًا في هذا الحساب.
^ لا يهم الاتجاه الذي تم اختياره ، فالمسافة هي نصف قطر الكرة × π .
^ المسافة بين نقطتين غير مميزتين (أي نقطة ونفسها) على الكرة هي صفر.
^ على الرغم من أن الكرة ليست مسطحة ، إلا أنها ثنائية الأبعاد لأنها تتكون فقط من سطح كرة صلبة.

مراجع

^ σφαῖρα ، هنري جورج ليدل ، روبرت سكوت ، معجم يوناني-إنجليزي ، على فرساوس.
^ أ ب ألبرت 2016 ، ص. 54.
^ أ ب ج وودز 1961 ، ص. 266.
^ كريزيج (1972 ، ص 342).
^ ألبرت 2016 ، ص. 60.
^ شتاينهاوس 1969 ، ص. 223.
^ "حجم الكرة - الرياضيات المركزية" . mathcentral.uregina.ca . تم الاسترجاع 10 يونيو 2019 .
^ أ ب إي جيه بوروفسكي JM Borwein. قاموس كولينز للرياضيات . ص 141 ، 149. ISBN 978-0-00-434347-1.
^ وايسشتاين ، إريك دبليو "سفير" . ماثوورلد .
^ شتاينهاوس 1969 ، ص. 221.
^ أوسرمان ، روبرت (1978). "عدم المساواة متساوي القياس" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 84 (6): 1187. دوى : 10.1090 / S0002-9904-1978-14553-4 . تم الاسترجاع 14 ديسمبر 2019 .
^ ألبرت 2016 ، ص. 55.
^ ألبرت 2016 ، ص. 57.
^ وودز 1961 ، ص. 267.
^ ألبرت 2016 ، ص. 58.
^ وايسشتاين ، إريك دبليو "قسم كروي" . ماثوورلد .
^ هيلبرت ، ديفيد . كوهن فوسن ، ستيفان (1952). الهندسة والخيال (الطبعة الثانية). تشيلسي. رقم ISBN 978-0-8284-1087-8.
^ عالم جديد | التكنولوجيا | تم إنشاء كائنات دائرية في العالم .

قراءة متعمقة

ألبرت ، أبراهام أدريان (2016) [1949] ، الهندسة التحليلية الصلبة ، دوفر ، ISBN 978-0-486-81026-3.
دونهام ، وليام (1997). الكون الرياضي: رحلة أبجدية من خلال البراهين العظيمة والمشاكل والشخصيات . وايلي . نيويورك. ص 28 ، 226. بيب كود : 1994muaa.book ..... D . رقم ISBN 978-0-471-17661-9.
Kreyszig ، Erwin (1972) ، الرياضيات الهندسية المتقدمة (الطبعة الثالثة) ، نيويورك: وايلي ، ISBN 978-0-471-50728-4.
شتاينهاوس ، هـ. (1969) ، لقطات رياضية (الطبعة الأمريكية الثالثة) ، مطبعة جامعة أكسفورد.
وودز ، فريدريك س. (1961) [1922] ، الهندسة العليا / مقدمة للطرق المتقدمة في الهندسة التحليلية ، دوفر.

روابط خارجية

الرياضيات / التوزيع الكروي المنتظم
مساحة سطح برهان المجال

[11] $r$ يعتبر متغيرًا في هذا الحساب.

[18] لا يهم الاتجاه الذي تم اختياره ، فالمسافة هي نصف قطر الكرة × π .

[19] المسافة بين نقطتين غير مميزتين (أي نقطة ونفسها) على الكرة هي صفر.

[20] ^ على الرغم من أن الكرة ليست مسطحة ، إلا أنها ثنائية الأبعاد لأنها تتكون فقط من سطح كرة صلبة.

[1] σφαῖρα ، هنري جورج ليدل ، روبرت سكوت ، معجم يوناني-إنجليزي ، على فرساوس.

[Albert54-2] أ ب ألبرت 2016 ، ص. 54.

[Woods266-3] أ ب ج وودز 1961 ، ص. 266.

[4] كريزيج (1972 ، ص 342).

[5] ألبرت 2016 ، ص. 60.

[6] شتاينهاوس 1969 ، ص. 223.

[7] "حجم الكرة - الرياضيات المركزية" . mathcentral.uregina.ca . تم الاسترجاع 10 يونيو 2019 .

[delta-8] أ ب إي جيه بوروفسكي JM Borwein. قاموس كولينز للرياضيات . ص 141 ، 149. ISBN 978-0-00-434347-1.

[MathWorld_Sphere-9] وايسشتاين ، إريك دبليو "سفير" . ماثوورلد .

[10] شتاينهاوس 1969 ، ص. 221.

[12] أوسرمان ، روبرت (1978). "عدم المساواة متساوي القياس" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 84 (6): 1187. دوى : 10.1090 / S0002-9904-1978-14553-4 . تم الاسترجاع 14 ديسمبر 2019 .

[13] ألبرت 2016 ، ص. 55.

[14] ألبرت 2016 ، ص. 57.

[Woods267-15] وودز 1961 ، ص. 267.

[16] ألبرت 2016 ، ص. 58.

[17] وايسشتاين ، إريك دبليو "قسم كروي" . ماثوورلد .

[21] هيلبرت ، ديفيد . كوهن فوسن ، ستيفان (1952). الهندسة والخيال (الطبعة الثانية). تشيلسي. رقم ISBN 978-0-8284-1087-8.

[22] عالم جديد | التكنولوجيا | تم إنشاء كائنات دائرية في العالم .

[1]