مجموعة محدودة

في التحليل الرياضي ومجالات الرياضيات ذات الصلة ، تسمى المجموعة محدودة إذا كانت ، إلى حد ما ، ذات حجم محدود. على العكس من ذلك ، فإن المجموعة غير المحدودة تسمى غير محدودة . كلمة "محدودة" لا معنى لها في الفضاء الطوبولوجي العام بدون مقياس مطابق .

تسمى مجموعة S من الأعداد الحقيقية مقيدة من أعلى إذا كان هناك عدد حقيقي ك (ليس بالضرورة في S ) مثل k ≥ s لجميع s في S. الرقم k يسمى الحد الأعلى لـ S. يتم تعريف المصطلحات المقيدة من أسفل والحد الأدنى بالمثل.

يتم تقييد المجموعة S إذا كانت تحتوي على كل من الحدود العلوية والسفلية. لذلك ، يتم تقييد مجموعة من الأعداد الحقيقية إذا تم احتواؤها في فترة زمنية محدودة .

يتم تقييد مجموعة فرعية S من الفضاء المتري ( M ، d ) إذا كان هناك r > 0 بحيث يكون لدينا d ( s ، t ) < r لكل s و t في S. الفضاء المتري ( M ، d ) هو مساحة مترية محدودة (أو d مقياس متري محدد ) إذا كانت M محدودة كمجموعة فرعية من نفسها.

في فضاءات المتجهات الطوبولوجية ، يوجد تعريف مختلف للمجموعات المحدودة والتي تسمى أحيانًا حدود فون نيومان . إذا كانت طوبولوجيا فضاء المتجه الطوبولوجي ناتجة عن مقياس متجانس ، كما هو الحال في حالة المقياس الناجم عن معيار مساحات المتجه المعيارية ، فإن التعريفين يتطابقان.

يتم تقييد مجموعة من الأعداد الحقيقية إذا وفقط إذا كان لها حد علوي وسفلي. هذا التعريف قابل للتمديد إلى مجموعات فرعية من أي مجموعة مرتبة جزئيًا . لاحظ أن هذا المفهوم الأكثر عمومية للتقييد لا يتوافق مع مفهوم "الحجم".

انطباع فنان عن مجموعة محدودة (أعلى) ومجموعة غير محدودة (أسفل). المجموعة في الأسفل تستمر إلى الأبد نحو اليمين.

مجموعة حقيقية بحدود عليا وسمو لها .